Предел отображения в метрическом пространстве — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Пропущенное)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 33 промежуточные версии 11 участников)
Строка 3: Строка 3:
 
== Подмножества метрического пространства ==
 
== Подмножества метрического пространства ==
  
Если <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} [[метрическое пространство]], то <tex>\forall Y \subset X : (Y, \rho)</tex>, очевидно, тоже метрическое пространство.
+
Если <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} [[метрическое пространство]], то <tex>\forall\ Y \subset X : (Y, \rho)</tex>, очевидно, тоже метрическое пространство.
  
 
== Окрестность точки в метрическом пространстве ==
 
== Окрестность точки в метрическом пространстве ==
  
Если <tex>x \in A</tex>, то <tex>A</tex> {{---}} окрестность точки <tex>x</tex>, если <tex>\exists V: x \in V \subset A </tex>
+
{{Определение
<tex>O(x)</tex> {{---}} окрестность точки <tex>x</tex>.  
+
|definition =
 +
Пусть <tex>x \in A</tex>. Тогда <tex>A</tex> {{---}} '''окрестность''' точки <tex>x</tex>, если существует открытый шар <tex>V: x \in V \subset A </tex>. При этом <tex>A \backslash \{x\}</tex> называется '''проколотой окрестностью''' точки <tex>x</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
Окрестность точки <tex>x</tex> обозначается как <tex>O(x)</tex>, ее проколотая окрестность {{---}} <tex>\dot{O}(x)</tex>.
  
 
=== Примеры ===
 
=== Примеры ===
Строка 23: Строка 27:
 
}}
 
}}
  
=== Примеры ===
+
=== Пример(ы) ===
  
 
#<tex> X = \mathbb R, A = (0; 1);\ 0 \notin A</tex>, <tex>0</tex> {{---}} предельная точка(как и <tex>1</tex>, например).
 
#<tex> X = \mathbb R, A = (0; 1);\ 0 \notin A</tex>, <tex>0</tex> {{---}} предельная точка(как и <tex>1</tex>, например).
#Пусть <tex> A \subset X</tex> и <tex>\ a </tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>. Рассмотрим два метрических пространства <tex> (X,\rho) </tex> и <tex> (Y, \bar \rho) </tex>.
 
: Пусть <tex> f: A \rightarrow Y, b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x), b \in Y</tex> , т.е. <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho(x, a) < \delta \Rightarrow \bar \rho(f(x), b) < \varepsilon </tex>.
 
: Так как <tex>a</tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>, то у нас есть гарантии, что <tex>0 < \rho(x, a) < \delta</tex> выполнимо для бесконечного числа точек <tex> x \in A</tex>. Отметим: если <tex>a \in A</tex>, то <tex>f(a)</tex> нас не интересует.
 
: Например: <tex>\mathbb R : f:(a - 1; a + 1) \rightarrow \mathbb R, a</tex> {{---}} предельная точка.
 
:: <tex>\forall \varepsilon > 0\ \ \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon </tex>
 
:: Если при <tex>a \in A выполняется \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)</tex>, тогда говорят, что отображение <tex>f</tex> непрерывно в точке <tex>a</tex>.
 
  
 +
== Предел отображения ==
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
Пусть даны два метрических пространства <tex> (X,\rho) </tex> и <tex> (Y, \tilde \rho) </tex>, <tex> A \subset X</tex> и <tex>\ a </tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>. Пусть <tex> f: A \rightarrow Y </tex>.
 +
* Тогда <tex> b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x), b \in Y</tex> , если <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho(x, a) < \delta \Rightarrow \tilde \rho(f(x), b) < \varepsilon </tex>.
 +
}}
 +
 +
Так как <tex>a</tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>, то у нас есть гарантии, что <tex>0 < \rho(x, a) < \delta</tex> выполнимо для бесконечного числа точек <tex> x \in A</tex>. Отметим: если <tex>a \in A</tex>, то <tex>f(a)</tex> нас не интересует.
 +
 +
=== Пример(ы) ===
 +
<tex>X = Y = \mathbb R, f: (a - 1; a + 1) \rightarrow \mathbb R, a</tex> {{---}} предельная точка.
 +
Тогда <tex> \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = b\ \Leftrightarrow\ \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon </tex>.
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Если при <tex>a \in A выполняется \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)</tex>, тогда говорят, что отображение <tex>f</tex> '''непрерывно''' в точке <tex>a</tex>.
 +
}}
 +
 +
== Предел сложного отображения ==
 
Если <tex>f</tex> имеет предел, то в ситуации общих МП:
 
Если <tex>f</tex> имеет предел, то в ситуации общих МП:
1) Предел сложного отображения.
+
 
<tex> A \subset X,\ B \subset Y, Z</tex>. <tex>X, Y, Z</tex> {{---}} МП, у каждого своя метрика. <tex>a</tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>, <tex>b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)</tex>, тогда <tex>b</tex> предельная у {{TODO|t=WTF??}} при этом:
+
{{Теорема
:<tex>g: B \rightarrow Z. \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y) </tex>
+
|about=
:<tex>Z = g(f(x))</tex>
+
предел сложного отображения
:<tex>f: A \Rightarrow B, f(x) \ne b, x \in A</tex>
+
|statement=
:<tex>g \circ f(x) = g(f(x)). \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y): </tex>
+
Пусть даны 3 МП: <tex> X, Y, Z</tex>, у каждого своя метрика; <tex> A \subset X,\ B \subset Y</tex>.
:<tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_1 > 0 : 0 < \bar \rho (y, b) < \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g / y, d) < \varepsilon \\
+
 +
Пусть также заданы отображения
 +
 
 +
<tex>f: A \rightarrow B, \qquad g: B \rightarrow Z </tex>
 +
 
 +
<tex> (f(x) \ne b \forall x \in A) </tex>
 +
 
 +
<tex>a</tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>, <tex>b</tex> {{---}} предельная точка B, при этом:
 +
 
