Изменения

== Описание ==Алгоритм Томпсона строит по [[Категория: Теория формальных языковНедетерминированные конечные автоматы|НКА]] эквивалентный [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]]следующим образом:* Начало.* '''Шаг 1.''' Помещаем в очередь <tex>Q</tex> множество, состоящее только из стартовой вершины.* '''Шаг 2.''' Затем, пока очередь не пуста выполняем следующие действия:** Достаем из очереди множество, назовем его <tex>q</tex>** Для всех <tex>c \in \Sigma</tex> посмотрим в какое состояние ведет переход по символу <tex>c</tex> из каждого состояния в <tex>q</tex>. Полученное множество состояний положим в очередь <tex>Q</tex> только если оно не лежало там раньше. Каждое такое множество в итоговом ДКА будет отдельной вершиной, в которую будут вести переходы по соответствующим символам.** Если в множестве <tex>q</tex> хотя бы одна из вершин была терминальной в НКА, то соответствующая данному множеству вершина в ДКА также будет терминальной.* Конец. 

ДКАПусть нам дан произвольный НКА: <tex>\langle \Sigma , описанный в следующих строках является эквивалентным НКАQ, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to 2^Q \rangle</tex>.

Построим по нему следующий ДКА: <tex>\langle \Sigma , Q_d, s_d \in Q_d, T_d \subset Q_d, \delta_d : Q_d \times \Sigma \to Q_d \rangle</tex>, где:# <tex>Q_d = \{q_d \mid q_d \subset 2^Q\}</tex>.,# <tex>s_d = \{s\}</tex>.,# <tex>T_d = \{q \in Q_d | \mid \exists p \in T : p \in q\}</tex>.,# <tex>\delta_d(q, c) = \cup_{i=1}^{m} \delta(a_ia, c)</tex> при условии, что <tex>\mid a \in q = \{a_1, ..., a_m\}</tex>.

#Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА. Заметим, что <tex>\forall q \in q_d, \forall c \in \Sigma, \forall p \in \delta(q, c): p \in \delta_d(q_d, c)</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1 \dots w_m</tex>, которое принимает автомат НКА: <tex>\langle s, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle u_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle u_m, \varepsilon \rangle, u_m \in T</tex>. Проверим, что построенный ДКА тоже принимает это слово. Заметим, что <tex>s \in s_d</tex>, а, значит, исходя из нашего наблюдения, мы получаем, что <tex>u_1 \in {u_d}_1</tex>, где <tex>{u_d}_1 = \delta_d(s, w_1)</tex>. Далее, несложно заметить, что <tex>\forall i \leqslant m : u_i \in {u_d}_i</tex>, где <tex>\langle s_d, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_i, w_{i + 1} \dots w_m\rangle</tex>.Таким образом, <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>, а из определения терминальных состояний в построенном ДКА мы получаем, что <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, то есть наш ДКА тоже принимает cлово <tex>w</tex> .#Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА. Сначала сделаем наблюдение, что если <tex>q_d=\{q\}</tex>, и мы из него достигли по строке <tex>S</tex> какого-то состояния <tex>p_d</tex>, то <tex>\forall p \in p_d</tex> существует путь из <tex>q</tex> в <tex>p</tex> в НКА по строке <tex>S</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1 \dots w_m</tex>, которое принимает автомат ДКА: <tex>\langle s_d, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_m, \varepsilon \rangle, {u_d}_m \in T_d</tex>. Проверим, что НКА тоже принимает это слово. Так как <tex>s_d = \{s\}</tex>, и мы из <tex>s_d</tex> достигли <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, возьмём любое терминальное состояние <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>. По нашему наблюдению в НКА есть путь из <tex>s</tex> в <tex>u_m</tex> по строке <tex>w</tex>, а, значит, НКАпринимает это слово. Таким образом, будет принято построенным множества слов, допускаемых ДКАи НКА, совпадают, то есть они эквивалентны.}}

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Сначала сделаем наблюдение, что если <tex>q \in q_d</tex>, и <tex>c</tex> является символом перехода, то <tex>\forall p \in \delta(q, c)</tex>: <tex>p \in \delta_D(q_d, c)</tex>== Алгоритм Томпсона ==Данный алгоритм преобразовывает НКА в эквивалентный ДКА. Будем использовать вышеуказанный способ построения с одним дополнением {{---}} не будем учитывать состояния недостижимые из стартового.Поэтому в алгоритме используется обход в ширину.

