Изменения

|definition = Дано число <tex>f_0</tex> и транспортная Дана сеть <tex>\,G(V,E)</tex> с источником . <tex>s S, T \in V</tex> {{---}} источник и стоком <tex>t \in V</tex>, где ребра сток. Ребра <tex>(u,v) \in E</tex> имеют имееют пропускную способность <tex>\,c(u,v)</tex> и цену <tex>\,p(u,v)</tex>.Требуется найти поток <tex>f(u, v)</tex>:{{---}} :и цену за единицу потока <tex>p(f) = \sum_{u,v \in V, f(u,v)>0} p(u,v) \cdot fa(u,v) \rightarrow min </tex>.:<tex>|f| = \sum_{uТребуется найти максимальный поток,v \in V, f(u,v)>0} f(u,v) = f_0</tex>суммарная стоимость которого минимальна.

===Метод устранения отрицательных циклов в остаточной сети===Воспользуемся [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|леммой об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети]]. Получим следующий алгоритм:====Алгоритм====* '''Начало.'''*Найти любой поток величины '''Шаг 1'''. Определим для каждого прямого ребра <tex>f_0(u,v)</tex>обратное ребро <tex>(v, после чего избавиться от всех циклов отрицательной стоимости в остаточном графеu)</tex>. Чтобы избавиться от циклаОпределим его характеристики: <tex>c(v,u)=0</tex>, <tex>f(v,u)=-f(u,v)</tex>, <tex>a(v,u)=-a(u, надо пустить по нему максимально возможный v)</tex>.* '''Шаг 2'''. Для каждого ребра зададим потокравный <tex>0</tex>.* '''Шаг 3'''. Циклы ищутся Найдем произвольный максимальный поток(любым алгоритмом нахождения максимального потока), построим для него остаточную сеть, где каждому ребру будет соответствовать величина <tex>a(u,v) \cdot (c(u,v) - f(u,v))</tex>.* '''Шаг 4'''. При помощи [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритма Форда-Беллмана]]найдем отрицательный цикл в построенной сети. Если отрицательный цикл не нашелся {{---}} перейдем к '''шагу 6'''.*[[Поиск_потока_минимальной_стоимости_методом_дополнения_вдоль_путей_минимальной_стоимости|Поиск '''Шаг 5'''. Избавимся от отрицательного цикла, для этого пустим по нему максимально возможный поток. Величина потока равна минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей остаточной пропускной способности в цикле. Перейдем к '''шагу 4'''.* '''Шаг 6'''. Отрицательных циклов в остаточной сети нет, значит, максимальный поток минимальной стоимости]]найден.*[[Использование_потенциалов_Джонсона_при_поиске_потока_минимальной_стоимости|Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости (модификация предыдущего алгоритма)]]'''Конец.'''

== Ссылки ==Асимптотика====Алгоритм Форда-Беллмана работает за <tex>O(VE)</tex>, улучшение цикла за <tex>O(E)</tex>. Если обозначить максимальную стоимость потока как <tex>C</tex>, а максимальную пропускную способность как <tex>U</tex>, то алгоритм совершит <tex>O(ECU)</tex> итераций поиска цикла, если каждое улучшение цикла будет улучшать его на 1. В итоге имеем <tex>O(V E^2 C U + maxFlow)</tex>, где <tex>maxFlow</tex> - асимптотика поиска максимального потока. ===Метод дополнения потока вдоль путей минимальной стоимости==={{main|Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости}} ===Использование потенциалов Джонсона==={{main|Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости}} == См. также ==* [[Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости|Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости]]* [[Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях|Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]] == Источники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Поток_минимальной_стоимости Википедия {{--- }} Поток минимальной стоимости]

*[http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/61884/ Хабрахабр {{- --}} Максимальный поток минимальной стоимости] == Литература ==* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. — {{---}} М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — {{---}} 1296 с.: ил. — {{---}} Парал. тит. англ. — {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)