Построение компонент рёберной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Однопроходный алгоритм)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 30 промежуточных версий 9 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Основные понятия ==
 
 
*[[Отношение реберной двусвязности#Реберная двусвязность|Реберная двусвязность]]
 
*[[Отношение реберной двусвязности#Компоненты реберной двусвязности|Компонента реберной двусвязности]]
 
 
 
Построение компонент реберной двусвязности будет осуществляться с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]].
 
Построение компонент реберной двусвязности будет осуществляться с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]].
  
 
== Двупроходный алгоритм ==
 
== Двупроходный алгоритм ==
  
Первый способ найти искомые компоненты - сначала определить критерий перехода в новую компоненту реберной двусвязности, а затем покрасить вершины графа в нужные цвета.
+
Первый способ найти искомые компоненты {{---}} сначала определить критерий перехода в новую [[Отношение реберной двусвязности#Компоненты реберной двусвязности|компоненту реберной двусвязности]], а затем покрасить вершины графа в нужные цвета.
  
Первый проход определяет для каждой вершины <tex>v</tex> две величины: <tex>enter(v)</tex> - время входа поиска в глубину в вершину, <tex>return(v)</tex> - минимальное из времен входа вершин, достижимых из <tex>v</tex> по [[Обход в глубину, цвета вершин|дереву <tex>dfs</tex>]] и не более, чем одному обратному ребру. <tex>return(v)</tex> находится как <tex>min(enter(v), return(u), enter(w))</tex> для всех <tex>u</tex> - сыновей <tex>v</tex> в дереве <tex>dfs</tex>, <tex>w</tex> - соседей <tex>v</tex> по обратным ребрам. Важно, что ребро к родителю дерева <tex>dfs</tex> не является обратным ребром обхода.
+
Определим критерий перехода к новой компоненте.
 +
Воспользуемся ранее доказанной [[Использование обхода в глубину для поиска мостов#Лемма | леммой]]. Получается {{---}} перешли по мосту, следовательно началась новая компонента.
  
Определим критерий перехода к новой компоненте.
+
'''Первый проход:''' запустим [[Использование обхода в глубину для поиска мостов|алгоритм для поиска мостов]], чтобы посчитать две величины: <tex>tin(v)</tex> и <tex>up(v)</tex>.
Воспользуемся ранее доказанной [[Использование обхода в глубину для поиска мостов#Лемма | леммой]].
+
 
 +
'''Второй проход:''' окрашиваем вершины, т.е. если перешли по мосту, то оказались в новой компоненте реберной двусвязности.
  
Основываясь на этом, определим алгоритм окраски вершин графа. Перешли по мосту, следовательно началась новая компонента.  
+
=== Псевдокод второго прохода ===
 +
* В переменной <tex>\mathtt{color}</tex> хранится цвет текущей компоненты.
 +
* <tex>\mathtt{maxColor}</tex> изначально равен <tex>0</tex>, что эквивалентно тому, что никакая компонента не окрашена.
  
Псевдокод второго прохода:
+
'''function''' paint(<tex>v</tex>, color):
 +
  colors[<tex>v</tex>] = color
 +
  '''for''' <tex>(u, v) \in E</tex>:
 +
    '''if''' colors[<tex>u</tex>] == 0:
 +
      '''if''' up[<tex>u</tex>] > tin[<tex>v</tex>]:
 +
        maxColor++
 +
        paint(<tex>u</tex>, maxColor)
 +
      '''else''':
 +
        paint(<tex>u</tex>, color)
  
  '''void paint(v, цвет):
+
'''function''' solve():
    colors(v) := цвет
+
  '''for''' <tex>v \in V</tex> :
    для всех вершин u, смежных v:
+
    colors[<tex>v</tex>] = 0
      если colors(u) равен нулю (вершина не покрашена):
+
    '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>]
        если return(u) = enter(u):
+
      dfs(<tex>v</tex>)
          увеличиваем максимальный цвет
+
  maxColor = 0
          paint(u, максимальный цвет)
+
  '''for''' <tex>v \in V</tex> :
        иначе:
+
    '''if''' colors[<tex>v</tex>] == 0:
          paint(u, цвет)
+
      maxColor++
  ...
+
      paint(<tex>v</tex>, maxColor)
  обнуляем массив colors
 
  максимальный цвет := 0
 
  для всех вершин v графа:
 
    если colors(v) = 0:
 
      увеличиваем максимальный цвет
 
      paint(v, максимальный цвет)'''
 
  
 
Вершины каждой из компонент реберной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
 
Вершины каждой из компонент реберной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
  
Время работы алгоритма будет время работы двух запусков dfs, то есть 2 * <tex> O(|V| + |E|)</tex>, что есть  <tex> O(|V| + |E|)</tex>.
+
Время работы алгоритма будет время работы двух запусков dfs, то есть  <tex>2 \cdot O(|V| + |E|)</tex>, что есть  <tex> O(|V| + |E|)</tex>.
  
