Правильные скобочные последовательности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Алгоритм проверки правильности скобочной последовательности)
 
(не показано 58 промежуточных версий 12 участников)
Строка 1: Строка 1:
<wikitex>
 
 
 
== Определения ==
 
== Определения ==
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id = def1
 
|id = def1
|definition ='''Скобочная последовательность''' {{---}} класс комбинаторных объектов, представляющий собой последовательность скобочных символов.}}
+
|definition ='''Скобочная последовательность''' (анлг. ''Bracket Sequences'') {{---}} класс комбинаторных объектов, представляющих собой последовательность скобочных символов.}}
''Примеры скобочных последовательностей:''
+
'''Примеры скобочных последовательностей'''
*$(())))($
+
*<tex>(())))(</tex>
*$)()()))()(()())$
+
*<tex>)()()))()(()())</tex>
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id = def1
 
|id = def1
|definition ='''Правильная скобочная последовательность''' - частный случай скобочной последовательности, определяющийся следующими образами:
+
|definition ='''Правильная скобочная последовательность''' (анлг. ''Correct Bracket Sequences'') {{---}} частный случай скобочной последовательности, определяющийся следующими образами:
  
*""(пустая строка) есть правильная скобочная последовательность;
+
*<tex>\varepsilon</tex> (пустая строка) есть правильная скобочная последовательность;
*правильная скобочная последовательность, взятая в скобки есть правильная скобочная последовательность;(*)
+
*пусть <tex>S</tex> {{---}} правильная скобочная последовательность, тогда <tex>(S)</tex> есть правильная скобочная последовательность;
*скобочная последовательность, к которой приписана слева или справа другая скобочная последовательность, есть правильная скобочная последовательность;
+
*пусть <tex>S1</tex>, <tex>S2</tex> {{---}} правильные скобочные последовательности, тогда <tex>S1S2</tex> есть правильная скобочная последовательность;
 
}}
 
}}
''Примеры правильных скобочный последовательностей:''
+
'''Примеры правильных скобочный последовательностей'''
*$((()()()()))$
+
*<tex>((()()()()))</tex>
*$(())(()())$
+
*<tex>(())(()())</tex>
  
 
== Алгоритм проверки правильности скобочной последовательности ==
 
== Алгоритм проверки правильности скобочной последовательности ==
  
Пусть нам дана скобочная последовательность записанная в строку $s$. Возьмем переменную $a$, $a = 0$. Будем последовательно перебирать все символы этой строки. Если мы встречаем открывающуюся скобку, то увеличиваем $a$ на $1$, закрывающую - уменьшаем на $1$. Если на протяжении всего перебора $a$ было неотрицательным и после завершения осталось нулем, то скобочная последовательность правильна.
+
Пусть нам дана скобочная последовательность, записанная в строку <tex>s</tex>. Возьмем переменную <tex>\mathtt{counter}</tex>, <tex>\mathtt{counter} = 0</tex>, в которой мы будем поддерживать баланс. Будем последовательно перебирать все символы этой строки. Если мы встречаем открывающуюся скобку, то увеличиваем <tex>\mathtt{counter}</tex> на <tex>1</tex>, закрывающую {{---}} уменьшаем на <tex>1</tex>. Если на протяжении всего перебора <tex>\mathtt{counter}</tex> было неотрицательным (не встречалось закрывающих скобок, для которых не было соответствующих открывающих) и после завершения осталось нулем (все открывающие скобки закрыты, при этом нет лишних закрытых скобок), то скобочная последовательность правильна.
 +
 
 +
===Псевдокод===
  
''псевдокод'':
+
  '''boolean''' check(s: '''string'''):
 +
    counter = 0
 +
    '''for''' i = 1 '''to''' length(s)
 +
      '''if''' s[i] == '('
 +
        counter++
 +
      '''else'''
 +
        counter--
 +
      '''if''' counter < 0
 +
        '''return''' ''false''
 +
    '''return''' counter == 0
  
  function check(s: string): boolean;
+
Надо отметить, что скобочные последовательности могут состоять не только из одного типа скобок. При этом недопустимо такое расположение, когда один тип скобок закрывает другой:
    var
 
      i, a :integer;
 
      begin
 
        a := 0
 
        for i := 1 to length(s) do  {перебираем последовательно все символы строки (подразумевается, что в ней нет символов отличных от "(" и ")")}
 
          begin
 
            if s[i] = '(' then  {проверяем символ и производим соответствующие действия над переменной a}
 
            inc(a)
 
            else
 
            dec(a);
 
            if a < 0 then
 
            check := false; 
 
          end;
 
        if a = 0 then  {проверяем на равенство нулю}
 
        check := true
 
        else
 
        check := false;
 
      end;
 