 +
<tex> b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y) </tex>
 +
 
 +
Пусть <tex>z(x) = g(f(x)) </tex>
 +
 
 +
Тогда утверждается, что <tex> \lim\limits_{x \rightarrow a} z(x) = d </tex>. Если вы дочитали условие до этого места, возьмите с полки пирожок.  _о_
 +
|proof=
 +
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_1 > 0 : 0 < \bar \rho (y, b) < \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g(y), d) < \varepsilon \\
 
\forall \delta_1 > 0 \, \exists \delta > 0 : 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 </tex>
 
\forall \delta_1 > 0 \, \exists \delta > 0 : 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 </tex>
 
:<tex>f(x) \ne b \Rightarrow 0 < \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 </tex>, а тогда <tex>y = f(x) </tex>
 
:<tex>f(x) \ne b \Rightarrow 0 < \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 </tex>, а тогда <tex>y = f(x) </tex>
:<tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar{\bar \rho} (g(y), d) < \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} g(f(x)) = d </tex>( у сложной функции предел совпадает с пределом внешней фукнции) <tex>\Rightarrow</tex> сложная фукнция от двух непрерывных {{---}} непрерывна.
+
:<tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar{\bar \rho} (g(y), d) < \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} g(f(x)) = d </tex>( у сложной функции предел совпадает с пределом внешней фукнции)
 +
}}
  
== Печальная часть статьи ==
+
Итак, сложная фукнция от двух непрерывных {{---}} непрерывна.
В том что я набрал, очень сильно отличаются конспекты. Поэтому пока даже не форматирую в tex.
 
f(x) = \rho(x, a)
 
f: X \rightarrow R_+.
 
Проверим, что  \forall x f - непрерывное отображение.
 
Доказательство:
 
\rho(x_2, a) <= \rho(x_1, a) + \rho(x_2, x_1)
 
\rho(x_1, a) <= \rho(x_2, a) + \rho(x_1, x_2)
 
|\rho(x_2, a) - \rho(x_1, a)| <= \rho(x_1, a) - \rho(x_2, a) <= \rho(x_2, x_1)
 
|f(x_2) - f(x_1)| <= \rho(x_2, x_1) \forall x \Rightarrow f(x) непрерывна
 
\delta = \varepsilon ?????oO
 
f(x) = \rho(x, A) = def inf \rho(x, a), a \in A - расстояние от x до A.
 
  
f(x) - непрерывна
+
== Некоторые непрерывные отображения ==
Док-во:
+
{{Теорема
f(x) <= \rho(x, a), a \in A
+
|statement=
\rho(x_1, A) <= \rho(x_2, A) + \rho(x_2, x_1)
+
Пусть задана <tex> f: X \rightarrow R_+, f(x) = \rho(x, a) </tex>
\rho(x_2, A) <= \rho(x_1, A) + \rho(x_2, x_1)
+
Проверим, что  <tex> \forall x_0\ f(x_0) </tex> - непрерывное отображение.
|\rho(x_1, A) - \rho(x_2, A)| <= \rho(x_1, x_2) \Rightarrow f(x) непрерывна при?????
+
|proof=
 +
Воспользуемся свойством метрического пространства - неравенством треугольника:
  
Утверждение:
+
<tex> \rho(x_2, a) \le \rho(x_1, a) + \rho(x_2, x_1) \ \Leftrightarrow\ \rho(x_2, a) - \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, x_1)</tex>
F - замкнуто \Rightarrow x \in F \Leftrigharrow \rho(x, F) = 0
+
 
{{TODO| t = непонятно. у меня и Артема в конспекте написано что доказательство - упражнение на дом, но у Вали в конспекте что- то есть. Тут надо проверить, правда ли это:
+
<tex> \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, a) + \rho(x_1, x_2) \ \Leftrightarrow\ \rho(x_1, a) - \rho(x_2, a) \le \rho(x_1, x_2)</tex>  
\rho(x, F) = inf \rho(x, a), a \in F
+
 
\rho(x, x) = 0, \rho >= 0 \Rightarrow inf ?????? \rho(x, F) = 0, \Leftarrow x \in F
+
Отсюда, <tex> |\rho(x_2, a) - \rho(x_1, a)| \le \rho(x_2, x_1) </tex>.
Обратно:
+
 
x \in F \Rightarrow \rho(x, x) = 0 ; inf \rho(x, a) = 0 (т.к. \rho >= 0) \Rightarrow \rho(x ???? \forall a \in F
+
<tex> f(x_2) = \rho(x_2, a), f(x_1) = \rho(x_1, a)</tex>, значит, <tex> |f(x_2) - f(x_1)| \le \rho(x_2, x_1) </tex>
 +
 
 +
Полагаем в этом неравенстве <tex> x_1 = x, x_2 = x_0 </tex> и обращаемся к определению непрерывного отображения:
 +
 
 +
<tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta: 0 < \rho(x, x_0) < \delta \Rightarrow |f(x_0) - f(x)| < \varepsilon</tex>
 +
Из неравенства напрямую следует, что условие выполняется при <tex> \delta = \varepsilon</tex>, поэтому <tex> \forall x_0 \Rightarrow f(x_0) </tex> непрерывна.
 
