Поток минимальной стоимости — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Задача о назначениях)
(Алгоритм: Оказывается бывают отрицательные стоимости)
 
(не показаны 62 промежуточные версии 10 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Определение задачи ==
+
==Задача о потоке минимальной стоимости==
Задача о потоке минимальной стоимости состоит в нахождении самого дешёвого способа передачи определённого количества [[Определение сети, потока|потока]] через заданную [[Определение сети, потока|сеть]].
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Дано число <tex>f_0</tex> и транспортная сеть <tex>\,G(V,E)</tex> с источником <tex>s \in V</tex> и стоком <tex>t \in V</tex>, где ребра <tex>(u,v) \in E</tex> имеют пропускную способность <tex>\,c(u,v)</tex> и цену <tex>\,p(u,v)</tex>.
+
|definition=Пусть дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. Ребра <tex>(u,v) \in E</tex> имееют пропускную способность <tex> c(u, v), </tex> поток <tex> f(u,v) </tex> и цену за единицу потока <tex>a(u, v) </tex>. Тогда '''общая стоимость потока''' из <tex>S</tex> в <tex>T</tex>:
 
+
:<tex>p(u,v) = \sum\limits_{u,v \in V, f(u,v)>0} a(u,v) \cdot f(u,v)</tex>
Суть задачи — найти поток ''f''(''u'', ''v''):
+
}}
 +
===Свойства сети===
 +
* Поток не может превысить пропускную способность.
 +
:<tex>f(u,v) \leqslant c(u,v)</tex>
 +
* Поток из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> должен быть противоположным потоку из <tex>v</tex> в <tex>u</tex>.
 +
:<tex>f(u, v)=-f(v, u)</tex>
 +
* Сохранение потока. Для каждой вершины, сумма входящего и исходящего потоков равно <tex>0</tex>.
 +
:<tex> \sum\limits_{w \in V} f(u,w) = 0</tex>
  
:<tex>p(f) = \sum_{u,v \in V} p(u,v) \cdot f(u,v) - min </tex>.
+
{{Задача
:<tex>|f| = \sum_{u,v \in V} f(u,v) = f_0</tex>
+
|definition = Дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. Ребра <tex>(u,v) \in E</tex> имееют пропускную способность <tex> c(u, v), </tex> поток <tex> f(u,v) </tex> {{---}}
 +
и цену за единицу потока <tex> a(u, v) </tex>. Требуется найти максимальный поток, суммарная стоимость которого минимальна.
 
}}
 
}}
  
 
== Алгоритмы решения ==
 
== Алгоритмы решения ==
*Найти любой поток величины <tex>f_0</tex>, после чего избавиться от всех циклов отрицательной стоимости в остаточном графе. Чтобы избавиться от цикла, надо пустить по нему максимально возможный поток. Циклы ищутся алгоритмом [[Алгоритм Форда-Беллмана|Форда - Беллмана]].
+
===Метод устранения отрицательных циклов в остаточной сети===
*[[Поиск_потока_минимальной_стоимости_методом_дополнения_вдоль_путей_минимальной_стоимости|Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости]].
+
Воспользуемся [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|леммой об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети]]. Получим следующий алгоритм:
*[[Использование_потенциалов_Джонсона_при_поиске_потока_минимальной_стоимости|Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости (модификация предыдущего алгоритма)]].
+
====Алгоритм====
 +
* '''Начало.'''
 +
* '''Шаг 1'''. Определим для каждого прямого ребра <tex>(u,v)</tex> обратное ребро <tex>(v,u)</tex>. Определим его характеристики: <tex>c(v,u)=0</tex>, <tex>f(v,u)=-f(u,v)</tex>, <tex>a(v,u)=-a(u,v)</tex>.
 +
* '''Шаг 2'''. Для каждого ребра зададим поток равный <tex>0</tex>.
 +
* '''Шаг 3'''. Найдем произвольный максимальный поток(любым алгоритмом нахождения максимального потока), построим для него остаточную сеть, где каждому ребру будет соответствовать величина <tex>a(u,v) \cdot (c(u,v) - f(u,v))</tex>.
 +
* '''Шаг 4'''. При помощи [[Алгоритм Форда-Беллмана| алгоритма Форда-Беллмана]] найдем отрицательный цикл в построенной сети. Если отрицательный цикл не нашелся {{---}} перейдем к '''шагу 6'''.
 +
* '''Шаг 5'''. Избавимся от отрицательного цикла, для этого пустим по нему максимально возможный поток. Величина потока равна минимальной остаточной пропускной способности в цикле. Перейдем к '''шагу 4'''.
 +
* '''Шаг 6'''. Отрицательных циклов в остаточной сети нет, значит, максимальный поток минимальной стоимости найден.
 +
* '''Конец.'''
 +
 
 +
====Асимптотика====
 +
Алгоритм Форда-Беллмана работает за <tex>O(VE)</tex>, улучшение цикла за <tex>O(E)</tex>. Если обозначить максимальную стоимость потока как <tex>C</tex>, а максимальную пропускную способность как <tex>U</tex>, то алгоритм совершит <tex>O(ECU)</tex> итераций поиска цикла, если каждое улучшение цикла будет улучшать его на 1. В итоге имеем <tex>O(V E^2 C U + maxFlow)</tex>, где <tex>maxFlow</tex> - асимптотика поиска максимального потока.
 +
 
 +
===Метод дополнения потока вдоль путей минимальной стоимости===
 +
{{main|Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости}}
  
== Задача о назначениях ==
+
===Использование потенциалов Джонсона===
* Дана квадратная матрица <tex>A_{N\times N}</tex>. Нужно выбрать в ней <tex>N</tex> элементов так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце был выбран только один элемент, а сумма значений этих элементов была наименьшей.
+
{{main|Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости}}
* Имеется <tex>N</tex> заказов и <tex>N</tex> станков. Про каждый заказ известна стоимость его изготовления на каждом станке. На каждом станке можно выполнять только один заказ. Требуется распределить все заказы по станкам так, чтобы минимизировать суммарную стоимость.
 
