Предельный переход в классе измеримых функций — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(прочитать, исправить, структурировать)
 
м
 
(не показано 11 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
[[Определение измеримой функции|<<]][[Сходимость по мере|>>]]
  
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
+
== 1 ==
 
 
==1==
 
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>E \in \mathcal{A}</tex>, <tex>f_n : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо на <tex>E</tex>, <tex>\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)</tex>
+
|statement =  
Тогда <tex>f</tex> тоже измеримо на <tex>E</tex>.
+
Пусть <tex>E</tex> измеримо, <tex>f_n : E \to \mathbb{R}</tex>, все <tex>f_n</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)</tex>, тогда <tex>f</tex> тоже измерима на <tex>E</tex>.
|proof=
+
|proof =  
 
Выведем это из стандартного факта анализа.
 
Выведем это из стандартного факта анализа.
  
<tex>a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \Rightarrow a = \inf\limits_{n\in \mathbb{N}} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}</tex>
+
<tex>a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \iff a = \inf\limits_{n\in \mathbb{N}} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}} \inf \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}</tex>
 +
Но нас интересует следствие только в прямую сторону.
  
 
<tex>f(x) = \inf\limits_{n\to\infty} \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots\}</tex>
 
<tex>f(x) = \inf\limits_{n\to\infty} \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots\}</tex>
Строка 20: Строка 19:
 
<tex>E(g_n\leq a) = \bigcap\limits_{m = n}^\infty E(f_m\leq a)</tex>
 
<tex>E(g_n\leq a) = \bigcap\limits_{m = n}^\infty E(f_m\leq a)</tex>
  
Аналогично <tex>inf</tex>. Значит, <tex>f</tex> {{---}} измерима по Лебегу
+
Аналогично <tex>\inf</tex>. Значит, <tex>f</tex> {{---}} измерима по Лебегу
 
}}
 
}}
  
Строка 27: Строка 26:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Пусть <tex>E\subset X</tex>, <tex>P</tex> {{---}} свойство. Если <tex>E(\not P)</tex> {{---}}нульмерно, то <tex>P</tex> выполняется почти всюду на <tex>E</tex>
+
|definition=Пусть <tex>E\subset X</tex>, <tex>P</tex> {{---}} свойство. Если <tex>E(\overline P)</tex> {{---}}нульмерно, то <tex>P</tex> выполняется '''почти всюду''' на <tex>E</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 39: Строка 38:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Есть функции <tex>f_n, f</tex> на <tex>E</tex>, <tex>E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) = f(x)\}</tex>. Если <tex>\mu E' = 0</tex>, то <tex>f_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>.
+
|definition=
 +
Пусть заданы функции <tex>f_n, f</tex> на <tex>E</tex>, <tex>E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) \ne f(x)\}</tex>. Если <tex>\mu E' = 0</tex>, то <tex>f_n\to f</tex> '''почти всюду''' на <tex>E</tex>.
 
}}
 
}}
  
Для того, чтобы придать более удобную запись
+
Для того, чтобы придать более удобную запись множеству <tex> E' </tex>, рассмотрим множество
<tex>\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac1p)</tex>
+
<tex>A = \bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac1p)</tex>.
  
Считаем, что эти функции измеримы <tex>\Rightarrow</tex> это множество измеримо.
+
Считаем, что функции <tex> f_n, f </tex> измеримы, поэтому множество <tex> A </tex> тоже измеримо.
  
Легко проверить, что оно совпадает с множеством тех точек из <tex>E</tex>, <tex>\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\ne f(x)</tex>.
+
Легко проверить, что оно совпадает с множеством точек <tex> x </tex> из <tex>E</tex>, таких, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\ne f(x)</tex>, достаточно вспомнить отрицание предела:
  
Достаточно вспомнить отрицание предела.
+
Если точка принадлежит <tex> A </tex>, то <tex>\exists p_0 : x \in \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac{1}{p_0})</tex>.
  
точка <tex>\in</tex> левое множество : <tex>\exists p_0 : x \subset \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \leq \frac{1}{p_0})</tex>
+
Значит, <tex>\exists p_0\ \forall m : x \in \bigcup\limits_{n=m}^\infty \left(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac1{p_0} \right) </tex>, то есть,
  
Значит, <tex>\exists p_0\ \forall m : x \in \bigcup\limits_{n=m}^\infty \left(|f_n(x) - f(x)| \leq \frac1{p_0} \right) \Rightarrow n_1 < n_2 < \cdots < n_k < \cdots : |f_{n_k}(x) - f(x)| \leq \frac1{p_0}</tex>
+
<tex>\exists n_1 < n_2 < \ldots < n_k < \ldots : |f_{n_k}(x) - f(x)| \geq \frac1{p_0}</tex>, и <tex> x \in E' </tex>.
  
Аналогично в обратную сторону.
+
Аналогично в обратную сторону.
  
Множество точек, в которых не сходится к <tex>f</tex>, записывается так
+
Значит, сходимость <tex> f_n </tex> к <tex> f </tex> почти всюду равносильна нульмерности <tex> A </tex>.
 
 
<tex>\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x)-f(x)| \leq \frac1p)</tex> {{---}} нульмерно, если сходится почти всюду.
 
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=<tex>f_n</tex> {{---}} измеримо, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда <tex>f</tex> {{---}} измерима
+
|statement=
 +
Пусть <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда <tex>f</tex> {{---}} измерима.
 
|proof=
 
|proof=
Все измерения проводим для <tex>\sigma</tex>-конечных полных мер.
+
Напоминаем, все действия мы проводим для <tex>\sigma</tex>-конечных полных мер.
<tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex> и <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо.
 
