Изменения

Перейти к: навигация, поиск
Алгоритм
Алгоритм Томпсона строит по [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] эквивалентный [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]] следующим образом:
* Начало.
* '''Шаг 1.''' Помещаем в очередь <tex>Q</tex> множество, состоящее только из стартовой вершины.* '''Шаг 2.''' Затем, пока очередь не пуста выполняем следующие действия:
** Достаем из очереди множество, назовем его <tex>q</tex>
** Для каждого всех <tex>c \in \Sigma</tex> построим множество, содержащее состояния, посмотрим в которые какое состояние ведет символ переход по символу <tex>c</tex> из каждого состояния из в <tex>q</tex>. Затем Полученное множество состояний положим построенное множество в очередь <tex>Q</tex> только если оно не лежало там раньше. Каждое такое множество в итоговом ДКА будет отдельной вершиной, в которую будут вести переходы по соответствующим символам.
** Если в множестве <tex>q</tex> хотя бы одна из вершин была терминальной в НКА, то соответствующая данному множеству вершина в ДКА также будет терминальной.
* Конец.
== Построение эквивалентного ДКА по НКА ==
Построенный ДКА эквивалентен данному НКА.
|proof=
#Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА. Заметим, что <tex>\forall q \in q_d, \forall c \in \Sigma, \forall p \in \delta(q, c): p \in \delta_d(q_d, c)</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1...\dots w_m</tex>, которое принимает автомат НКА: <tex>\langle s, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle u_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle u_m, \varepsilon \rangle, u_m \in T</tex>. Проверим, что построенный ДКА тоже принимает это слово. Заметим, что <tex>s \in s_d</tex>, а, значит, исходя из нашего наблюдения, мы получаем, что <tex>u_1 \in {u_d}_1</tex>, где <tex>{u_d}_1 = \delta_d(s, w_1)</tex>. Далее, несложно заметить, что <tex>\forall i \leqslant m : u_i \in {u_d}_i</tex>, где <tex>\langle s_d, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_i, w_{i + 1} \dots w_m\rangle</tex>. Таким образом, <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>, а из определения терминальных состояний в построенном ДКА мы получаем, что <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, то есть наш ДКА тоже принимает cлово <tex>w</tex>.
#Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА. Сначала сделаем наблюдение, что если <tex>q_d=\{q\}</tex>, и мы из него достигли по строке <tex>S</tex> какого-то состояния <tex>p_d</tex>, то <tex>\forall p \in p_d</tex> существует путь из <tex>q</tex> в <tex>p</tex> в НКА по строке <tex>S</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1 \dots w_m</tex>, которое принимает автомат ДКА: <tex>\langle s_d, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_m, \varepsilon \rangle, {u_d}_m \in T_d</tex>. Проверим, что НКА тоже принимает это слово. Так как <tex>s_d = \{s\}</tex>, и мы из <tex>s_d</tex> достигли <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, возьмём любое терминальное состояние <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>. По нашему наблюдению в НКА есть путь из <tex>s</tex> в <tex>u_m</tex> по строке <tex>w</tex>, а, значит, НКА принимает это слово.
Таким образом, множества слов, допускаемых ДКА и НКА, совпадают, то есть они эквивалентны.
===Алгоритм===
* <tex>Q\mathtt{P}</tex> {{---}} очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА.* <tex>\mathtt{Q_d}</tex> {{---}} массив множеств, соответствующих состояниям ДКА.* <tex>\mathtt{s}</tex> {{---}} стартовое состояние НКА. '''Automaton''' getDFAbyNFA(<tex>\langle \Sigma, Q_0Q, s, T, \delta_0 delta \rangle</tex> : '''Automaton'''): <tex>QP</tex>.push(<tex>\{s\}</tex>) <tex>Q_d</tex> = <tex>\varnothing</tex> '''while''' (<tex>QP</tex> <tex> \neq </tex> <tex>\varnothing </tex>) <tex>QP</tex>.pop(<tex>q_dp_d</tex>) '''for''' (<tex>c</tex> '''\in''' <tex>\Sigma</tex>) <tex>p_dq_d</tex> = <tex>\varnothing</tex> '''for''' (<tex>q</tex> '''p \in''' <tex>q_dp_d</tex>) <tex>p_dq_d</tex> = <tex>p_d q_d \cup \{ \delta_0delta(qp, c) \}</tex> <tex>\delta_d(p_d, q_d)</tex> = <tex>c</tex> '''if''' <tex>q_d \notin Q_d</tex> <tex>P</tex>.push('''not''' visited[<tex>p_dq_d</tex>]) <tex>QQ_d</tex>.pushadd(<tex>p_dq_d</tex>) <tex>T_d</tex> = <tex>\{q_d \in Q_d \mid \exists p \in T : p \in q_d\}</tex> '''return''' <tex>\langle \Sigma, QQ_d, \{s\}, TT_d, \delta delta_d \rangle</tex>
===Асимптотика===
== См. также ==
* [[Детерминированные конечные автоматыРегулярные языки: два определения и их эквивалентность]]* [[Недетерминированные конечные автоматыМинимизация ДКА, алгоритм за O(n^2) с построением пар различимых состояний]]* [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)]] == Источники информации ==* ''Серебряков В.А.'' Теория и реализация языков программирования. М.: МЗ-Пресс, 2003 (1-е изд.) и 2006 (2-е изд) — С. 294. — ISBN 5-94073-094-9
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
Анонимный участник

Навигация