Изменения

==Поток Задача о потоке минимальной стоимости== {{Определение|definition=Пусть дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. Ребра <tex>(u,v) \in E</tex> имееют пропускную способность <tex> c(u, v), </tex> поток <tex> f(u,v) </tex> и цену за единицу потока <tex>a(u, v) </tex>. Тогда '''общая стоимость потока''' из <tex>S</tex> в <tex>T</tex>::<tex>p(u,v) = \sum\limits_{u,v \in V, f(u,v)>0} a(u,v) \cdot f(u,v)</tex>}}===Свойства сети===* Поток не может превысить пропускную способность. :<tex>f(u,v) \leqslant c(u,v)</tex>* Поток из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> должен быть противоположным потоку из <tex>v</tex> в <tex>u</tex>. :<tex>f(u, v)=-f(v, u)</tex>* Сохранение потока. Для каждой вершины, сумма входящего и исходящего потоков равно <tex>0</tex>.:<tex> \sum\limits_{w \in V} f(u,w) = 0</tex>

|definition = Дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. Ребра <tex>\forall (u,v) \in E</tex> имееют пропускную способность <tex>\exists c(u, v), </tex> поток <tex> f(u,v)</tex> {{---}} стоимость пересылки единицы и цену за единицу потока и пропускная способность<tex> a(u, v) </tex>. Требуется найти максимальный поток, суммарная стоимость которого минимальна.

=== Алгоритмы решения =Асимптотика====* Найти любой поток величины Алгоритм Форда-Беллмана работает за <tex>f_0O(VE)</tex>, после чего избавиться от всех циклов отрицательной стоимости в остаточном графеулучшение цикла за <tex>O(E)</tex>. Чтобы избавиться от Если обозначить максимальную стоимость потока как <tex>C</tex>, а максимальную пропускную способность как <tex>U</tex>, то алгоритм совершит <tex>O(ECU)</tex> итераций поиска цикла, надо пустить по нему максимально возможный потокесли каждое улучшение цикла будет улучшать его на 1. В итоге имеем <tex>O(V E^2 C U + maxFlow)</tex>, где <tex>maxFlow</tex> - асимптотика поиска максимального потока. На основании [[Лемма об эквивалентности свойства  ===Метод дополнения потока быть вдоль путей минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|леммы]] найденный поток будет максимальным и будет иметь минимальную стоимость. Циклы ищутся алгоритмом [[Алгоритм Форда-Беллмана|Форда-Беллмана]]. ===*[[Поиск_потока_минимальной_стоимости_методом_дополнения_вдоль_путей_минимальной_стоимости{{main|Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости]].}} ===Использование потенциалов Джонсона===*[[Использование_потенциалов_Джонсона_при_поиске_потока_минимальной_стоимости{{main|Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости (модификация предыдущего алгоритма)]].}}

* [[Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости|Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости]]* [[Теорема Форда-Фалкерсона Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости|Теорема Форда-Фалкерсона Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости]]* [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сетиВенгерский алгоритм решения задачи о назначениях|Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сетиВенгерский алгоритм решения задачи о назначениях]]

*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Поток_минимальной_стоимости Википедия {{- --}} Поток минимальной стоимости]

*[http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/61884/ Хабрахабр {{- --}} Максимальный поток минимальной стоимости] == Литература ==* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. — {{---}} М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — {{---}} 1296 с.: ил. — {{---}} Парал. тит. англ. — {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)