}}
 
}}
  
Теорема(о нормальности МП):
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex>\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, a) </tex> - расстояние от x до A.
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
<tex> \forall x_0\ f(x_0) = \rho(x_0, A) </tex> - непрерывна.
 +
|proof=
 +
<tex> f(x_1) \le \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, a) + \rho(x_2, x_1) </tex>
 +
 
 +
По определению нижней грани, <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists a^* \in A: \rho(x, a^*) < \rho(x, A) + \varepsilon</tex>, значит, <tex>f(x_1) \le \rho(x_2, A) + \varepsilon + \rho(x_2, x_1) </tex>.
 +
 
 +
Делая предельный переход при <tex> \varepsilon \rightarrow 0</tex>, получаем неравенство
 +
<tex> f(x_1) \le \rho(x_2, A) + \rho(x_2, x_1) </tex>.
 +
 
 +
Аналогично, <tex> f(x_2) \le \rho(x_1, A) + \rho(x_1, x_2) </tex>.
 +
 
 +
Дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущему доказательству непрерывности.
 +
 
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть F - замкнуто. Тогда <tex>x \in F \Leftrightarrow \rho(x, F) = 0 </tex>
 +
|proof=
 +
<tex> \Rightarrow </tex>:
 +
: <tex> \rho(x, F) = \inf\limits_{a \in F} \rho(x, a) </tex>.
 +
: Но <tex> x \in F</tex>, а <tex> \rho(x, x) = 0 </tex>, по определению <tex> \rho >= 0 </tex>, значит, <tex> \rho(x, F) = 0, </tex>
 +
<tex> \Leftarrow </tex>:
 +
: Пусть <tex> x \notin F </tex>, тогда <tex>x \in X \backslash F = G = \bigcup\limits_{\alpha}{V_{r_\alpha}(x_{\alpha}})</tex>.
 +
: Значит, <tex> x \in V_r(y) </tex> и <tex> \rho(x, y) < r</tex>, <tex> F \bigcap V = \varnothing</tex>.
 +
: Но, так как <tex>\rho(x, F) = 0</tex>, то <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists a \in F: \rho(x, a) < \varepsilon</tex>.
 +
 
 +
: По неравенству треугольника, <tex> \rho(y, a) < \rho(y, x) + \rho(x, a) < r + \varepsilon </tex>. При <tex>\varepsilon \rightarrow 0</tex> получаем, что <tex> \rho(y, a) < r </tex>, значит, точка <tex> a </tex> принадлежит открытому шару, значит <tex> F \bigcap V \ne \varnothing</tex>, получили противоречие.
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
о нормальности МП
 +
|statement=
 
Любое МП - нормальное.
 
Любое МП - нормальное.
(X, \rho) - МП. F_1 \cap F_2 = \varnothing F_1, F_2 - замкнутые \Rightarrow \exists G_1, G_2: F_j \in G_j , j = 1, 2; G_1 \cap G_2 = \varnothing
 
Док-во:
 
f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)}. Т.к. F_1 \cap F_2 = \varnothing и F_1, F_2 - замкнуты, то знаменатель != 0 \Rightarrow f(x) корректна и непрерывна в силу непрерывности \rho. При этом: x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1. Рассмотрим на R пару интервалов: (- \infty; \frac 1 3) и (\frac 1 2, + \infty). Т.к. f(x) неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество.
 
G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty)
 
F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing, ч.т.д.
 
  
Свойства непрерывных отображений
+
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> - МП. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing , F_1, F_2</tex> - замкнутые <tex> \Rightarrow \exists G_1, G_2: F_1 \subset G_1, F_2 \subset G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>
1) Определение:
+
|proof=
(X, \rho) - МП. K \in X является компактом в X, если из любой последовательности точек \in K можно выделить сходящуюся подпоследовательность x_n: lim x_n \in K.
+
<tex> f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} </tex>. Т.к. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing </tex> и <tex> F_1, F_2 </tex> - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, <tex> f(x) </tex> корректна и непрерывна в силу непрерывности <tex> \rho </tex>. При этом: <tex> x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 </tex>. Рассмотрим на R пару интервалов: <tex> (- \infty; \frac 1 3) </tex> и <tex> (\frac 1 2, + \infty) </tex>. Т.к. <tex> f(x) </tex> неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество(это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).
[a, b] на \mathbb{R} - классический пример.
+
: <tex> G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) </tex>
Легко видеть что если K - компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Ограниченное множество можно пометить в шар. Обратное не верно в общем случае.
+
: <tex> F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>, ч.т.д.
2) Связные мн-ва:
+
}}
A \in X является связным, если нельзя подобрать пару G_1, G_2 \in \tau: G_1 \cap G_2 = \varnothing, A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2).
+
 
 +
{{Теорема
 +
|about=топологическое определение непрерывности
 +
|statement=
 +
Пусть у нас есть <tex> f :(X, \rho) \to (Y, \rho), </tex> тогда
 +
<tex> f </tex> - непрерывная  <tex> \iff </tex> прообраз  любого открытого множества открыт.
 +
|proof=
 +
1.Докажем в одну сторону
 +
Рассмотрим открытое множество G в У.
 +
Рассмотрим произвольную точку f(p) из G.
 +
Так как G открытое то <tex> \exists \varepsilon >0 : V_\varepsilon(f(p)) \in G </tex>
 +
По непрерывности <tex> \exists \delta : x \in V_\delta(p) \Rightarrow f(x) \in V_\varepsilon(f(p)) </tex>
 +
Подберем такое <tex> \delta </tex>
 +
Из выше сказанного следует что <tex> V_\delta(p) \in f^-1(p) </tex>.
 +
<tex> \delta </tex>  можно найти для любого p значит прообраз открыт   
 +
}}
 +
Замечание: так как замкнутые множества являются дополнениями открытых, то отсюда напрямую следует, что прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении замкнут.
 +
 
 +
== Свойства непрерывных отображений. Определение компакта ==
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Множество ''ограниченное'', если его можно поместить в шар.
 +
}}
 +
1)
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} МП. <tex> K \in X </tex> является '''компактом''' в X, если из любой последовательности точек принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> x_n: \lim x_n \in K </tex>.
 +
}}
 +
<tex> [a, b] </tex> на <tex> \mathbb{R} </tex> - классический пример.
 +
{{Утверждение
 +
|statement = Легко видеть что если K {{---}} компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Обратное в общем случае не верно.
 +
|proof =
 +
Докажем от противного.
 +
 
