Просмотр исходного текста страницы Предельный переход в классе измеримых функций

{{В разработке}}

{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}

==1==
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>E</tex> измеримо, <tex>f_n : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо на <tex>E</tex>, <tex>\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)</tex>
Тогда <tex>f</tex> тоже измеримо на <tex>E</tex>.
|proof=
Выведем это из стандартного факта анализа.

<tex>a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \Rightarrow a = \inf\limits_{n\in \mathbb{N}} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}</tex>

<tex>f(x) = \inf\limits_{n\to\infty} \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots\}</tex>

Обозначим <tex>g_n(x) = \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots \}</tex>

Осталось показать, что <tex>\inf</tex> и <tex>\sup</tex> не выводят за рамки класса измеримых:

<tex>E(g_n\leq a) = \bigcap\limits_{m = n}^\infty E(f_m\leq a)</tex>

Аналогично <tex>inf</tex>. Значит, <tex>f</tex> {{---}} измерима по Лебегу
}}

==2==
Введём понятие «свойство выполняется почти всюду». Именно на базе этого термина теория приобретает свои характерные черты. 

{{Определение
|definition=Пусть <tex>E\subset X</tex>, <tex>P</tex> {{---}} свойство. Если <tex>E(\overline P)</tex> {{---}}нульмерно, то <tex>P</tex> выполняется '''почти всюду''' на <tex>E</tex>
}}

Пример. Функция Дирихле <tex>f = \begin{cases}1 & x \notin \mathbb{Q}\\ 0 & x \in \mathbb{Q}\end{cases}</tex>

<tex>g = 1</tex> на <tex>\mathbb{R}</tex>.

Тогда <tex>f=g</tex> почти всюду на <tex>\mathbb{R}</tex>.

Это понятие понадобится нам для того, чтобы определить сходимость функции почти всюду. 

{{Определение
|definition=
Пусть заданы функции <tex>f_n, f</tex> на <tex>E</tex>, <tex>E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) \ne f(x)\}</tex>. Если <tex>\mu E' = 0</tex>, то <tex>f_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>.
}}

Для того, чтобы придать более удобную запись множеству <tex> E' </tex>, рассмотрим множество 
<tex>A = \bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac1p)</tex>.

Считаем, что функции <tex> f_n, f </tex> измеримы, поэтому множество <tex> A </tex> тоже измеримо.

Легко проверить, что оно совпадает с множеством точек <tex> x </tex> из <tex>E</tex>, таких, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\ne f(x)</tex>, достаточно вспомнить отрицание предела:

Если точка принадлежит <tex> A </tex>, то <tex>\exists p_0 : x \in \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac{1}{p_0})</tex>.

Значит, <tex>\exists p_0\ \forall m : x \in \bigcup\limits_{n=m}^\infty \left(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac1{p_0} \right) </tex>, то есть,

<tex>\exists n_1 < n_2 < \ldots < n_k < \ldots : |f_{n_k}(x) - f(x)| \geq \frac1{p_0}</tex>, и <tex> x \in E' </tex>.

Аналогично — в обратную сторону.

Значит, сходимость <tex> f_n </tex> к <tex> f </tex> почти всюду равносильна нульмерности <tex> A </tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда <tex>f</tex> {{---}} измерима.
|proof=
Напоминаем, все действия мы проводим для <tex>\sigma</tex>-конечных полных мер.

<tex>E'=E(f_n\not\to f)</tex>. <tex>\mu E' = 0</tex>

<tex>E'' = E \setminus E'</tex> {{---}} измеримо, <tex>f_n\to f</tex> всюду на <tex>E''</tex>.

Рассмотрим <tex>E(f<a)</tex>, <tex>E = E'' \cup E'</tex> <tex>\Rightarrow</tex>
<tex>E(f<a) = (E(f<a) \cap E') \cup (E(f<a) \cap E'')</tex>.

Первое множество {{---}} часть нульмерного, значит, и само нульмерно, второе множество измеримо.

Значит, <tex>E(f<a)</tex> измеримо как объединение измеримых.

}}