Изменения

|statement=Пусть <tex>E \in \mathcal{A}</tex>измеримо, <tex>f_n : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо на <tex>E</tex>, <tex>\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)</tex>

|definition=Пусть <tex>E\subset X</tex>, <tex>P</tex> {{---}} свойство. Если <tex>E(\overline P)</tex> {{---}}нульмерно, то <tex>P</tex> выполняется '''почти всюду ''' на <tex>E</tex>

|definition=Есть Пусть заданы функции <tex>f_n, f</tex> на <tex>E</tex>, <tex>E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) = \ne f(x)\}</tex>. Если <tex>\mu E' = 0</tex>, то <tex>f_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>.

Для того, чтобы придать более удобную записьмножеству <tex> E' </tex>, рассмотрим множество <tex>A = \bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac1p)</tex>.

Считаем, что эти функции <tex> f_n, f </tex> измеримы , поэтому множество <tex>\RightarrowA </tex> это множество тоже измеримо.

Легко проверить, что оно совпадает с множеством тех точек <tex> x </tex> из <tex>E</tex>, таких, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\ne f(x)</tex>., достаточно вспомнить отрицание предела:

Достаточно вспомнить отрицание пределаЕсли точка принадлежит <tex> A </tex>, то <tex>\exists p_0 : x \in \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac{1}{p_0})</tex>.

точка <tex>\in</tex> левое множество : Значит, <tex>\exists p_0 : x \subset \bigcap\limits_{forall m=1}^: x \infty in \bigcup\limits_{n=m}^\infty E\left(|f_n(x) - f(x)| \leq geq \frac{1}frac1{p_0}\right)</tex>, то есть,

Значит, <tex>\exists p_0\ \forall m : x \in \bigcup\limits_{n=m}^\infty \left(|f_n(x) - f(x)| \leq \frac1{p_0} \right) \Rightarrow n_1 < n_2 < \cdots ldots < n_k < \cdots ldots : |f_{n_k}(x) - f(x)| \leq geq \frac1{p_0}</tex>, и <tex> x \in E' </tex>.

Аналогично — в обратную сторону.

Множество точекЗначит, в которых не сходится к сходимость <tex>ff_n </tex>, записывается так к <tex>\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x)-f(x)| \leq \frac1p)</tex> {{---}} нульмерно, если сходится почти всюдуравносильна нульмерности <tex> A </tex>.

|statement=Пусть <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда <tex>f</tex> {{---}} измерима.

Все измерения Напоминаем, все действия мы проводим для <tex>\sigma</tex>-конечных полных мер.<tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex> и <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо.

Рассмотрим <tex>E(f<a)</tex>, <tex>E = E'' \cup E'</tex> <tex>\Rightarrow</tex><tex>E(f<a) = (E(f<a) \cap E') \cup (E(f<a) \cap E'')</tex>. Первое множество {{---}} часть нульмерного, значит, и само нульмерно, второе множество измеримо.

Первое {{---}} часть нульмерногоЗначит, значит, и само {{---}} нульмерно. А второе {{---}} <tex>E(f<a)</tex> измеримокак объединение измеримых.