  
Надо отметить что, скобочные последовательности могут состоять не только из одного типа скобок, при этом недопустимо такое расположение, когда один тип скобок закрывает другой:
+
===Примеры скобочных последовательностей с несколькими типами скобок===
  
''Примеры скобочных последовательностей с несколькими типами скобок:''
+
*<tex>()[()]\{()()[]\}</tex> {{---}} верно
 +
*<tex>[(]\{\})</tex> {{---}} неверно
  
*$()[()]\{()()[]\}$ - верно
+
В этом случае для проверки надо будет использовать [[Стек | стек]].
*$[(]\{\})$ - неверно
 
  
В этом случае для проверки надо будет использовать стек.
+
== Лексикографический порядок правильных скобочных последовательностей ==
  
== Лексикографический порядок порядок правильных скобочных последовательностей ==
+
Для того, чтобы определить лексикографический порядок для правильных скобочных последовательностей, надо установить порядок на алфавите, например так <tex>(\ <\ )</tex>. Для последовательностей с разным типом скобок надо определять свой порядок в зависимости от числа скобок, причем любая открывающаяся скобка должна быть меньше закрывающейся, например <tex>(\ <\ [\ <\ )\ <\ ]</tex>.
  
Для того чтобы определить лексикографический порядок для правильных скобочных последовательностей будем интерпретировать открывающуюся скобку как "$0$", а закрывающуюся как "$1$" (**). Тогда первая последовательность с n открывающимися скобками будет иметь вид:
+
===Примеры лексикографического порядка для <tex>n</tex> и <tex>k</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} число открывающихся скобок, а <tex>k</tex> {{---}} число видов скобок===
  
{| border="1" cellpadding="3"
+
{| class="wikitable"
  | (||(||(||(||...||(||(||(||)||)||)||...||)||)||)||)||(***)
+
!colspan="2" style="padding:7px"| <tex>n = 3</tex>
 +
  !colspan="3" style="padding:7px"| <tex>k = 1</tex>
 
  |-
 
  |-
  |0||0||0||0||...||0||0||0||1||1||1||...||1||1||1||1
+
  !style="padding:7px"|<tex>((()))</tex>
 +
!style="padding:7px"|<tex>(()())</tex>
 +
!style="padding:7px"|<tex>(())()</tex>
 +
!style="padding:7px"|<tex>()(())</tex>
 +
!style="padding:7px"|<tex>()()()</tex>
 
  |}
 
  |}
  
что соответствует самому маленькому возможному числу, а последняя:
+
{| class="wikitable" cellpadding="3"
 
+
  !colspan="2" style="padding:7px"|<tex>n = 2</tex>
{| border="1" cellpadding="3"
+
!colspan="2" style="padding:7px"|<tex>k = 2</tex>
  | (||)||(||)||...||(||)||(||)||(||)||...||(||)||(||)
 
 
  |-
 
  |-
  |0||1||0||1||...||0||1||0||1||0||1||...||0||1||0||1
+
  !style="padding:7px"|<tex>()[]</tex>
 +
!style="padding:7px"|<tex>([])</tex>
 +
!style="padding:7px"|<tex>[()]</tex>
 +
!style="padding:7px"|<tex>[]()</tex>
 
  |}
 
  |}
  
что соответствует самому большому возможному числу.
+
== Алгоритмы генерации ==
Для последовательностей с разным типом скобок надо определять свой порядок, например "$($"<"$[$"<"$)$"<"$]$".
+
 
 +
===Рекурсивный алгоритм получения лексикографического порядка===
 +
Пусть нам известно число <tex>n</tex>. Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с <tex>n</tex> открывающимися скобками:
 +
 
 +
Для запуска алгоритма необходимо сделать вызов <tex>\mathrm{gen}(n</tex>, <tex>0</tex>, <tex>0</tex>, <tex>"")</tex>.
 +
*<tex> \mathtt{ans}</tex> {{---}} строка, в которой мы считаем ответ
 +
*<tex> \mathtt{counter\_open}</tex> - количество открывающих скобок в данный момент
 +
*<tex> \mathtt{counter\_close}</tex> - количество закрывающих скобок в данный момент
 +
  '''function''' gen(n: '''int''', counter_open: '''int''', counter_close: '''int''', ans: '''string'''):
 +
    '''if''' counter_open + counter_close == 2 * n
 +
      print(ans)
 +
      '''return'''
 +
    '''if''' counter_open < n
 +
      gen(n, counter_open + 1, counter_close, ans + '(')
 +
    '''if''' counter_open > counter_close
 +
      gen(n, counter_open, counter_close + 1, ans + ')')
 +
 