Рассмотрим слово w===Алгоритм===* <tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА. * <tex>\mathtt{Q_d}</tex> {{---}} массив множеств, которое принимает автомат соответствующих состояниям ДКА.* <tex>\mathtt{s}</tex> {{---}} стартовое состояние НКА: . '''Automaton''' getDFAbyNFA(<tex>\langle \Sigma, Q, s, w_1w_2T, \delta \rangle</tex> : '''Automaton'''): <tex>P</tex>.push(<tex>\{s\}</tex>) <tex>Q_d</tex> = <tex>\varnothing</tex> '''while''' <tex>P</tex> <tex> \neq </tex> <tex>\varnothing </tex> <tex>P</tex>..w_m pop(<tex>p_d</tex>) '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> <tex>q_d</tex> = <tex>\varnothing</tex> '''for''' <tex>p \in p_d</tex> <tex>q_d</tex> = <tex>q_d \cup \{ \rangle delta(p, c) \vdash }</tex> <tex>\langle u_1delta_d(p_d, w_2q_d)</tex> = <tex>c</tex> '''if''' <tex>q_d \notin Q_d</tex> <tex>P</tex>.push(<tex>q_d</tex>) <tex>Q_d</tex>..w_m add(<tex>q_d</tex>) <tex>T_d</tex> = <tex>\{q_d \in Q_d \rangle mid \vdash exists p \langle u_m, in T : p \varepsilon in q_d\rangle}</tex>, и '''return''' <tex>u_m \in Tlangle \Sigma, Q_d, \{s\}, T_d, \delta_d \rangle</tex>

Проверим===Асимптотика===Так как количество подмножеств множества состояний НКА не более, что построенный ДКА тоже принимает это словочем <tex>2^n</tex>, а каждое подмножество мы обрабатываем ровно один раз за время <tex>O(n)</tex>, получаем верхнюю оценку времени работы алгоритма {{---}} <tex>O(n \cdot 2^n)</tex>.

Заметим, что <tex>s \in s_d</tex>, а, значит, исходя из нашего наблюдения мы получаем, что <tex>u_1 \in {u_d}_1</tex>, где <tex>{u_d}_1 = \delta_d(s, w_1)</tex>.==Пример===Пусть нам дан [[Недетерминированные конечные автоматы|недетерминированный конечный автомат]]:

Далее несложно заметить, что <tex>\forall i \leq m [[Файл: u_i \in {u_d}_i</tex>, где <tex>\langle s_d, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_i, w_{i + 1}...w_m \rangle</tex>DKA.png|250px]]

Таким образом, <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>, а из определения терминальных состояний в построенном По нашему заданию эквивалентного ДКА мы получаем, что <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, а, значит, наш ДКА, тоже принимает cлово w.:

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Рассмотрим последовательность состояний НКА, когда принимали слово - <tex>(q_1, ..., q_m)</tex> - и последовательность состояний ДКА, когда принимали слово - <tex>({q_d}_1, ..., {q_d}_m)</tex>[[Файл:NKA_definition.png|250px]]

