689
правок
Изменения
м
{{В разработке}}
Нет описания правки
[[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|<<]] [[Неотрицательные суммируемые функции|>>]]
Ранее для интеграла Римана был получен результат: если <tex>f_n \rightrightarrows f </tex> на <tex>[a;b]</tex>, <tex>f_n \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, то
{{Теорема
|author=Лебег
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>|f_n(x)| \le M\ \forall n</tex> на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>и <tex> f </tex> ограничена, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>.
|proof=
<tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда по теореме Риcса <tex>f_{n_k} \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>.
<tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le \int \limits_{E} |f_n - f| = \int \limits_{E_{\varepsilon}} + \int \limits_{\bar{E_{\varepsilon}}}</tex>,
<tex>|f_n - f| \le 2M </tex>, следовательно, <tex> \int \limits_{EE_{\varepsilon}} |f_n - f| \le 2M \mu E_{\varepsilon}</tex>.
<tex>\int \limits_{\overline E_{\varepsilon}}|f_n - f| = \int \limits_{E(|f_n - f) \ge | < \varepsilon)} |f_n - f| \le \varepsilon \mu \bar{E_{\varepsilon}} \le \varepsilon \mu E</tex>,
тогда <tex>|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le 2M \mu E_{\varepsilon} + \varepsilon\mu E</tex>.