 +
Если есть возможность поставить открывающую скобку, то мы ставим её. Аналогично после этого если есть возможность поставить закрывающую скобку, то после этого мы ставим и её.<br>
 +
Таким образом строки будут выведены в лексографическом порядке, так как сначала мы мы пытаемся поставить открывающую скобку.
 +
При этом мы перебираем все возможные варианты последующих скобок для каждого возможного префикса <tex>\mathtt{ans}</tex>, а следовательно в результате получаем все возможножные правильные скобочные последовательности
 +
 
 +
===Генерация следующей скобочной последовательности===
 +
 
 +
Пусть нам известна строка <tex>s</tex>, представляющая собой правильную скобочную последовательность. Нам необходимо вывести следующую скобочную последовательность, а если ее нет, то вывести "No solution". Чтобы получить следующую скобочную последовательность надо найти последнюю открывающуюся скобку, которую можно заменить (на этом месте мы можем поставить закрывающую скобку, не нарушив условия правильности скобочной последовательности, то есть на протяжении проверки на правильность counter должен быть неотрицательным), заменить ее на закрывающуюся, а оставшиеся в конце скобки (если они есть) заменить на минимально возможную последовательность скобок:
 +
 
 +
  '''string''' next(s: '''string'''):
 +
    counter_close = 0
 +
    counter_open = 0
 +
    '''for''' i = length(s) '''downto''' 1
 +
        '''if''' s[i] == '('
 +
          counter_open++
 +
          '''if''' counter_close > counter_open
 +
            '''break'''
 +
        '''else'''
 +
          counter_close++
 +
    <font color="Green">// начиная с символа с индексом "length(s) - counter_open - counter_close" удаляем все символы (индексация с 0)</font>
 +
    remove(s[length(s) - counter_open - counter_close], s[length(s) - 1])
 +
    '''if''' s == ""
 +
      '''return''' "No Solution"
 +
    '''else'''
 +
    s = s +')'
 +
    '''for''' j = 1 '''to''' counter_open
 +
      s = s + '('
 +
    '''for''' j = 1 '''to''' counter_close - 1
 +
      s = s + ')'
 +
    '''return''' s
 +
 
 +
===Получение лексикографического порядка===
 +
 
 +
Пусть нам известно число <tex>n</tex>. Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с <tex>n</tex> открывающимися скобками:
 +
 
 +
  '''function''' order(n: '''int'''):
 +
    s = ""
 +
    '''for''' j = 1 '''to''' n
 +
      s = s + '('
 +
    '''for''' j = 1 '''to''' n
 +
      s = s + ')'
 +
    print(s)
 +
    '''while''' next(s) != "No Solution"
 +
      print(s = next(s))
 +
    '''return'''
 +
 
 +
Также с помощью этого алгоритма можно получить скобочную последовательность по номеру и номер по скобочной последовательности, добавив сравнение с нужной последовательностью и счетчик. Но это далеко не самый оптимальный алгоритм для подобного типа задач и он не будет нормально работать для больших <tex>n</tex>.
 +
 
 +
===Получение номера последовательности===
 +
 
 +
Пусть <tex>n</tex> — количество пар скобок в последовательности. Требуется по заданной правильной скобочной последовательности найти её номер в списке лексикографически упорядоченных правильных скобочных последовательностей.
 +
 
 +
Научимся считать вспомогательную [[Динамическое программирование | динамику]] <tex>d[i][j]</tex>, где <tex>i</tex> — длина скобочной последовательности (она "полуправильная": всякой закрывающей скобке соответствует парная открывающая, но не все открытые скобки закрыты), <tex>j</tex> — баланс (т.е. разность между количеством открывающих и закрывающих скобок), <tex>d[i][j]</tex> — количество таких последовательностей. При подсчёте этой динамики мы считаем, что скобки бывают только одного типа.
 +
 
 +
Считать эту динамику можно следующим образом. Пусть <tex>d[i][j]</tex> — величина, которую мы хотим посчитать. Если <tex>i = 0</tex>, то ответ понятен сразу: <tex>d[0][0] = 1</tex>, все остальные <tex>d[0][j] = 0</tex>. Пусть теперь <tex>i > 0</tex>, тогда переберём, чему мог быть равен последний символ этой последовательности. Если он был равен <tex>'('</tex>, то до этого символа мы находились в состоянии <tex>(i-1,j-1)</tex>. Если он был равен <tex>')'</tex>, то предыдущим было состояние <tex>(i-1,j+1)</tex>. Таким образом, получаем формулу:
 +
 