  
 
<tex>E'=E(f_n\not\to f)</tex>. <tex>\mu E' = 0</tex>
 
<tex>E'=E(f_n\not\to f)</tex>. <tex>\mu E' = 0</tex>
Строка 71: Строка 69:
 
<tex>E'' = E \setminus E'</tex> {{---}} измеримо, <tex>f_n\to f</tex> всюду на <tex>E''</tex>.
 
<tex>E'' = E \setminus E'</tex> {{---}} измеримо, <tex>f_n\to f</tex> всюду на <tex>E''</tex>.
  
<tex>E(f<a)</tex>, <tex>E = E'' \cup E'</tex> <tex>\Rightarrow</tex>
+
Рассмотрим <tex>E(f<a)</tex>, <tex>E = E'' \cup E'</tex> <tex>\Rightarrow</tex>
<tex>E(f<a) = (E(f<a) \cap E') \cup (E(f<a) \cap E'')</tex>
+
<tex>E(f<a) = (E(f<a) \cap E') \cup (E(f<a) \cap E'')</tex>.
  
Первое {{---}} часть нульмерного, значит, и само {{---}} нульмерно. А второе {{---}} измеримо.
+
Первое множество {{---}} часть нульмерного, значит, и само нульмерно, второе множество измеримо.
 +
 
 +
Значит, <tex>E(f<a)</tex> измеримо как объединение измеримых.
  
Значит, <tex>E(f<a)</tex> {{---}} измеримо как объединение измеримых
 
 
}}
 
}}
 +
 +
[[Определение измеримой функции|<<]][[Сходимость по мере|>>]]
 +
[[Категория: Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 19:10, 24 июня 2012

<<>>

1[править]

Утверждение:
Пусть [math]E[/math] измеримо, [math]f_n : E \to \mathbb{R}[/math], все [math]f_n[/math] — измеримы на [math]E[/math], [math]\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)[/math], тогда [math]f[/math] тоже измерима на [math]E[/math].
[math]\triangleright[/math]

Выведем это из стандартного факта анализа.

[math]a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \iff a = \inf\limits_{n\in \mathbb{N}} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}} \inf \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}[/math] Но нас интересует следствие только в прямую сторону.

[math]f(x) = \inf\limits_{n\to\infty} \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots\}[/math]

Обозначим [math]g_n(x) = \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots \}[/math]

Осталось показать, что [math]\inf[/math] и [math]\sup[/math] не выводят за рамки класса измеримых:

[math]E(g_n\leq a) = \bigcap\limits_{m = n}^\infty E(f_m\leq a)[/math]

Аналогично [math]\inf[/math]. Значит, [math]f[/math] — измерима по Лебегу
[math]\triangleleft[/math]

2[править]

Введём понятие «свойство выполняется почти всюду». Именно на базе этого термина теория приобретает свои характерные черты.


Определение:
Пусть [math]E\subset X[/math], [math]P[/math] — свойство. Если [math]E(\overline P)[/math] —нульмерно, то [math]P[/math] выполняется почти всюду на [math]E[/math]


Пример. Функция Дирихле [math]f = \begin{cases}1 & x \notin \mathbb{Q}\\ 0 & x \in \mathbb{Q}\end{cases}[/math]

[math]g = 1[/math] на [math]\mathbb{R}[/math].

Тогда [math]f=g[/math] почти всюду на [math]\mathbb{R}[/math].

Это понятие понадобится нам для того, чтобы определить сходимость функции почти всюду.


Определение:
Пусть заданы функции [math]f_n, f[/math] на [math]E[/math], [math]E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) \ne f(x)\}[/math]. Если [math]\mu E' = 0[/math], то [math]f_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math].


Для того, чтобы придать более удобную запись множеству [math] E' [/math], рассмотрим множество [math]A = \bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac1p)[/math].

Считаем, что функции [math] f_n, f [/math] измеримы, поэтому множество [math] A [/math] тоже измеримо.

Легко проверить, что оно совпадает с множеством точек [math] x [/math] из [math]E[/math], таких, что [math]\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\ne f(x)[/math], достаточно вспомнить отрицание предела:

Если точка принадлежит [math] A [/math], то [math]\exists p_0 : x \in \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac{1}{p_0})[/math].

Значит, [math]\exists p_0\ \forall m : x \in \bigcup\limits_{n=m}^\infty \left(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac1{p_0} \right) [/math], то есть,

[math]\exists n_1 \lt n_2 \lt \ldots \lt n_k \lt \ldots : |f_{n_k}(x) - f(x)| \geq \frac1{p_0}[/math], и [math] x \in E' [/math].

Аналогично — в обратную сторону.

Значит, сходимость [math] f_n [/math] к [math] f [/math] почти всюду равносильна нульмерности [math] A [/math].

Утверждение:
Пусть [math]f_n[/math] — измеримо, [math]f_n \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math]. Тогда [math]f[/math] — измерима.
[math]\triangleright[/math]

Напоминаем, все действия мы проводим для [math]\sigma[/math]-конечных полных мер.

[math]E'=E(f_n\not\to f)[/math]. [math]\mu E' = 0[/math]

[math]E'' = E \setminus E'[/math] — измеримо, [math]f_n\to f[/math] всюду на [math]E''[/math].

Рассмотрим [math]E(f\lt a)[/math], [math]E = E'' \cup E'[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]E(f\lt a) = (E(f\lt a) \cap E') \cup (E(f\lt a) \cap E'')[/math].

Первое множество — часть нульмерного, значит, и само нульмерно, второе множество измеримо.

Значит, [math]E(f\lt a)[/math] измеримо как объединение измеримых.
[math]\triangleleft[/math]

<<>>