Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Построение эквивалентного ДКА по НКА)
(Построение эквивалентного ДКА по НКА)
Строка 1: Строка 1:
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
== Построение эквивалентного ДКА по НКА ==
 
== Построение эквивалентного ДКА по НКА ==
НКА: <tex>\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to P(Q) \rangle</tex>.
 
  
ДКА, описанный в следующих строках является эквивалентным НКА.
+
Пусть нам дан произвольный НКА: <tex>\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to P(Q) \rangle</tex>.
  
ДКА: <tex>\langle \Sigma , Q_d, s_d \in Q_d, T_d \subset Q_d, \delta_d : Q_d \times \Sigma \to Q_d \rangle</tex>, где:
+
Построим по нему следующий ДКА: <tex>\langle \Sigma , Q_d, s_d \in Q_d, T_d \subset Q_d, \delta_d : Q_d \times \Sigma \to Q_d \rangle</tex>, где:
# <tex>Q_d = 2^Q</tex>.
+
# <tex>Q_d = 2^Q</tex>,
# <tex>s_d = \{s\}</tex>.
+
# <tex>s_d = \{s\}</tex>,
# <tex>T_d = \{q \in Q_d | \exists p \in T : p \in q\}</tex>.
+
# <tex>T_d = \{q \in Q_d | \exists p \in T : p \in q\}</tex>,
# <tex>\delta_d(q, c) = \cup_{i=1}^{m} \delta(a_i, c)</tex> при условии, что <tex>q = \{a_1, ..., a_m\}</tex>.
+
# <tex>\delta_d(q, c) = \bigcup\limits_{a \in q} \delta(a, c)</tex>.
  
 
===Доказательство эквивалентности===
 
===Доказательство эквивалентности===
Строка 18: Строка 17:
 
<tex>1.</tex> Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА.
 
<tex>1.</tex> Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА.
  
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Сначала сделаем наблюдение, что если <tex>q \in q_d</tex>, и <tex>c</tex> является символом перехода, то <tex>\forall p \in \delta(q, c)</tex>: <tex>p \in \delta_D(q_d, c)</tex>.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Заметим, что <tex>\forall q \in q_d, \forall c \in \Sigma, \forall p \in \delta(q, c): p \in \delta_d(q_d, c)</tex>.
  
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Рассмотрим слово w, которое принимает автомат НКА: <tex>\langle s, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle u_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle u_m, \varepsilon \rangle</tex>, и <tex>u_m \in T</tex>.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Рассмотрим слово <tex>w</tex>, которое принимает автомат НКА: <tex>\langle s, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle u_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle u_m, \varepsilon \rangle, u_m \in T</tex>.
  
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Проверим, что построенный ДКА тоже принимает это слово.
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Проверим, что построенный ДКА тоже принимает это слово.
  
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Заметим, что <tex>s \in s_d</tex>, а, значит, исходя из нашего наблюдения мы получаем, что <tex>u_1 \in {u_d}_1</tex>, где <tex>{u_d}_1 = \delta_d(s, w_1)</tex>.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Заметим, что <tex>s \in s_d</tex>, а, значит, исходя из нашего наблюдения, мы получаем, что <tex>u_1 \in {u_d}_1</tex>, где <tex>{u_d}_1 = \delta_d(s, w_1)</tex>.
  
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Далее несложно заметить, что <tex>\forall i \leq m : u_i \in {u_d}_i</tex>, где <tex>\langle s_d, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_i, w_{i + 1}...w_m \rangle</tex>.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Далее, несложно заметить, что <tex>\forall i \leq m : u_i \in {u_d}_i</tex>, где <tex>\langle s_d, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_i, w_{i + 1}...w_m \rangle</tex>.
  
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Таким образом, <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>, а из определения терминальных состояний в построенном ДКА мы получаем, что <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, а, значит, наш ДКА, тоже принимает cлово <tex>w</tex>.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Таким образом, <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>, а из определения терминальных состояний в построенном ДКА мы получаем, что <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, то есть наш ДКА тоже принимает cлово <tex>w</tex>.
  
 
<tex>2.</tex> Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА.
 
<tex>2.</tex> Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА.
  
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Сначала сделаем наблюдение, что если <tex>q_d=\{q\}</tex>, и мы из него достигли по строке <tex>S</tex> какого-то состояния <tex>p_d</tex>, то <tex>\forall p \in p_d</tex>: существует путь из <tex>q</tex> в <tex>p</tex> в НКА по строке <tex>S</tex>.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Сначала сделаем наблюдение, что если <tex>q_d=\{q\}</tex>, и мы из него достигли по строке <tex>S</tex> какого-то состояния <tex>p_d</tex>, то <tex>\forall p \in p_d</tex> существует путь из <tex>q</tex> в <tex>p</tex> в НКА по строке <tex>S</tex>.
  
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Рассмотрим слово w, которое принимает автомат ДКА: <tex>\langle s_d, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_m, \varepsilon \rangle</tex>, и <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Рассмотрим слово <tex>w</tex>, которое принимает автомат ДКА: <tex>\langle s_d, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_m, \varepsilon \rangle, {u_d}_m \in T_d</tex>.
  
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Проверим, что НКА тоже принимает это слово.
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Проверим, что НКА тоже принимает это слово.
  