 +
<tex>d[i][j] = d[i-1][j-1] + d[i-1][j+1]</tex>
 +
 
 +
(считается, что все значения <tex>d[i][j]</tex> при отрицательном <tex>j</tex> равны нулю). Таким образом, эту динамику мы можем посчитать за <tex>O(n^2)</tex>.
 +
 
 +
Перейдём теперь к решению самой задачи. Сначала пусть допустимы только скобки одного типа:
  
''Примеры лексикографического порядка для $n$ и $k$, где $n$ - число открывающихся скобок, а $k$ - число видов скобок''
+
  '''int''' get_number(s: '''string'''):
 +
    num = 0
 +
    depth = 0
 +
    '''for''' i = 0 '''to''' 2 * n - 1
 +
      '''if''' s[i] == '('
 +
        depth++
 +
      '''else'''
 +
        num += d[2 * n - i - 1][depth + 1]
 +
        depth--
 +
    '''return''' num
  
{| border="1" cellpadding="3"
+
Пусть теперь разрешены скобки <tex>k</tex> типов. Тогда при рассмотрении текущего символа <tex>s[i]</tex> до пересчёта <tex>\rm depth</tex> мы должны перебирать все скобки, которые меньше текущего символа в установленном ранее порядке, пробовать ставить эту скобку в текущую позицию (получая тем самым новый баланс <tex>\rm ndepth = \rm depth \pm 1</tex>), и прибавлять к ответу количество соответствующих "хвостов" {{---}} завершений (которые имеют длину <tex>2n - i - 1</tex>, баланс <tex>\rm ndepth</tex> и <tex>k</tex> типов скобок). Утверждается, что формула для этого количества имеет вид:
|$n = 3$||$k = 1$
 
|-
 
|$((()))$||$(()())$||$(())()$||$()(())$||$()()()$
 
|}
 
  
{| border="1" cellpadding="3"
+
<tex>d[2n - i - 1][ndepth] \cdot k^{(2n - i - 1 - ndepth) / 2}</tex>
|$n = 2$||$k = 2$
 
|-
 
|$()[]$||$([])$||$[()]$||$[]()$
 
|}
 
  
Алгоритм генерации лексикографического порядка будет предложен ниже.
+
Эта формула выводится из следующих соображений. Сначала мы "забываем" про то, что скобки бывают нескольких типов, и просто берём ответ из <tex>d[2n - i - 1][{\rm ndepth}] </tex> (аналогично случаю с одним типом скобок, где мы увеличивали <tex>depth</tex> на <tex>1</tex>, если скобка открывающая, и уменьшали на <tex>1</tex>, если закрывающая, <tex>ndepth = depth + 1</tex>, если мы пробуем поставить открывающую скобку, и <tex>ndepth = depth - 1</tex>, если закрывающую). Теперь посчитаем, как изменится ответ из-за наличия <tex>k</tex> типов скобок. У нас имеется <tex>2n - i - 1</tex> неопределённых позиций, из которых <tex>\rm ndepth</tex> являются скобками, закрывающими какие-то из открытых ранее, — значит, тип таких скобок мы варьировать не можем. А вот все остальные скобки (а их будет <tex>(2n - i - 1 - {\rm ndepth}) / 2</tex> пар) могут быть любого из <tex>k</tex> типов, поэтому ответ умножается на эту степень числа <tex>k</tex>.
  
== Количество правильных скобочных последовательностей. Числа Каталана ==
+
Сложность данного алгоритма <tex>O(n^2 + n \cdot k)</tex>.
  
Количество правильных скобочных последовательностей со скобками одного типа совпадает с числами Каталана.
+
===Получение k-й последовательности===
{{Определение
 
|id = def1
 
|definition =Числа Каталана {{---}} последовательность чисел, выражающих:
 
*количество неизоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и n+1 листьями;
 
*количество способов соединения 2n точек на окружности n непересекающимися хордами;
 
*количество разбиений выпуклого (n+2)-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями;
 
*количество правильных скобочных последовательностей имеющих n открывающихся скобок.}}
 
Числа Каталана удовлетворяют следующему рекурентному соотношению:
 
  
$C_0 = 1$; {{---}} так как существует только одна скобочная последовательность с 0 открывающихся скобок - пустая
+
Пусть <tex>n</tex> — количество пар скобок в последовательности. В данной задаче по заданному <tex>k</tex> требуется найти <tex>k</tex>-ую правильную скобочную последовательность в списке лексикографически упорядоченных последовательностей.
  