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Мы знаем#Помещаем в очередь множество из одной стартовой вершины — <tex>\{1\}</tex>: <tex>Q = \{\{1\}\}</tex>.#Достаём из очереди множество <tex>\{1\}</tex>: <tex>Q = \{\}</tex>.#<tex>q_d(\{1\}, a) = \{1, что 2\}</tex>q_m, кладём множество <tex>\{1, 2\}</tex> - терминальнаяв очередь: <tex>Q = \{\{1, 2\}\}</tex>.#<tex>q_d(\{1\}, b) = \{1\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1\}</tex> в очередь, так как НКА принимает словооно уже там было. Надо доказать#Достаём из очереди множество <tex>\{1, что 2\}</tex>: <tex>Q = \{\}</tex>.#<tex>q_d(\{1, 2\}, a) = \{1, 2\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.#<tex>q_d(\{1, 2\}, b) = \{1, 2\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.#Помечаем все терминальные вершины, в данном случае — <tex>\{1, 2\}_m</tex> - терминальная.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Заметим, что <tex>q_1 \in {q_d}_1</tex> - так как это стартовые состояния, а, значит, по нашему наблюдению <tex>q_2 \in {q_d}_2</tex> и так далее. Получается, что <tex>q_m \in {q_d}_m</tex>. Мы знаем, что <tex>q_m</tex> - терминальная вершина, а, значит, по определению терминальной вершины в нашем В итоге получаем ДКА, что <tex>{q_d}_m</tex> - тоже терминальная.эквивалентный исходному:

<tex>2[[Файл:NKA_algorithm.</tex> Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКАpng|250px]].

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Сначала сделаем наблюдение, что если <tex>q_d</tex>, соответствует множеству из одного элемента - <tex>q</tex>, и мы из него достигли по строке <tex>S</tex> какого-то состояния <tex>p_d</tex>, то <tex>\forall p \in p_d</tex>: существует путь из <tex>q</tex> в <tex>p</tex> в НКА по строке <tex>S</tex>== См.также ==

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Рассмотрим последовательность состояний * [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]]* [[Минимизация ДКА, когда принимали слово - <tex>алгоритм за O(n^2) с построением пар различимых состояний]]* [[Теорема Клини ({q_d}_1, ..., {q_d}_mсовпадение классов автоматных и регулярных языков)</tex>.]]

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;== Источники информации ==* ''Серебряков В.А так как <tex>{q_d}_1</tex> .'' Теория и реализация языков программирования. М.: МЗ- стартовое состояниеПресс, соответствует множеству из одного элемента 2003 (1- <tex>q_1</tex> е изд.) и 2006 (2- стартовое состояниее изд) — С. Мы из <tex>{q_d}_1</tex> достигли <tex>{q_d}_m</tex>, возьмём любое терминальное состояние <tex>q_m \in {q_d}_m</tex> 294. — ISBN 5-94073-094- по нашему наблюдению, в НКА есть путь из <tex>q_1</tex> в <tex>q_m</tex> по нужной строке, а, значит, что НКА принимает это слово.9

Получается, что мы доказали, что если НКА принимает слово, равносильно тому, что ДКА его тоже принимает. А это означает, что автоматы эквивалентны.}} == Алгоритм Томпсона ==Данный алгоритм преобразовывает НКА в эквивалентный ДКА.Мы будем использовать предыдущий алгоритм построения с одним дополнением - нам не нужны состояния недостижимые из стартового. Поэтому в алгоритме используется обход в ширину. ===Алгоритм===<tex>Q</tex> - очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА.<tex>s</tex> - стартовое состояние НКА. '''1:''' <tex>Q.push(\{s\})</tex> '''2:''' <tex>while</tex> <tex>not</tex> <tex>(isEmpty(Q))\{</tex> '''3[[Категория:''' <tex>Q.pop(q_d)</tex>Теория формальных языков]] '''4[[Категория:''' <tex>for</tex> <tex>c \in \Sigma \{</tex> '''5:''' <tex>p_d = \o</tex> '''6:''' <tex>for</tex> <tex>q \in q_d</tex> '''7:''' <tex>p_d = p_d \cup \delta(q, c)</tex> '''8:''' <tex>if</tex> <tex>(p_d</tex> <tex>haven't</tex> <tex>been</tex> <tex>in</tex> <tex>Q</tex>) '''9:''' <tex>Q.push(p_d)</tex> '''10:''' <tex>\}</tex> '''11:''' <tex>\}</tex> Верхняя оценка на работу алгоритмы - <tex>O(n \cdot 2^n)</tex> - так как количество подмножеств множества состояний НКА не более, чем <tex>2^n</tex>, а каждое подмножество мы обрабатываем за <tex>O(n)</tex> Автоматы и ровно один раз.регулярные языки]]