 +
Предположим, что K неограниченное.
 +
То есть <tex> \forall x \in K, \forall\varepsilon > 0 \exists x_1 \in K : \rho (x, x_1) > \varepsilon</tex>.
 +
 
 +
Тогда мы можем построить последовательность из таких точек <tex>x_i: \rho (x_i, x_{i+1}) > \varepsilon</tex>.
 +
 
 +
Эта последовательность неограниченна и из нее нельзя выделить сходящуюся. Но К {{---}} компакт, получили противоречие с определением компакта.
 +
То, что K {{---}} замкнутое, следует из основного характеристического свойства замкнутых множеств.
 +
}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
2)
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex> A \in X </tex> является связным, если нельзя подобрать пару имеющих хотя бы одну общую точку с <tex>A</tex> множеств <tex> G_1, G_2 \in \tau: G_1 \cap G_2 = \varnothing, A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2) </tex>
 +
}}
 
Например, любой промежуток на R - связное множество.
 
Например, любой промежуток на R - связное множество.
Свойство связного множества: Вместе с парой точек оно содержит отрезок с концами в этих точках.
 
  
Пусть A - связное в R. Пусть a, b \in A. Если \forall c \in (a, b): c \in A, свойство верно.
+
{{Теорема
 +
|about=
 +
свойство связанного множества на вещественной оси
 +
|statement=
 +
Вместе с парой точек оно содержит отрезок с концами в этих точках.
 +
Пусть A - связное в R. Пусть <tex> a, b \in A </tex>. Если <tex> \forall c \in (a, b): c \in A </tex>, свойство верно.
 +
|proof=
 +
<tex> G_1 \cup G_2 = R \backslash \{c\}, c \in A. A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2) \Rightarrow A </tex> не связно, получили противоречие, <tex> c \in A </tex>, ч.т.д.
 +
}}
 +
 
 +
Эти классы определены, т.к:
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть K - компакт в <tex> (X, \rho); f:  K \rightarrow (Y, \rho'), f </tex> {{---}} непрерывное отображение. Тогда <tex>f(K) </tex> - компакт в <tex> (Y, \rho') </tex> (непрерывный образ компакта {{---}} компакт).
 +
|proof=
 +
Рассмотрим <tex> y_n \in f(K) \Rightarrow y_n = f(x_n), x_n \in K </tex>.
 +
<tex> \exists x_{n_k} \rightarrow x \in K </tex>. По непрерывности <tex> f(K): y_{n_k} = f(x_{n_k}) \rightarrow y = f(x) \in f(K) </tex>, ч.т.д.
 +
}}
 +
 
 +
== Равномерно непрерывные отображения ==
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть заданы МП: <tex> (X, \rho), (Y, \rho'), E \subset X</tex>. Тогда <tex> f: E -> Y</tex> {{---}} '''равномерно непрерывное отображение''', если
 +
<tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0: \forall x{'}, x{''} \in E:\ \rho(x{'}, x{''}) < \delta \Rightarrow \rho'(f(x{'}), f(x{''})) < \varepsilon</tex>
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Отображение, равномерно непрерывное на <tex> E </tex>, непрерывно в любой точке <tex> a </tex> множества <tex> E </tex>.
 +
|proof=
 +
Достаточно положить <tex> x = x{'}, a = x{''} </tex>, тогда отображение будет непрерывным по определению.
 +
}}
 +
Замечание: обратное в общем случае неверно.
 +
 
 +
Например, пусть <tex> X = Y = \mathbb R, E = (0, 1), f(x) = \sin(\frac1x)</tex> - непрерывная функция.
 +
 
 +
Положим <tex> x{'}_n = \frac1{\pi n}, x{''}_n = \frac1{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} </tex>.
 +
Тогда <tex> |x{'}_n - x{''}_n| \rightarrow 0 </tex>, но <tex> |f(x{'}_n) - f(x{''}_n)| \rightarrow 1 </tex>, значит, <tex> f(x) </tex> - не равномерно непрерывное отображение.
  
Док-во:
+
{{Теорема
G_1 \cup G_2 = R\{c| c \in A}, A = (A \cap G_1) \cup (A \ cap G_2) \Rightarrow A не связно, получили противоречие, c \in A, ч.т.д.
+
|author=
 +
Кантор
 +
|statement=
 +
Пусть даны МП <tex> (X, \rho), (Y, \rho)</tex>, <tex> K \subset X</tex> - компакт, <tex> f: K \rightarrow Y </tex> - непрерывное отображение. Тогда <tex> f </tex> также и равномерно непрерывное на <tex> K </tex>.
 +
|proof=
 +
Допустим, что это не так. Тогда, по логическому отрицанию: <tex>\exists \varepsilon_0 > 0~ \, \forall \delta > 0~ \exists {x'}_\delta, {x''}_\delta \in K: \rho({x'}_\delta, {x''}_\delta) < \delta ; \rho(f({x'}_\delta), f({x''}_\delta)) \ge \varepsilon_0;  </tex>
  
Эти классы определены, т.к:
+
Рассмотрим:<tex>  \partial_{n}=\frac{1}{n}: {x}'_{n}={x}'_{\partial_{n}},  {x}''_{n}={x}''_{\partial_{n}}, \rho({x}''_{n},{x}'_{n})< \frac{1}{n}; \rho(f({x}''_{n}),f({x}'_{n}))\geq \varepsilon _{0}</tex>
Теорема:
+
 
Пусть K - компакт в (Y, \rho')( непрерывный образ K есть K).
+
т.к. K {{---}} компакт, т.е. в послед <tex>{x}'_{n}</tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность меньшую <tex>\frac{1}{{n}'_{k}}</tex>следовательно стремящуюся к нулю.
Док-во:
+
 