$C_n = \sum_{i = 1}^{n - 1} C_i C_{n - 1 - i}$.
+
Как и в предыдущем разделе, посчитаем динамику <tex>d[i][j]</tex> — количество правильных скобочных последовательностей длины <tex>i</tex> с балансом <tex>j</tex>.
  
Это соотношение легко получается из (*). Для этого надо перебрать все возможные последовательности $d_1$ и $d_2$, являющиеся правильными скобочными последовательностями, такие, что $(d_1)d_2$ образуют новые правильные скобочные последовательности необходимой нам длины.
+
Пусть сначала допустимы только скобки одного типа:
  
 +
  '''string''' get_sequence(n: '''int''', k: '''int'''):
 +
    depth = 0
 +
    s = ""
 +
    '''for''' i = 0 '''to''' 2 * n - 1
 +
      '''if''' d[2 * n - (i + 1)][depth + 1] <tex>\geqslant</tex> k
 +
        s += '('
 +
        depth++
 +
      '''else'''
 +
        k -= d[2 * n - (i + 1)][depth + 1]
 +
        s += ')'
 +
        depth--
 +
    '''return''' s
  
== Алгоритмы генерации ==
+
Пусть теперь разрешён не один, а <tex>k</tex> типов скобок. Тогда алгоритм решения будет отличаться от предыдущего случая только тем, что мы должны домножать значение <tex>d[i + 1][\rm ndepth]</tex> на величину <tex>k^{(2n - i - 1 - \rm ndepth) / 2}</tex>, чтобы учесть, что в этом остатке могли быть скобки различных типов, а парных скобок в этом остатке будет только <tex>2n - i - 1 - \rm ndepth</tex>, поскольку <tex>\rm ndepth</tex> скобок являются закрывающими для открывающих скобок, находящихся вне этого остатка (а потому их типы мы варьировать не можем).
  
 +
Сложность данного алгоритма <tex>O(n^2 + n \cdot k)</tex>.
  
''Генерация следующей скобочной последовательности:''
+
==Количество правильных скобочных последовательностей==
 +
Количество правильных скобочных последовательностей со скобками одного типа совпадает с [[Числа Каталана | числами Каталана]].
  
Пусть нам известна строка $s$, представляющая собой правильную скобочную последовательность. Нам необходимо вывести следующую скобочную последовательность, а если ее нет, то - "No solution". Воспользуемся интерпретацией (**). Чтобы получить следующий битовый вектор надо найти самый последний нулевой элемент, заменить его на единицу, а элементы следующие за ним сделать минимально возможными (все нули). Тоже самое и со скобочными последовательностями, только после замены нуля на единицу оставшиеся скобки надо расположить в минимальном порядке (в виде (***)):
+
== См. также ==
 +
*[[Числа Каталана]]
 +
*[[Комбинаторные объекты]]
 +
*[[Лексикографический порядок]]
 +
*[[Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке]]
 +
*[[Получение номера по объекту]]
 +
*[[Получение объекта по номеру]]
 +
*[[Получение следующего объекта]]
  
  function next(var s: string): boolean;
+
== Источники ==
    var
 
      i, k, l:integer;   
 
    begin 
 
      k := 0;  {счетчик для закрывающихся скобок}
 
      l := 0;  {счетчик для закрывающихся скобок}
 
      for i := length(s) downto 1 do  {Начинаем перебирать скобки с конца}
 
        begin
 
          if s[i] = '(' then
 
            begin
 
              inc(l); 
 
              if k > l then  {встретив открывающуюся скобку, которую можно поменять на закрывающуюся, меняяем ее и выходим из цикла}
 
              break;
 
            end
 
          else
 
          inc(k);
 
        end;
 
      delete(s, length(s) - l - k + 1, k + l);  {удаляем все скобки включая открывающуюся}
 
      if s = '' then
 
      next := false
 
      else
 
        begin
 
          s := s +')';  {записываем закрывающуюся скобку}
 
          for j := 1 to l do  {расставляем скобки в минимально возможном порядке}
 
          s := s + '(';
 
          for j := 1 to k - 1 do
 
          s := s + ')';
 
          next := true;
 
        end;
 
    end;
 
  
Если эта функция после выполнения выводит $true$ тогда надо напечатать полученную строку $s$, если $false$, то следует вывести "No solution".
+
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Скобочные последовательности, Материал из Википедии — свободной энциклопедии]
  
