Редактирование: Предельный переход в классе измеримых функций

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
[[Определение измеримой функции|<<]][[Сходимость по мере|>>]]
+
{{В разработке}}
  
== 1 ==
+
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
 +
 
 +
==1==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement =  
+
|statement=Пусть <tex>E</tex> измеримо, <tex>f_n : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо на <tex>E</tex>, <tex>\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)</tex>
Пусть <tex>E</tex> измеримо, <tex>f_n : E \to \mathbb{R}</tex>, все <tex>f_n</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)</tex>, тогда <tex>f</tex> тоже измерима на <tex>E</tex>.
+
Тогда <tex>f</tex> тоже измеримо на <tex>E</tex>.
|proof =  
+
|proof=
 
Выведем это из стандартного факта анализа.
 
Выведем это из стандартного факта анализа.
  
<tex>a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \iff a = \inf\limits_{n\in \mathbb{N}} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}} \inf \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}</tex>
+
<tex>a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \Rightarrow a = \inf\limits_{n\in \mathbb{N}} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}</tex>
Но нас интересует следствие только в прямую сторону.
 
  
 
<tex>f(x) = \inf\limits_{n\to\infty} \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots\}</tex>
 
<tex>f(x) = \inf\limits_{n\to\infty} \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots\}</tex>
Строка 19: Строка 20:
 
<tex>E(g_n\leq a) = \bigcap\limits_{m = n}^\infty E(f_m\leq a)</tex>
 
<tex>E(g_n\leq a) = \bigcap\limits_{m = n}^\infty E(f_m\leq a)</tex>
  
Аналогично <tex>\inf</tex>. Значит, <tex>f</tex> {{---}} измерима по Лебегу
+
Аналогично <tex>inf</tex>. Значит, <tex>f</tex> {{---}} измерима по Лебегу
 
}}
 
}}
  
Строка 39: Строка 40:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть заданы функции <tex>f_n, f</tex> на <tex>E</tex>, <tex>E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) \ne f(x)\}</tex>. Если <tex>\mu E' = 0</tex>, то <tex>f_n\to f</tex> '''почти всюду''' на <tex>E</tex>.
+
Пусть заданы функции <tex>f_n, f</tex> на <tex>E</tex>, <tex>E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) \ne f(x)\}</tex>. Если <tex>\mu E' = 0</tex>, то <tex>f_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 77: Строка 78:
  
 
}}
 
}}
 
[[Определение измеримой функции|<<]][[Сходимость по мере|>>]]
 
[[Категория: Математический анализ 2 курс]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)