Рассмотрим y_n \in f(K) \Rightarrow y_n = f(x_n), x_n \in K.
+
<tex>{x}'_{n_{k}} \rightarrow  x\in K</tex>
\exists x_{nk} \rightarrow x \in K. По непрерывности f(K): y_{nk} = f(x_{nk}) \rightarrow y = f(x) \in f(K), ч.т.д.
+
 
 +
<tex>\rho ({x}''_{n_{k}},x)< \rho ({x}''_{n_{k}},{x}'_{n_{k}}) + \rho ({x}'_{n_{k}},x) \rightarrow 0</tex>
 +
 
 +
<tex>{x}''_{n_{k}}\rightarrow x</tex> т.к. f {{---}} непрерывна  на K, из получаем <tex>f({x}'_{n_{k}})\rightarrow f(x)</tex>, значит растояние между ними стремится к нулю: противоречие. Как то так.
 +
}}
 +
 
 +
'''Частный случай: <tex>[a,b]\subset \mathbb{R}, f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</tex>'''
 +
 
 +
по т. Кантора f {{---}} равномерно и непрерывна на <tex>[a,b]</tex> т.е.
 +
 
 +
<tex>\forall \varepsilon > 0  \exists \delta > 0 : \left | \bigtriangleup x \right | < \delta ; x, x+ \bigtriangleup x \in [a,b] \rightarrow \left | f(x+ \bigtriangleup x)-f(x) \right |<\varepsilon </tex>
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Непрерывный образ связного множества связен.
 +
|proof=
 +
A {{---}} связно в X,
 +
f(a) {{---}} непрерывный образ,
 +
<tex> \sqsupset f(A) </tex> {{---}} не связно <tex>\Rightarrow G_{1}\cap G_{2} = \varnothing </tex> в Y <tex>; G_{1}\cap G_{2} </tex> - открытые множества
 +
 
 +
<tex>f(A)\subset G_{1}\cup  G_{2}</tex>
 +
 
 +
<tex>A\subset f^{-1}(G_{1})\cup f^{-1}(G_{2})</tex>
 +
 
 +
прообразы открытых множеств открыты, оба они входят в A, а значит A {{---}} не связно {{---}} противоречие.
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|author=
 +
Коши
 +
|about=
 +
о промежуточных значениях функции
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [a; b], f(a) = A, f(b) = B</tex>, для определенности считаем, что <tex> A < B </tex>.
 +
Тогда <tex> \forall D: A < D < B\ \exists d \in (a; b): f(d) = D </tex>.
 +
|proof=
 +
Поскольку отрезок <tex> [a; b] </tex> {{---}} связное множество, значит, его образ <tex> f([a; b]) </tex> при непрерывном отображении связен. По свойству связных на <tex> R </tex> множеств, так как <tex> A, B \in f([a; b]) </tex>, то и <tex> [A; B] \in f([a; b]) </tex>. Значит, для любого <tex> D \in [A; B] </tex> соответствующий прообраз <tex> d </tex> найдется.
 +
}}
  
Определение: равномерно - непрерывные отображения
+
{{Теорема
 +
|id=
 +
weirstrass
 +
|author=
 +
Вейерштрасс
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> f: K \rightarrow \mathbb R </tex> {{---}} непрерывная функция на компакте <tex> K </tex>.
 +
Тогда существуют такие <tex> x_1, x_2 </tex>, что <tex> f(x_1) = \inf\limits_{K}f, f(x_2) = \sup\limits_{K}f </tex>.
 +
|proof=
 +
Пусть <math>f(x)</math> — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте <math>A</math>), <math>M = \sup_A f</math>. Возьмём последовательность чисел <math>a_m</math> таких, что <math>\lim a_m = M</math> и <math>a_m < M</math>. Для каждого <math>m</math> найдётся точка <math>x_m</math>, такая что
 +
<math>a_m < f(x_m)</math>. Имеем дело с компактом, поэтому, согласно [[Теорема Больцано — Вейерштрасса|теореме Больцано — Вейерштрасса]] из последовательности <math>x_m</math> можно выделить сходящуюся последовательность <math>\{x_{m_k}\}</math>, предел которой лежит в <math>A</math>.
  
 +
Для любого <math>x_m</math> справедливо <math>a_m < f(x_{m_k}) < M</math>, поэтому, применяя [[предельный переход]], получаем <math>\lim f(x_{m_k}) = M</math> и в силу непрерывности функции существует точка <math>x_0</math> такая, что <math>\lim f(x_{m_k}) = f(x_0)</math> и, следовательно <math>M = f(x_0)</math>.
  
 +
Таким образом функция <math>f(x)</math> ограничена и достигает своей верхней грани при <math>x = x_0</math>. Аналогично и для нижней грани.
 +
}}
  
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

Текущая версия на 19:21, 4 сентября 2022

Эта статья находится в разработке!

Подмножества метрического пространства

Если [math] (X, \rho) [/math]метрическое пространство, то [math]\forall\ Y \subset X : (Y, \rho)[/math], очевидно, тоже метрическое пространство.

Окрестность точки в метрическом пространстве

Определение:
Пусть [math]x \in A[/math]. Тогда [math]A[/math]окрестность точки [math]x[/math], если существует открытый шар [math]V: x \in V \subset A [/math]. При этом [math]A \backslash \{x\}[/math] называется проколотой окрестностью точки [math]x[/math].


Окрестность точки [math]x[/math] обозначается как [math]O(x)[/math], ее проколотая окрестность — [math]\dot{O}(x)[/math].

Примеры

  • Любой открытый шар [math] V_r(x) [/math] является окрестностью точки [math]x[/math].
  • Числовая прямая — окрестность любого числа.

Предельная точка

Определение:
Рассмотрим [math]A \subset X[/math]. Тогда [math]b \in X[/math]предельная точка для [math]A[/math], если в любой окрестности [math]O(b)[/math] содержится бесконечное число точек, принадлежащих [math]A[/math].


Пример(ы)

  1. [math] X = \mathbb R, A = (0; 1);\ 0 \notin A[/math], [math]0[/math] — предельная точка(как и [math]1[/math], например).