''Получение лексикографического порядка:''
+
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Правильная скобочная последовательность, Материал из Википедии — свободной энциклопедии]
  
Пусть нам известно число $n$. Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с $n$ открывающимися скобками:
+
* [http://e-maxx.ru/algo/bracket_sequences MAXimal :: algo :: Правильные скобочные последовательности]
  
  procedure (n: integer);
+
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
    var
 
      s: string;
 
      j: integer;
 
      t: boolean;
 
      begin
 
        s := '';
 
        if n = 0 then
 
        writeln('')
 
        else
 
          begin
 
            for j := 1 to n do  {создаем начальную строку}
 
            s := s + '(';
 
            for j := 1 to n do
 
            s := s + ')';
 
            writeln(s);
 
            t := next(s);
 
            while t <> false do  {выполняем до тех пор пока не будет получена последняя последовательность}
 
              begin
 
                writeln(s);
 
                t := next(s);
 
              end;
 
          end;
 
      end;
 
  
Так же с помощью этого алгоритма можно получить скобочную последовательность по номеру и номер по скобочной последовательности, добавив сравнение с нужной последовательностью и счетчик. Но это далеко не самый оптимальный алгоритм для подобного типа задач и он не будет нормально работать для больших $n$.
+
[[Категория: Комбинаторика ]]

Текущая версия на 12:11, 20 мая 2019

Определения[править]

Определение:
Скобочная последовательность (анлг. Bracket Sequences) — класс комбинаторных объектов, представляющих собой последовательность скобочных символов.

Примеры скобочных последовательностей

  • [math](())))([/math]
  • [math])()()))()(()())[/math]
Определение:
Правильная скобочная последовательность (анлг. Correct Bracket Sequences) — частный случай скобочной последовательности, определяющийся следующими образами:
  • [math]\varepsilon[/math] (пустая строка) есть правильная скобочная последовательность;
  • пусть [math]S[/math] — правильная скобочная последовательность, тогда [math](S)[/math] есть правильная скобочная последовательность;
  • пусть [math]S1[/math], [math]S2[/math] — правильные скобочные последовательности, тогда [math]S1S2[/math] есть правильная скобочная последовательность;

Примеры правильных скобочный последовательностей

  • [math]((()()()()))[/math]
  • [math](())(()())[/math]

Алгоритм проверки правильности скобочной последовательности[править]

Пусть нам дана скобочная последовательность, записанная в строку [math]s[/math]. Возьмем переменную [math]\mathtt{counter}[/math], [math]\mathtt{counter} = 0[/math], в которой мы будем поддерживать баланс. Будем последовательно перебирать все символы этой строки. Если мы встречаем открывающуюся скобку, то увеличиваем [math]\mathtt{counter}[/math] на [math]1[/math], закрывающую — уменьшаем на [math]1[/math]. Если на протяжении всего перебора [math]\mathtt{counter}[/math] было неотрицательным (не встречалось закрывающих скобок, для которых не было соответствующих открывающих) и после завершения осталось нулем (все открывающие скобки закрыты, при этом нет лишних закрытых скобок), то скобочная последовательность правильна.

Псевдокод[править]

 boolean check(s: string):
   counter = 0
   for i = 1 to length(s)
     if s[i] == '('
       counter++
     else
       counter-- 
     if counter < 0
       return false 
   return counter == 0

Надо отметить, что скобочные последовательности могут состоять не только из одного типа скобок. При этом недопустимо такое расположение, когда один тип скобок закрывает другой:

Примеры скобочных последовательностей с несколькими типами скобок[править]

  • [math]()[()]\{()()[]\}[/math] — верно
  • [math][(]\{\})[/math] — неверно

В этом случае для проверки надо будет использовать стек.

Лексикографический порядок правильных скобочных последовательностей[править]

Для того, чтобы определить лексикографический порядок для правильных скобочных последовательностей, надо установить порядок на алфавите, например так [math](\ \lt \ )[/math]. Для последовательностей с разным типом скобок надо определять свой порядок в зависимости от числа скобок, причем любая открывающаяся скобка должна быть меньше закрывающейся, например [math](\ \lt \ [\ \lt \ )\ \lt \ ][/math].