 
== Однопроходный алгоритм ==
 
== Однопроходный алгоритм ==
  
Можно найти компоненты реберной двусвязности за один проход, используя стек.
 
 
Алгоритм, если мы посетили вершину, то добавляем её в стек. Так же как раньше <tex>ret[v]</tex> и <tex>enter[v]</tex>. Теперь определим, когда надо окрасить компоненту.
 
Если мы возвращаясь обратно оказались в вершине, которая является вершиной моста, то все вершины, находящиеся, до текущей в стеке, принадлежат этой компоненте. Это следует из того, что [[Граф компонент реберной двусвязности | граф блоков и мостов, является деревом]]. По свойству обхода в ширину, мы окажемся в висячей вершине, покрасим её, то есть эту компоненту покрасим. Её можно выкинут и рассматривать оставшийся граф. Действуя по аналогии мы всегда выкидываем компоненту реберной двусвязности следовательно, если мы вернулись в вершину, которая была концом нашего моста, то все вершины лежащие до нашей в стеке, принадлежат данной компоненте.
 
Псевдокод:
 
  
  '''void paint(int v):
+
Однопроходный алгоритм строится на базе алгоритма поиска мостов. Во-первых, создадим глобальный [[Стек|стек]], и при спуске по дереву <tex> dfs </tex> добавляем в него вершины. Во-вторых, когда возвращаемся назад, проверяем не является ли ребро мостом (при помощи [[Использование обхода в глубину для поиска мостов#Лемма | леммы]]). Если это так, то все вершины, находящиеся до текущего потомка в стеке, принадлежат одной компоненте.Заметим, что эта компонента будет висячей вершиной в дереве блоков и мостов, так как обходили граф поиском в глубину. Значит, ее можно выкинуть и продолжить поиск в оставшемся графе. Действуя по аналогии в получившемся графе, найдем оставшиеся компоненты реберной двусвязности.
    maxcolor++;
 
      while (пока вершина стека не вершина <tex>v</tex> и стек не пустой)
 
        извлекаем вершину стека и красим её;
 
 
 
 
  
  '''void dfs(вершина v, предок вершины p):
+
=== Псевдокод ===
    добавляем вершину в в стек;
+
 
    state[v] = 1;
+
'''function''' paint(<tex>v</tex>):
    ret[v] = enter[v] = ++time;
+
  maxColor++
    для всех  вершин u смежных v:
+
  last = -1
      если (u == parent):  
+
  '''while''' last != <tex>v</tex> '''and''' '''not''' stack.empty()
        переходим к следующей итерации
+
    colors[stack.top()] = maxColor
      если (state[u] = 1):
+
    last = stack.top()
          ret[v] = min(ret[v], enter[u]);
+
    stack.pop()
        иначе:
+
 
          если (state[u] = 0):
+
'''function''' dfs(<tex> v </tex>)
            dfs(u, v);
+
  time = time + 1
            ret[v] = min(ret[v], ret[u]);
+
  stack.push(<tex>v</tex>)
            если (enter[v] < ret[u]):
+
  tin[<tex>v</tex>] = time
            paint(u);
+
  up[<tex>v</tex>] = time
    state[v] = 2;
+
  '''for''' <tex> (v, u) \in E</tex>:
+
    '''if''' <tex>(v, u)</tex> — обратное ребро
 +
      up[<tex>v</tex>] = min(up[<tex>v</tex>], tin[<tex>u</tex>])
 +
    '''if''' '''not''' visited[<tex>u</tex>]
 +
      dfs(<tex>u</tex>)
 +
      up[<tex>v</tex>] = min(up[<tex>v</tex>], up[<tex>u</tex>])
 +
      '''if''' up[<tex>u</tex>] > tin[<tex>v</tex>]  
 +
        paint(<tex>u</tex>)  
 +
 
 +
Так же после вызова dfs нужно не забыть в конце вызвать ещё раз paint.
  
 
Теперь две вершины имеют одинаковый цвет тогда и только тогда, когда они принадлежат одной компоненте реберной двусвязности.
 