Предел отображения

Определение:
Пусть даны два метрических пространства [math] (X,\rho) [/math] и [math] (Y, \tilde \rho) [/math], [math] A \subset X[/math] и [math]\ a [/math] — предельная точка [math]A[/math]. Пусть [math] f: A \rightarrow Y [/math].
  • Тогда [math] b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x), b \in Y[/math] , если [math]\forall \varepsilon \gt 0 \, \exists \delta \gt 0: 0 \lt \rho(x, a) \lt \delta \Rightarrow \tilde \rho(f(x), b) \lt \varepsilon [/math].


Так как [math]a[/math] — предельная точка [math]A[/math], то у нас есть гарантии, что [math]0 \lt \rho(x, a) \lt \delta[/math] выполнимо для бесконечного числа точек [math] x \in A[/math]. Отметим: если [math]a \in A[/math], то [math]f(a)[/math] нас не интересует.

Пример(ы)

[math]X = Y = \mathbb R, f: (a - 1; a + 1) \rightarrow \mathbb R, a[/math] — предельная точка. Тогда [math] \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = b\ \Leftrightarrow\ \forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0 : 0 \lt |x - a| \lt \delta \Rightarrow |f(x) - b| \lt \varepsilon [/math].


Определение:
Если при [math]a \in A выполняется \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)[/math], тогда говорят, что отображение [math]f[/math] непрерывно в точке [math]a[/math].


Предел сложного отображения

Если [math]f[/math] имеет предел, то в ситуации общих МП:

Теорема (предел сложного отображения):
Пусть даны 3 МП: [math] X, Y, Z[/math], у каждого своя метрика; [math] A \subset X,\ B \subset Y[/math].

Пусть также заданы отображения

[math]f: A \rightarrow B, \qquad g: B \rightarrow Z [/math]

[math] (f(x) \ne b \forall x \in A) [/math]

[math]a[/math] — предельная точка [math]A[/math], [math]b[/math] — предельная точка B, при этом:

[math] b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y) [/math]

Пусть [math]z(x) = g(f(x)) [/math]

Тогда утверждается, что [math] \lim\limits_{x \rightarrow a} z(x) = d [/math]. Если вы дочитали условие до этого места, возьмите с полки пирожок. _о_
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]\forall \varepsilon \gt 0 \, \exists \delta_1 \gt 0 : 0 \lt \bar \rho (y, b) \lt \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g(y), d) \lt \varepsilon \\ \forall \delta_1 \gt 0 \, \exists \delta \gt 0 : 0 \lt \rho (x, a) \lt \delta \Rightarrow \bar \rho (f(x), b) \lt \delta_1 [/math]
[math]f(x) \ne b \Rightarrow 0 \lt \bar \rho (f(x), b) \lt \delta_1 [/math], а тогда [math]y = f(x) [/math]
[math]\forall \varepsilon \gt 0 \, \exists \delta \gt 0: 0 \lt \rho (x, a) \lt \delta \Rightarrow \bar{\bar \rho} (g(y), d) \lt \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} g(f(x)) = d [/math]( у сложной функции предел совпадает с пределом внешней фукнции)
[math]\triangleleft[/math]

Итак, сложная фукнция от двух непрерывных — непрерывна.

Некоторые непрерывные отображения

Теорема:
Пусть задана [math] f: X \rightarrow R_+, f(x) = \rho(x, a) [/math] Проверим, что [math] \forall x_0\ f(x_0) [/math] - непрерывное отображение.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся свойством метрического пространства - неравенством треугольника:

[math] \rho(x_2, a) \le \rho(x_1, a) + \rho(x_2, x_1) \ \Leftrightarrow\ \rho(x_2, a) - \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, x_1)[/math]

[math] \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, a) + \rho(x_1, x_2) \ \Leftrightarrow\ \rho(x_1, a) - \rho(x_2, a) \le \rho(x_1, x_2)[/math]

Отсюда, [math] |\rho(x_2, a) - \rho(x_1, a)| \le \rho(x_2, x_1) [/math].

[math] f(x_2) = \rho(x_2, a), f(x_1) = \rho(x_1, a)[/math], значит, [math] |f(x_2) - f(x_1)| \le \rho(x_2, x_1) [/math]

Полагаем в этом неравенстве [math] x_1 = x, x_2 = x_0 [/math] и обращаемся к определению непрерывного отображения:

[math] \forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta: 0 \lt \rho(x, x_0) \lt \delta \Rightarrow |f(x_0) - f(x)| \lt \varepsilon[/math]

Из неравенства напрямую следует, что условие выполняется при [math] \delta = \varepsilon[/math], поэтому [math] \forall x_0 \Rightarrow f(x_0) [/math] непрерывна.
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
[math]\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, a) [/math] - расстояние от x до A.


Теорема:
[math] \forall x_0\ f(x_0) = \rho(x_0, A) [/math] - непрерывна.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] f(x_1) \le \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, a) + \rho(x_2, x_1) [/math]

По определению нижней грани, [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists a^* \in A: \rho(x, a^*) \lt \rho(x, A) + \varepsilon[/math], значит, [math]f(x_1) \le \rho(x_2, A) + \varepsilon + \rho(x_2, x_1) [/math].

Делая предельный переход при [math] \varepsilon \rightarrow 0[/math], получаем неравенство [math] f(x_1) \le \rho(x_2, A) + \rho(x_2, x_1) [/math].

Аналогично, [math] f(x_2) \le \rho(x_1, A) + \rho(x_1, x_2) [/math].

Дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущему доказательству непрерывности.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть F - замкнуто. Тогда [math]x \in F \Leftrightarrow \rho(x, F) = 0 [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \Rightarrow [/math]:

[math] \rho(x, F) = \inf\limits_{a \in F} \rho(x, a) [/math].
Но [math] x \in F[/math], а [math] \rho(x, x) = 0 [/math], по определению [math] \rho \gt = 0 [/math], значит, [math] \rho(x, F) = 0, [/math]

[math] \Leftarrow [/math]:

Пусть [math] x \notin F [/math], тогда [math]x \in X \backslash F = G = \bigcup\limits_{\alpha}{V_{r_\alpha}(x_{\alpha}})[/math].
Значит, [math] x \in V_r(y) [/math] и [math] \rho(x, y) \lt r[/math], [math] F \bigcap V = \varnothing[/math].
Но, так как [math]\rho(x, F) = 0[/math], то [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists a \in F: \rho(x, a) \lt \varepsilon[/math].
По неравенству треугольника, [math] \rho(y, a) \lt \rho(y, x) + \rho(x, a) \lt r + \varepsilon [/math]. При [math]\varepsilon \rightarrow 0[/math] получаем, что [math] \rho(y, a) \lt r [/math], значит, точка [math] a [/math] принадлежит открытому шару, значит [math] F \bigcap V \ne \varnothing[/math], получили противоречие.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (о нормальности МП):
Любое МП - нормальное. Пусть [math] (X, \rho) [/math] - МП. [math] F_1 \cap F_2 = \varnothing , F_1, F_2[/math] - замкнутые [math] \Rightarrow \exists G_1, G_2: F_1 \subset G_1, F_2 \subset G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} [/math]. Т.к. [math] F_1 \cap F_2 = \varnothing [/math] и [math] F_1, F_2 [/math] - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, [math] f(x) [/math] корректна и непрерывна в силу непрерывности [math] \rho [/math]. При этом: [math] x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 [/math]. Рассмотрим на R пару интервалов: [math] (- \infty; \frac 1 3) [/math] и [math] (\frac 1 2, + \infty) [/math]. Т.к. [math] f(x) [/math] неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество(это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).

[math] G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) [/math]
[math] F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing [/math], ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (топологическое определение непрерывности):
Пусть у нас есть [math] f :(X, \rho) \to (Y, \rho), [/math] тогда [math] f [/math] - непрерывная [math] \iff [/math] прообраз любого открытого множества открыт.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1.Докажем в одну сторону Рассмотрим открытое множество G в У. Рассмотрим произвольную точку f(p) из G. Так как G открытое то [math] \exists \varepsilon \gt 0 : V_\varepsilon(f(p)) \in G [/math] По непрерывности [math] \exists \delta : x \in V_\delta(p) \Rightarrow f(x) \in V_\varepsilon(f(p)) [/math] Подберем такое [math] \delta [/math] Из выше сказанного следует что [math] V_\delta(p) \in f^-1(p) [/math].

[math] \delta [/math] можно найти для любого p значит прообраз открыт
[math]\triangleleft[/math]

Замечание: так как замкнутые множества являются дополнениями открытых, то отсюда напрямую следует, что прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении замкнут.

Свойства непрерывных отображений. Определение компакта

Определение:
Множество ограниченное, если его можно поместить в шар.

1)

Определение:
Пусть [math] (X, \rho) [/math] — МП. [math] K \in X [/math] является компактом в X, если из любой последовательности точек принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность [math] x_n: \lim x_n \in K [/math].

[math] [a, b] [/math] на [math] \mathbb{R} [/math] - классический пример.

Утверждение:
Легко видеть что если K — компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Обратное в общем случае не верно.
[math]\triangleright[/math]

Докажем от противного.

Предположим, что K неограниченное. То есть [math] \forall x \in K, \forall\varepsilon \gt 0 \exists x_1 \in K : \rho (x, x_1) \gt \varepsilon[/math].

Тогда мы можем построить последовательность из таких точек [math]x_i: \rho (x_i, x_{i+1}) \gt \varepsilon[/math].

Эта последовательность неограниченна и из нее нельзя выделить сходящуюся. Но К — компакт, получили противоречие с определением компакта.

То, что K — замкнутое, следует из основного характеристического свойства замкнутых множеств.
[math]\triangleleft[/math]


2)

Определение:
[math] A \in X [/math] является связным, если нельзя подобрать пару имеющих хотя бы одну общую точку с [math]A[/math] множеств [math] G_1, G_2 \in \tau: G_1 \cap G_2 = \varnothing, A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2) [/math]

Например, любой промежуток на R - связное множество.

Теорема (свойство связанного множества на вещественной оси):
Вместе с парой точек оно содержит отрезок с концами в этих точках. Пусть A - связное в R. Пусть [math] a, b \in A [/math]. Если [math] \forall c \in (a, b): c \in A [/math], свойство верно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math] G_1 \cup G_2 = R \backslash \{c\}, c \in A. A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2) \Rightarrow A [/math] не связно, получили противоречие, [math] c \in A [/math], ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]

Эти классы определены, т.к:

Теорема:
Пусть K - компакт в [math] (X, \rho); f: K \rightarrow (Y, \rho'), f [/math] — непрерывное отображение. Тогда [math]f(K) [/math] - компакт в [math] (Y, \rho') [/math] (непрерывный образ компакта — компакт).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math] y_n \in f(K) \Rightarrow y_n = f(x_n), x_n \in K [/math].

[math] \exists x_{n_k} \rightarrow x \in K [/math]. По непрерывности [math] f(K): y_{n_k} = f(x_{n_k}) \rightarrow y = f(x) \in f(K) [/math], ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]

Равномерно непрерывные отображения

Определение:
Пусть заданы МП: [math] (X, \rho), (Y, \rho'), E \subset X[/math]. Тогда [math] f: E -\gt Y[/math]равномерно непрерывное отображение, если [math] \forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0: \forall x{'}, x{''} \in E:\ \rho(x{'}, x{''}) \lt \delta \Rightarrow \rho'(f(x{'}), f(x{''})) \lt \varepsilon[/math]


Теорема:
Отображение, равномерно непрерывное на [math] E [/math], непрерывно в любой точке [math] a [/math] множества [math] E [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Достаточно положить [math] x = x{'}, a = x{''} [/math], тогда отображение будет непрерывным по определению.
[math]\triangleleft[/math]

Замечание: обратное в общем случае неверно.