Примеры лексикографического порядка для [math]n[/math] и [math]k[/math], где [math]n[/math] — число открывающихся скобок, а [math]k[/math] — число видов скобок[править]

[math]n = 3[/math] [math]k = 1[/math]
[math]((()))[/math] [math](()())[/math] [math](())()[/math] [math]()(())[/math] [math]()()()[/math]
[math]n = 2[/math] [math]k = 2[/math]
[math]()[][/math] [math]([])[/math] [math][()][/math] [math][]()[/math]

Алгоритмы генерации[править]

Рекурсивный алгоритм получения лексикографического порядка[править]

Пусть нам известно число [math]n[/math]. Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с [math]n[/math] открывающимися скобками:

Для запуска алгоритма необходимо сделать вызов [math]\mathrm{gen}(n[/math], [math]0[/math], [math]0[/math], [math]"")[/math].

  • [math] \mathtt{ans}[/math] — строка, в которой мы считаем ответ
  • [math] \mathtt{counter\_open}[/math] - количество открывающих скобок в данный момент
  • [math] \mathtt{counter\_close}[/math] - количество закрывающих скобок в данный момент
 function gen(n: int, counter_open: int, counter_close: int, ans: string):
   if counter_open + counter_close == 2 * n
     print(ans)
     return
   if counter_open < n
     gen(n, counter_open + 1, counter_close, ans + '(')
   if counter_open > counter_close
     gen(n, counter_open, counter_close + 1, ans + ')')

Если есть возможность поставить открывающую скобку, то мы ставим её. Аналогично после этого если есть возможность поставить закрывающую скобку, то после этого мы ставим и её.
Таким образом строки будут выведены в лексографическом порядке, так как сначала мы мы пытаемся поставить открывающую скобку. При этом мы перебираем все возможные варианты последующих скобок для каждого возможного префикса [math]\mathtt{ans}[/math], а следовательно в результате получаем все возможножные правильные скобочные последовательности

Генерация следующей скобочной последовательности[править]

Пусть нам известна строка [math]s[/math], представляющая собой правильную скобочную последовательность. Нам необходимо вывести следующую скобочную последовательность, а если ее нет, то вывести "No solution". Чтобы получить следующую скобочную последовательность надо найти последнюю открывающуюся скобку, которую можно заменить (на этом месте мы можем поставить закрывающую скобку, не нарушив условия правильности скобочной последовательности, то есть на протяжении проверки на правильность counter должен быть неотрицательным), заменить ее на закрывающуюся, а оставшиеся в конце скобки (если они есть) заменить на минимально возможную последовательность скобок:

 string next(s: string):
   counter_close = 0
   counter_open = 0
   for i = length(s) downto 1
       if s[i] == '('
         counter_open++ 
         if counter_close > counter_open
           break
       else 
         counter_close++
   // начиная с символа с индексом "length(s) - counter_open - counter_close" удаляем все символы (индексация с 0)
   remove(s[length(s) - counter_open - counter_close], s[length(s) - 1])
   if s == ""
     return "No Solution"
   else
    s = s +')'
    for j = 1 to counter_open
      s = s + '('
    for j = 1 to counter_close - 1
      s = s + ')'
    return s

Получение лексикографического порядка[править]

Пусть нам известно число [math]n[/math]. Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с [math]n[/math] открывающимися скобками:

 function order(n: int):
   s = ""
   for j = 1 to n
     s = s + '('
   for j = 1 to n
     s = s + ')'
   print(s)
   while next(s) != "No Solution"
     print(s = next(s))
   return

Также с помощью этого алгоритма можно получить скобочную последовательность по номеру и номер по скобочной последовательности, добавив сравнение с нужной последовательностью и счетчик. Но это далеко не самый оптимальный алгоритм для подобного типа задач и он не будет нормально работать для больших [math]n[/math].

Получение номера последовательности[править]

Пусть [math]n[/math] — количество пар скобок в последовательности. Требуется по заданной правильной скобочной последовательности найти её номер в списке лексикографически упорядоченных правильных скобочных последовательностей.

Научимся считать вспомогательную динамику [math]d[i][j][/math], где [math]i[/math] — длина скобочной последовательности (она "полуправильная": всякой закрывающей скобке соответствует парная открывающая, но не все открытые скобки закрыты), [math]j[/math] — баланс (т.е. разность между количеством открывающих и закрывающих скобок), [math]d[i][j][/math] — количество таких последовательностей. При подсчёте этой динамики мы считаем, что скобки бывают только одного типа.

