Изменения
→Алгоритм проверки правильности скобочной последовательности
== Алгоритм проверки правильности скобочной последовательности ==
Пусть нам дана скобочная последовательность, записанная в строку <tex>s</tex>. Возьмем переменную <tex>\mathtt{counter}</tex>, <tex>\mathtt{counter} = 0</tex>, в которой мы будем поддерживать баланс. Будем последовательно перебирать все символы этой строки. Если мы встречаем открывающуюся скобку, то увеличиваем <tex>\mathtt{counter}</tex> на <tex>1</tex>, закрывающую {{---}} уменьшаем на <tex>1</tex>. Если на протяжении всего перебора <tex>\mathtt{counter}</tex> было неотрицательным (не встречалось закрывающих скобок, для которых не было соответствующих открывающих) и после завершения осталось нулем (все открывающие скобки закрыты, при этом нету нет лишних закрытых скобок), то скобочная последовательность правильна.
===Псевдокод===
'''boolean''' check(s: '''string'''):
counter = 0
'''for''' i = 1 '''to''' length(s)
В этом случае для проверки надо будет использовать [[Стек | стек]].
== Лексикографический порядок порядок правильных скобочных последовательностей ==
Для того, чтобы определить лексикографический порядок для правильных скобочных последовательностей, надо установить порядок на алфавите, например так <tex>(\ <\ )</tex>. Для последовательностей с разным типом скобок надо определять свой порядок в зависимости от числа скобок, причем любая открывающаяся скобка должна быть меньше закрывающейся, например <tex>(\ <\ [\ <\ )\ <\ ]</tex>.
*<tex> \mathtt{ans}</tex> {{---}} строка, в которой мы считаем ответ
*<tex> \mathtt{counter\_open}</tex> - количество открывающих скобок в данный момент
*<tex> \mathtt{counter\_open_close}</tex> - количество закрывающих скобок в данный момент '''function''' gen(n: '''int''', counter_open: '''int''', counter_close: '''int''', ans: '''string'''):
'''if''' counter_open + counter_close == 2 * n
print(ans)
Если есть возможность поставить открывающую скобку, то мы ставим её. Аналогично после этого если есть возможность поставить закрывающую скобку, то после этого мы ставим и её.<br>
Таким образом строки будут выведены в лексографическом порядке, так как сначала мы мы пытаемся поставить открывающую скобку.
При этом мы перебираем все возможные варианты последующих скобок для каждого возможного префикса <tex>\mathtt{ans}</tex>, а следовательно в результате получаем все возможножные правильные скобочные последовательности
===Генерация следующей скобочной последовательности===
Пусть нам известна строка <tex>s</tex>, представляющая собой правильную скобочную последовательность. Нам необходимо вывести следующую скобочную последовательность, а если ее нет, то вывести "No solution". Чтобы получить следующую скобочную последовательность надо найти последнюю открывающуюся скобку, которую можно заменить (на этом месте мы можем поставить закрывающую скобку, не нарушив условия правильности скобочной последовательности, то есть на протяжении проверки на правильность counter должен быть неотрицательным), заменить ее на закрывающуюся, а оставшиеся в конце скобки (если они есть) заменить на минимально возможную последовательность скобок:
'''string''' next(s: '''string'''):
counter_close = 0
counter_open = 0
Пусть нам известно число <tex>n</tex>. Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с <tex>n</tex> открывающимися скобками:
'''function''' order(n: '''int'''):
s = ""
'''for''' j = 1 '''to''' n
Перейдём теперь к решению самой задачи. Сначала пусть допустимы только скобки одного типа:
'''int''' get_number(s: '''string'''):
num = 0
depth = 0
Пусть сначала допустимы только скобки одного типа:
'''string''' get_sequence(n: '''int''', k: '''int'''):
depth = 0
s = ""
Пусть теперь разрешён не один, а <tex>k</tex> типов скобок. Тогда алгоритм решения будет отличаться от предыдущего случая только тем, что мы должны домножать значение <tex>d[i + 1][\rm ndepth]</tex> на величину <tex>k^{(2n - i - 1 - \rm ndepth) / 2}</tex>, чтобы учесть, что в этом остатке могли быть скобки различных типов, а парных скобок в этом остатке будет только <tex>2n - i - 1 - \rm ndepth</tex>, поскольку <tex>\rm ndepth</tex> скобок являются закрывающими для открывающих скобок, находящихся вне этого остатка (а потому их типы мы варьировать не можем).
Сложность данного алгоритма <tex>O(n^2 + n \cdot k)</tex>.
==Количество правильных скобочных последовательностей==