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;А так как <tex>s_d = \{s\}</tex>, и мы из <tex>s_d</tex> достигли <tex>{s_d}_m \in T_d</tex>, возьмём любое терминальное состояние <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>, то - по нашему наблюдению, в НКА есть путь из <tex>s</tex> в <tex>u_m</tex> по нужной строке, а, значит, что НКА принимает это слово.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Так как <tex>s_d = \{s\}</tex>, и мы из <tex>s_d</tex> достигли <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, возьмём любое терминальное состояние <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>. По нашему наблюдению в НКА есть путь из <tex>s</tex> в <tex>u_m</tex> по строке <tex>w</tex>, а, значит, НКА принимает это слово.
  
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Получается, что мы доказали, что если НКА принимает слово, равносильно тому, что ДКА его тоже принимает.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Таким образом, множества слов, допускаемых ДКА и НКА совпадают, то есть они эквивалентны.
 
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;А это означает, что автоматы эквивалентны.
 
 
}}
 
}}
  

Версия 03:46, 25 октября 2011

Построение эквивалентного ДКА по НКА

Пусть нам дан произвольный НКА: [math]\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to P(Q) \rangle[/math].

Построим по нему следующий ДКА: [math]\langle \Sigma , Q_d, s_d \in Q_d, T_d \subset Q_d, \delta_d : Q_d \times \Sigma \to Q_d \rangle[/math], где:

  1. [math]Q_d = 2^Q[/math],
  2. [math]s_d = \{s\}[/math],
  3. [math]T_d = \{q \in Q_d | \exists p \in T : p \in q\}[/math],
  4. [math]\delta_d(q, c) = \bigcup\limits_{a \in q} \delta(a, c)[/math].

Доказательство эквивалентности

Теорема:
Построенный ДКА эквивалентен данному НКА.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]1.[/math] Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА.

    Заметим, что [math]\forall q \in q_d, \forall c \in \Sigma, \forall p \in \delta(q, c): p \in \delta_d(q_d, c)[/math].

    Рассмотрим слово [math]w[/math], которое принимает автомат НКА: [math]\langle s, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle u_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle u_m, \varepsilon \rangle, u_m \in T[/math].

    Проверим, что построенный ДКА тоже принимает это слово.

    Заметим, что [math]s \in s_d[/math], а, значит, исходя из нашего наблюдения, мы получаем, что [math]u_1 \in {u_d}_1[/math], где [math]{u_d}_1 = \delta_d(s, w_1)[/math].

    Далее, несложно заметить, что [math]\forall i \leq m : u_i \in {u_d}_i[/math], где [math]\langle s_d, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_i, w_{i + 1}...w_m \rangle[/math].

    Таким образом, [math]u_m \in {u_d}_m[/math], а из определения терминальных состояний в построенном ДКА мы получаем, что [math]{u_d}_m \in T_d[/math], то есть наш ДКА тоже принимает cлово [math]w[/math].

[math]2.[/math] Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА.

    Сначала сделаем наблюдение, что если [math]q_d=\{q\}[/math], и мы из него достигли по строке [math]S[/math] какого-то состояния [math]p_d[/math], то [math]\forall p \in p_d[/math] существует путь из [math]q[/math] в [math]p[/math] в НКА по строке [math]S[/math].

    Рассмотрим слово [math]w[/math], которое принимает автомат ДКА: [math]\langle s_d, w_1w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2...w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_m, \varepsilon \rangle, {u_d}_m \in T_d[/math].

    Проверим, что НКА тоже принимает это слово.

    Так как [math]s_d = \{s\}[/math], и мы из [math]s_d[/math] достигли [math]{u_d}_m \in T_d[/math], возьмём любое терминальное состояние [math]u_m \in {u_d}_m[/math]. По нашему наблюдению в НКА есть путь из [math]s[/math] в [math]u_m[/math] по строке [math]w[/math], а, значит, НКА принимает это слово.

    Таким образом, множества слов, допускаемых ДКА и НКА совпадают, то есть они эквивалентны.
[math]\triangleleft[/math]

Пример

DKA NKA.jpg

Алгоритм Томпсона

Данный алгоритм преобразовывает НКА в эквивалентный ДКА. Мы будем использовать предыдущий способ построения с одним дополнением - нам не нужны состояния недостижимые из стартового.

Поэтому в алгоритме используется обход в ширину.

Алгоритм

[math]Q[/math] - очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА. [math]s[/math] - стартовое состояние НКА.

 1: [math]Q.push(\{s\})[/math]
 2: [math]while[/math] [math]not[/math] [math](isEmpty(Q))\{[/math]
 3:    [math]Q.pop(q_d)[/math]
 4:    [math]for[/math] [math]c \in \Sigma \{[/math]
 5:      [math]p_d = \o[/math]
 6:      [math]for[/math] [math]q \in q_d[/math] 
 7:        [math]p_d = p_d \cup \delta(q, c)[/math]
 8:      [math]if[/math] [math](p_d[/math] [math]haven't[/math] [math]been[/math] [math]in[/math] [math]Q[/math])
 9:        [math]Q.push(p_d)[/math]
 10:   [math]\}[/math]
 11: [math]\}[/math]

Верхняя оценка на работу алгоритмы - [math]O(n \cdot 2^n)[/math] - так как количество подмножеств множества состояний НКА не более, чем [math]2^n[/math], а каждое подмножество мы обрабатываем за [math]O(n)[/math] и ровно один раз.