Считать эту динамику можно следующим образом. Пусть [math]d[i][j][/math] — величина, которую мы хотим посчитать. Если [math]i = 0[/math], то ответ понятен сразу: [math]d[0][0] = 1[/math], все остальные [math]d[0][j] = 0[/math]. Пусть теперь [math]i \gt 0[/math], тогда переберём, чему мог быть равен последний символ этой последовательности. Если он был равен [math]'('[/math], то до этого символа мы находились в состоянии [math](i-1,j-1)[/math]. Если он был равен [math]')'[/math], то предыдущим было состояние [math](i-1,j+1)[/math]. Таким образом, получаем формулу:

[math]d[i][j] = d[i-1][j-1] + d[i-1][j+1][/math]

(считается, что все значения [math]d[i][j][/math] при отрицательном [math]j[/math] равны нулю). Таким образом, эту динамику мы можем посчитать за [math]O(n^2)[/math].

Перейдём теперь к решению самой задачи. Сначала пусть допустимы только скобки одного типа:

 int get_number(s: string):
    num = 0
    depth = 0
    for i = 0 to 2 * n - 1
      if s[i] == '('
        depth++
      else
        num += d[2 * n - i - 1][depth + 1]
        depth--
    return num

Пусть теперь разрешены скобки [math]k[/math] типов. Тогда при рассмотрении текущего символа [math]s[i][/math] до пересчёта [math]\rm depth[/math] мы должны перебирать все скобки, которые меньше текущего символа в установленном ранее порядке, пробовать ставить эту скобку в текущую позицию (получая тем самым новый баланс [math]\rm ndepth = \rm depth \pm 1[/math]), и прибавлять к ответу количество соответствующих "хвостов" — завершений (которые имеют длину [math]2n - i - 1[/math], баланс [math]\rm ndepth[/math] и [math]k[/math] типов скобок). Утверждается, что формула для этого количества имеет вид:

[math]d[2n - i - 1][ndepth] \cdot k^{(2n - i - 1 - ndepth) / 2}[/math]

Эта формула выводится из следующих соображений. Сначала мы "забываем" про то, что скобки бывают нескольких типов, и просто берём ответ из [math]d[2n - i - 1][{\rm ndepth}] [/math] (аналогично случаю с одним типом скобок, где мы увеличивали [math]depth[/math] на [math]1[/math], если скобка открывающая, и уменьшали на [math]1[/math], если закрывающая, [math]ndepth = depth + 1[/math], если мы пробуем поставить открывающую скобку, и [math]ndepth = depth - 1[/math], если закрывающую). Теперь посчитаем, как изменится ответ из-за наличия [math]k[/math] типов скобок. У нас имеется [math]2n - i - 1[/math] неопределённых позиций, из которых [math]\rm ndepth[/math] являются скобками, закрывающими какие-то из открытых ранее, — значит, тип таких скобок мы варьировать не можем. А вот все остальные скобки (а их будет [math](2n - i - 1 - {\rm ndepth}) / 2[/math] пар) могут быть любого из [math]k[/math] типов, поэтому ответ умножается на эту степень числа [math]k[/math].

Сложность данного алгоритма [math]O(n^2 + n \cdot k)[/math].

Получение k-й последовательности[править]

Пусть [math]n[/math] — количество пар скобок в последовательности. В данной задаче по заданному [math]k[/math] требуется найти [math]k[/math]-ую правильную скобочную последовательность в списке лексикографически упорядоченных последовательностей.

Как и в предыдущем разделе, посчитаем динамику [math]d[i][j][/math] — количество правильных скобочных последовательностей длины [math]i[/math] с балансом [math]j[/math].

Пусть сначала допустимы только скобки одного типа:

 string get_sequence(n: int, k: int):
   depth = 0
   s = ""
   for i = 0 to 2 * n - 1
     if d[2 * n - (i + 1)][depth + 1] [math]\geqslant[/math] k
       s += '('
       depth++
     else
       k -= d[2 * n - (i + 1)][depth + 1]
       s += ')'
       depth--
   return s

Пусть теперь разрешён не один, а [math]k[/math] типов скобок. Тогда алгоритм решения будет отличаться от предыдущего случая только тем, что мы должны домножать значение [math]d[i + 1][\rm ndepth][/math] на величину [math]k^{(2n - i - 1 - \rm ndepth) / 2}[/math], чтобы учесть, что в этом остатке могли быть скобки различных типов, а парных скобок в этом остатке будет только [math]2n - i - 1 - \rm ndepth[/math], поскольку [math]\rm ndepth[/math] скобок являются закрывающими для открывающих скобок, находящихся вне этого остатка (а потому их типы мы варьировать не можем).

Сложность данного алгоритма [math]O(n^2 + n \cdot k)[/math].

Количество правильных скобочных последовательностей[править]

Количество правильных скобочных последовательностей со скобками одного типа совпадает с числами Каталана.

См. также[править]

Источники[править]