Теперь две вершины имеют одинаковый цвет тогда и только тогда, когда они принадлежат одной компоненте реберной двусвязности.
Строка 79: Строка 78:
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
* [[Обход в глубину, цвета вершин|Oбхода в глубину]]
 
* [[Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения]]
 
 
* [[Построение компонент вершинной двусвязности]]
 
* [[Построение компонент вершинной двусвязности]]
 
* [[Использование обхода в глубину для поиска мостов]]
 
* [[Использование обхода в глубину для поиска мостов]]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/bridges-2001| Визуализация построение компонент реберной двусзяности]
 
 
==Литература==
 
Седжвик Роберт. Фундаментальные алгоритмы на C++. Часть 5: Алгоритмы на графах: Пер. с англ./Роберт Седжвик. — СПб.: ООО «ДиаСофтЮП», 2002. — С. 123-128
 
  
В.А.Кузнецов, А.М.Караваев. "Оптимизация на графах" - Петрозаводск, Издательство ПетрГУ 2007
+
== Источники информации ==
 +
* ''Седжвик Р.'' Фундаментальные алгоритмы на C++. Часть 5: Алгоритмы на графах. Пер. с англ. — СПб.: ООО «ДиаСофтЮП», 2002. — С. 123-128
 +
* ''Кузнецов В.А., Караваев. А.М.'' "Оптимизация на графах" - Петрозаводск, Издательство ПетрГУ 2007
 +
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/bridges-2001| Визуализация {{---}} Построение компонент реберной двусзяности]
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Обход в глубину]]
 
[[Категория: Обход в глубину]]

Текущая версия на 19:17, 4 сентября 2022

Построение компонент реберной двусвязности будет осуществляться с помощью обхода в глубину.

Двупроходный алгоритм

Первый способ найти искомые компоненты — сначала определить критерий перехода в новую компоненту реберной двусвязности, а затем покрасить вершины графа в нужные цвета.

Определим критерий перехода к новой компоненте. Воспользуемся ранее доказанной леммой. Получается — перешли по мосту, следовательно началась новая компонента.

Первый проход: запустим алгоритм для поиска мостов, чтобы посчитать две величины: [math]tin(v)[/math] и [math]up(v)[/math].

Второй проход: окрашиваем вершины, т.е. если перешли по мосту, то оказались в новой компоненте реберной двусвязности.

Псевдокод второго прохода

  • В переменной [math]\mathtt{color}[/math] хранится цвет текущей компоненты.
  • [math]\mathtt{maxColor}[/math] изначально равен [math]0[/math], что эквивалентно тому, что никакая компонента не окрашена.
function paint([math]v[/math], color):
  colors[[math]v[/math]] = color
  for [math](u, v) \in E[/math]:
    if colors[[math]u[/math]] == 0:
      if up[[math]u[/math]] > tin[[math]v[/math]]:
        maxColor++
        paint([math]u[/math], maxColor)
      else:
        paint([math]u[/math], color)
function solve():
  for [math]v \in V[/math] :
    colors[[math]v[/math]] = 0
    if not visited[[math]v[/math]]
      dfs([math]v[/math])
  maxColor = 0
  for [math]v \in V[/math] :
    if colors[[math]v[/math]] == 0:
      maxColor++
      paint([math]v[/math], maxColor)

Вершины каждой из компонент реберной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.

Время работы алгоритма будет время работы двух запусков dfs, то есть [math]2 \cdot O(|V| + |E|)[/math], что есть [math] O(|V| + |E|)[/math].

Однопроходный алгоритм

Однопроходный алгоритм строится на базе алгоритма поиска мостов. Во-первых, создадим глобальный стек, и при спуске по дереву [math] dfs [/math] добавляем в него вершины. Во-вторых, когда возвращаемся назад, проверяем не является ли ребро мостом (при помощи леммы). Если это так, то все вершины, находящиеся до текущего потомка в стеке, принадлежат одной компоненте.Заметим, что эта компонента будет висячей вершиной в дереве блоков и мостов, так как обходили граф поиском в глубину. Значит, ее можно выкинуть и продолжить поиск в оставшемся графе. Действуя по аналогии в получившемся графе, найдем оставшиеся компоненты реберной двусвязности.

Псевдокод

function paint([math]v[/math]):
  maxColor++
  last = -1
  while last != [math]v[/math] and not stack.empty()
    colors[stack.top()] = maxColor
    last = stack.top()
    stack.pop()
function dfs([math] v [/math])
  time =  time + 1
  stack.push([math]v[/math])
  tin[[math]v[/math]] = time
  up[[math]v[/math]] = time
  for [math] (v, u) \in E[/math]:
    if [math](v, u)[/math] — обратное ребро
      up[[math]v[/math]] = min(up[[math]v[/math]], tin[[math]u[/math]])
    if not visited[[math]u[/math]]
      dfs([math]u[/math])
      up[[math]v[/math]] = min(up[[math]v[/math]], up[[math]u[/math]])
      if up[[math]u[/math]] > tin[[math]v[/math]] 
        paint([math]u[/math]) 

Так же после вызова dfs нужно не забыть в конце вызвать ещё раз paint.

Теперь две вершины имеют одинаковый цвет тогда и только тогда, когда они принадлежат одной компоненте реберной двусвязности.

Время работы dfs [math] O(|V| + |E|)[/math]. Покраска за [math] O(|V|) [/math]. Итоговое время работы алгоритма [math] O(|V| + |E|)[/math].

См. также

Источники информации