Популярная задача, которая легко сводится к потоку минимальной стоимости - [[Сведение_задачи_о_назначениях_к_задаче_о_потоке_минимальной_стоимости|задача о назначениях]].
 
  
== Источник ==
+
== См. также ==
* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
+
* [[Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости|Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости]]
 +
* [[Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях|Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]]
  
== Ссылки ==
+
== Источники информации ==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Поток_минимальной_стоимости Википедия - Поток минимальной стоимости]
+
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Поток_минимальной_стоимости Википедия {{---}} Поток минимальной стоимости]
 
*[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/min-cost-max-flow-2009 Визуализатор алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости]
 
*[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/min-cost-max-flow-2009 Визуализатор алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости]
*[http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/61884/ Хабрахабр - Максимальный поток минимальной стоимости]
+
*[http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/61884/ Хабрахабр {{---}} Максимальный поток минимальной стоимости]
 +
* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. {{---}} 1296 с.: ил. {{---}} Парал. тит. англ. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
  
  
 +
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]
 
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]

Текущая версия на 19:16, 16 сентября 2019

Задача о потоке минимальной стоимости[править]

Определение:
Пусть дана сеть [math]G(V,E)[/math]. [math]S, T \in V[/math] — источник и сток. Ребра [math](u,v) \in E[/math] имееют пропускную способность [math] c(u, v), [/math] поток [math] f(u,v) [/math] и цену за единицу потока [math]a(u, v) [/math]. Тогда общая стоимость потока из [math]S[/math] в [math]T[/math]:
[math]p(u,v) = \sum\limits_{u,v \in V, f(u,v)\gt 0} a(u,v) \cdot f(u,v)[/math]

Свойства сети[править]

  • Поток не может превысить пропускную способность.
[math]f(u,v) \leqslant c(u,v)[/math]
  • Поток из [math]u[/math] в [math]v[/math] должен быть противоположным потоку из [math]v[/math] в [math]u[/math].
[math]f(u, v)=-f(v, u)[/math]
  • Сохранение потока. Для каждой вершины, сумма входящего и исходящего потоков равно [math]0[/math].
[math] \sum\limits_{w \in V} f(u,w) = 0[/math]


Задача:
Дана сеть [math]G(V,E)[/math]. [math]S, T \in V[/math] — источник и сток. Ребра [math](u,v) \in E[/math] имееют пропускную способность [math] c(u, v), [/math] поток [math] f(u,v) [/math] — и цену за единицу потока [math] a(u, v) [/math]. Требуется найти максимальный поток, суммарная стоимость которого минимальна.


Алгоритмы решения[править]

Метод устранения отрицательных циклов в остаточной сети[править]

Воспользуемся леммой об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети. Получим следующий алгоритм:

Алгоритм[править]

  • Начало.
  • Шаг 1. Определим для каждого прямого ребра [math](u,v)[/math] обратное ребро [math](v,u)[/math]. Определим его характеристики: [math]c(v,u)=0[/math], [math]f(v,u)=-f(u,v)[/math], [math]a(v,u)=-a(u,v)[/math].
  • Шаг 2. Для каждого ребра зададим поток равный [math]0[/math].
  • Шаг 3. Найдем произвольный максимальный поток(любым алгоритмом нахождения максимального потока), построим для него остаточную сеть, где каждому ребру будет соответствовать величина [math]a(u,v) \cdot (c(u,v) - f(u,v))[/math].
  • Шаг 4. При помощи алгоритма Форда-Беллмана найдем отрицательный цикл в построенной сети. Если отрицательный цикл не нашелся — перейдем к шагу 6.
  • Шаг 5. Избавимся от отрицательного цикла, для этого пустим по нему максимально возможный поток. Величина потока равна минимальной остаточной пропускной способности в цикле. Перейдем к шагу 4.
  • Шаг 6. Отрицательных циклов в остаточной сети нет, значит, максимальный поток минимальной стоимости найден.
  • Конец.

Асимптотика[править]

Алгоритм Форда-Беллмана работает за [math]O(VE)[/math], улучшение цикла за [math]O(E)[/math]. Если обозначить максимальную стоимость потока как [math]C[/math], а максимальную пропускную способность как [math]U[/math], то алгоритм совершит [math]O(ECU)[/math] итераций поиска цикла, если каждое улучшение цикла будет улучшать его на 1. В итоге имеем [math]O(V E^2 C U + maxFlow)[/math], где [math]maxFlow[/math] - асимптотика поиска максимального потока.

Метод дополнения потока вдоль путей минимальной стоимости[править]

Использование потенциалов Джонсона[править]

См. также[править]

Источники информации[править]