Материал из Викиконспекты
1
| Утверждение: |
Пусть [math]E[/math] измеримо, [math]f_n : E \to \mathbb{R}[/math], все [math]f_n[/math] — измеримы на [math]E[/math], [math]\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)[/math], тогда [math]f[/math] тоже измерима на [math]E[/math]. |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Выведем это из стандартного факта анализа.
[math]a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \iff a = \inf\limits_{n\in \mathbb{N}} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}} \inf \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}[/math]
Но нас интересует следствие только в прямую сторону.
[math]f(x) = \inf\limits_{n\to\infty} \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots\}[/math]
Обозначим [math]g_n(x) = \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots \}[/math]
Осталось показать, что [math]\inf[/math] и [math]\sup[/math] не выводят за рамки класса измеримых:
[math]E(g_n\leq a) = \bigcap\limits_{m = n}^\infty E(f_m\leq a)[/math]
Аналогично [math]\inf[/math]. Значит, [math]f[/math] — измерима по Лебегу |
| [math]\triangleleft[/math] |
2
Введём понятие «свойство выполняется почти всюду». Именно на базе этого термина теория приобретает свои характерные черты.
| Определение: |
| Пусть [math]E\subset X[/math], [math]P[/math] — свойство. Если [math]E(\overline P)[/math] —нуль |