Например, пусть [math] X = Y = \mathbb R, E = (0, 1), f(x) = \sin(\frac1x)[/math] - непрерывная функция.

Положим [math] x{'}_n = \frac1{\pi n}, x{''}_n = \frac1{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} [/math]. Тогда [math] |x{'}_n - x{''}_n| \rightarrow 0 [/math], но [math] |f(x{'}_n) - f(x{''}_n)| \rightarrow 1 [/math], значит, [math] f(x) [/math] - не равномерно непрерывное отображение.

Теорема (Кантор):
Пусть даны МП [math] (X, \rho), (Y, \rho)[/math], [math] K \subset X[/math] - компакт, [math] f: K \rightarrow Y [/math] - непрерывное отображение. Тогда [math] f [/math] также и равномерно непрерывное на [math] K [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Допустим, что это не так. Тогда, по логическому отрицанию: [math]\exists \varepsilon_0 \gt 0~ \, \forall \delta \gt 0~ \exists {x'}_\delta, {x''}_\delta \in K: \rho({x'}_\delta, {x''}_\delta) \lt \delta ; \rho(f({x'}_\delta), f({x''}_\delta)) \ge \varepsilon_0; [/math]

Рассмотрим:[math] \partial_{n}=\frac{1}{n}: {x}'_{n}={x}'_{\partial_{n}}, {x}''_{n}={x}''_{\partial_{n}}, \rho({x}''_{n},{x}'_{n})\lt \frac{1}{n}; \rho(f({x}''_{n}),f({x}'_{n}))\geq \varepsilon _{0}[/math]

т.к. K — компакт, т.е. в послед [math]{x}'_{n}[/math] можно выделить сходящуюся подпоследовательность меньшую [math]\frac{1}{{n}'_{k}}[/math]следовательно стремящуюся к нулю.

[math]{x}'_{n_{k}} \rightarrow x\in K[/math]

[math]\rho ({x}''_{n_{k}},x)\lt \rho ({x}''_{n_{k}},{x}'_{n_{k}}) + \rho ({x}'_{n_{k}},x) \rightarrow 0[/math]

[math]{x}''_{n_{k}}\rightarrow x[/math] т.к. f — непрерывна на K, из получаем [math]f({x}'_{n_{k}})\rightarrow f(x)[/math], значит растояние между ними стремится к нулю: противоречие. Как то так.
[math]\triangleleft[/math]

Частный случай: [math][a,b]\subset \mathbb{R}, f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}[/math]

по т. Кантора f — равномерно и непрерывна на [math][a,b][/math] т.е.

[math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 : \left | \bigtriangleup x \right | \lt \delta ; x, x+ \bigtriangleup x \in [a,b] \rightarrow \left | f(x+ \bigtriangleup x)-f(x) \right |\lt \varepsilon [/math]

Теорема:
Непрерывный образ связного множества связен.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

A — связно в X, f(a) — непрерывный образ, [math] \sqsupset f(A) [/math] — не связно [math]\Rightarrow G_{1}\cap G_{2} = \varnothing [/math] в Y [math]; G_{1}\cap G_{2} [/math] - открытые множества

[math]f(A)\subset G_{1}\cup G_{2}[/math]

[math]A\subset f^{-1}(G_{1})\cup f^{-1}(G_{2})[/math]

прообразы открытых множеств открыты, оба они входят в A, а значит A — не связно — противоречие.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Коши, о промежуточных значениях функции):
Пусть [math] f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R [/math] — непрерывная функция на [math] [a; b], f(a) = A, f(b) = B[/math], для определенности считаем, что [math] A \lt B [/math]. Тогда [math] \forall D: A \lt D \lt B\ \exists d \in (a; b): f(d) = D [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Поскольку отрезок [math] [a; b] [/math] — связное множество, значит, его образ [math] f([a; b]) [/math] при непрерывном отображении связен. По свойству связных на [math] R [/math] множеств, так как [math] A, B \in f([a; b]) [/math], то и [math] [A; B] \in f([a; b]) [/math]. Значит, для любого [math] D \in [A; B] [/math] соответствующий прообраз [math] d [/math] найдется.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Вейерштрасс):
Пусть [math] f: K \rightarrow \mathbb R [/math] — непрерывная функция на компакте [math] K [/math]. Тогда существуют такие [math] x_1, x_2 [/math], что [math] f(x_1) = \inf\limits_{K}f, f(x_2) = \sup\limits_{K}f [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f(x)[/math] — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте [math]A[/math]), [math]M = \sup_A f[/math]. Возьмём последовательность чисел [math]a_m[/math] таких, что [math]\lim a_m = M[/math] и [math]a_m \lt M[/math]. Для каждого [math]m[/math] найдётся точка [math]x_m[/math], такая что [math]a_m \lt f(x_m)[/math]. Имеем дело с компактом, поэтому, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности [math]x_m[/math] можно выделить сходящуюся последовательность [math]\{x_{m_k}\}[/math], предел которой лежит в [math]A[/math].

Для любого [math]x_m[/math] справедливо [math]a_m \lt f(x_{m_k}) \lt M[/math], поэтому, применяя предельный переход, получаем [math]\lim f(x_{m_k}) = M[/math] и в силу непрерывности функции существует точка [math]x_0[/math] такая, что [math]\lim f(x_{m_k}) = f(x_0)[/math] и, следовательно [math]M = f(x_0)[/math].

Таким образом функция [math]f(x)[/math] ограничена и достигает своей верхней грани при [math]x = x_0[/math]. Аналогично и для нижней грани.
[math]\triangleleft[/math]