Пппппппппппппппппппппппппппппппппппппппп — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Полностью удалено содержимое страницы)
Строка 1: Строка 1:
<!------ ! ! v s t u p l e n i e ! ! ------->{{Определение
 
|definition= В математике '''биномиальные коэффициенты''' {{---}} коэффициенты в разложении бинома Ньютона <tex>(1+x)^n</tex> по степеням <tex>x</tex>.}}
 
  
Коэффициенты при <tex>x^k</tex> обозначаются <tex>\binom{n}{k}</tex> и вычисляются по формуле
 
 
<!---- scha vspomniu kak centrirovat'----> <tex>\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}</tex>.
 
 
Значение выражения определено при целых неотрицательных <tex>n</tex> и <tex>k</tex>. Однако видно, что дробь можно сократить на <tex>(n-k)!</tex>.
 
 
<tex>\dbinom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}</tex>.
 
 
В этом выражении <tex>n</tex> может принимать произвольные действительные значения.
 
 
==Расширение треугольника Паскаля== <!------ imho table better but now pofig) ------>
 
[[Файл:Pascalstriangle.PNG|300px|thumb|right|Расширенный треугольник Паскаля]]
 
 
Нетрудно проверить, что для биномиальных коэффициентов справедливо равенство:
 
 
<tex>\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k} </tex>.
 
 
При этом <tex>\binom{n}{0} = 1</tex>. Это свойство позволяет продлить треугольник Паскаля в сторону отрицательных значений <tex>n</tex>, причём единственным образом.
 
 
 
==Применение==
 
Расширенный треугольник Паскаля позволяет раскладывать в ряд простые дроби.
 
 
Например, <tex>\dfrac{1}{(1+z)^2} = (1+z)^{-2} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-2}{k}z^k</tex>.
 
 
В общем случае <tex>\dfrac{1}{(1+z)^n} = (1+z)^{-n} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-n}{k}z^k</tex>.
 
 
<!--Также на практике находят применение биномы в степени с рациональным показателем.
 
 
<tex>(1+z)^{1/2} = (1+z)^{1/2} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{1/2}{k}z^k</tex>. Раскроем <tex>\dbinom{1/2}{k}</tex>.
 
<tex>\dbinom{1/2}{k} = \dfrac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 1)(\frac{1}{2} - 2)\ldots(\frac{1}{2} - k + 1)}{k!} = \dfrac{1(1 - 2)(1 - 4)\ldots(1 - 2k + 2)}{2^kk!}</tex>
 
 
{{Определение
 
|definition= '''(расширенные) биномиальные коэффициенты''' (англ. ''abcde'') — это структуры данных, которые  при внесении в них каких-то изменений сохраняют все свои предыдущие состояния и доступ к этим состояниям. Игорёк, у тебя всё будет классно, прелесть моя!!!!!!!!))))))))))}}
 
 
определение
 
 
какой-то текст --- optional
 
 
дальше помойка, не читайте эту помойку
 
 
применение
 
 
ещё текст --- optional
 
 
см. также
 
* производящая функция
 
 
примечания если есть
 
 
источники
 
вот один из них http://www.genfunc.ru/theory/pril02/
 
 
категории мб
 
 
всё, тут помойка закончилась
 
 
и вроде всё :) содержательно, правда? ну да, так что ждём одобрения и посылаем. Изи!!!
 
ведь я люблю одного хорошего молодого человека и это взаимно!!!!!!!!!!!)))))))))))) *немного мотивашек)*
 
-->
 
 
== См. также ==
 
 
* [[Производящая функция]]
 
 
<!---== Примечания ==
 
<references/-------->
 
 
== Источники информации ==
 
* [http://www.genfunc.ru/theory/pril02/ Расширенные биномиальные коэффициенты]
 
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82 Биномиальный коэффициент {{---}} Википедия]<!----- оооо, щас бы забыть ctrl+c, дожили... старуха Марина 20 лет //отвлекаюсь, да... ----->
 
<!----* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
 
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{---}} Generating function]
 
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
 
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics---->
 
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
<!---[[Категория: Комбинаторика]]
 
[[Категория: Подсчёт числа объектов]]
 
---->
 

Версия 20:19, 17 июня 2020