Изменения

Если <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} [[метрическое пространство]], то <tex>\forall \ Y \subset X : (Y, \rho)</tex>, очевидно, тоже метрическое пространство.

{{Определение|definition = Пусть <tex>x \in A</tex>. Тогда <tex>A</tex> {{---}} '''окрестность ''' точки <tex>x</tex>, если существует открытый шар <tex>V: x \in V \subset A </tex>. При этом <tex>A \backslash \{x\}</tex> называется '''проколотой окрестностью''' точки <tex>x</tex>.}}

Окрестность точки <tex>x</tex> обозначается как <tex>O(x)</tex> , ее проколотая окрестность {{---}} окрестность точки <tex>\dot{O}(x)</tex>.

<tex>X = Y = \mathbb R : , f:(a - 1; a + 1) \rightarrow \mathbb R, a</tex> {{---}} предельная точка.:: Тогда <tex>\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = b\ \Leftrightarrow\ \forall \varepsilon > 0\ \ \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon </tex>.

== Предел сложного отображения ==

# Пусть даны 3 МП: <tex> X, Y, Z</tex>, у каждого своя метрика; <tex> A \subset X,\ B \subset Y, Z</tex>. Пусть также заданы отображения <tex>X, Yf: A \rightarrow B, \qquad g: B \rightarrow Z</tex> {{---}} МП, у каждого своя метрика.#: <tex> (f(x) \ne b \forall x \in A) </tex> <tex>a</tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>, <tex>b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)</tex>, тогда <tex>b</tex> {{---}} предельная у точка B, при этом:: <tex>g: B b = \lim\limits_{x \rightarrow Z. a} f(x) \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y) </tex>: Пусть <tex>Z z(x) = g(f(x)) </tex>: <tex>f: A \Rightarrow BТогда утверждается, f(x) \ne b, x \in Aчто </tex>: <tex>g \circ f(x) = g(f(x)). \qquad d = \lim\limits_{y x \rightarrow ba} gz(yx): = d </tex>. Если вы дочитали условие до этого места, возьмите с полки пирожок. _о_

: <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_1 > 0 : 0 < \bar \rho (y, b) < \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g / (y), d) < \varepsilon \\

 Итак, <tex>\Rightarrow</tex> сложная фукнция от двух непрерывных {{---}} непрерывна.

: Пусть задана <tex> f: X \rightarrow R_+, f(x) = \rho(x, a) </tex>: Проверим, что <tex> \forall x_0\ f: X \rightarrow R_+ (x_0) </tex>Проверим, что \forall x f - непрерывное отображение.

Воспользуемся свойством метрического пространства - неравенством треугольника:  <tex> \rho(x_2, a) <= \le \rho(x_1, a) + \rho(x_2, x_1) \ \Leftrightarrow\ \rho(x_2, a) - \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, x_1) </tex> : <tex> \rho(x_1, a) <= \le \rho(x_2, a) + \rho(x_1, x_2) \ \Leftrightarrow\ \rho(x_1, a) - \rho(x_2, a) \le \rho(x_1, x_2) </tex>: Отсюда, <tex> |\rho(x_2, a) - \rho(x_1, a)| <= \le \rho(x_2, x_1, a) - </tex>. <tex> f(x_2) = \rho(x_2, a) <, f(x_1) = \rho(x_2x_1, x_1a) </tex>: , значит, <tex> |f(x_2) - f(x_1)| <= \le \rho(x_2, x_1) </tex> Полагаем в этом неравенстве <tex> x_1 = x, x_2 = x_0 </tex> и обращаемся к определению непрерывного отображения: <tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta: 0 < \rho(x , x_0) < \delta \Rightarrow |f(x_0) - f(x) | < \varepsilon</tex> непрерывнаИз неравенства напрямую следует, что условие выполняется при <tex> \delta = \varepsilon </tex> - используем определение непрерывности отображения, полагаем в предыдущем неравенстве поэтому <tex> x_1 = x, x_2 = \forall x_0 </tex>\Rightarrow f(мы доказываем непрерывность в точке <tex> x_0 ) </tex>) и радуемся жизнинепрерывна.

:<tex> f(x) = \rho(x, A) =(def) \inf \limits_{a \in A} \rho(x, a), a \in A </tex> - расстояние от x до A.

<tex> \forall x_0\ f(xx_0) = \rho(x_0, A) </tex> - непрерывна, .

<tex> f(xx_1) <= \le \rho(xx_1, a)\le \rho(x_2, a ) + \in A rho(x_2, x_1) </tex>: По определению нижней грани, <tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists a^* \in A: \rho(x_1x, a^*) < \rho(x, A) + \varepsilon<= /tex>, значит, <tex>f(x_1) \le \rho(x_2, A) + \varepsilon + \rho(x_2, x_1) </tex>. : Делая предельный переход при <tex> \rhovarepsilon \rightarrow 0</tex>, получаем неравенство <tex> f(x_2, Ax_1) <= \le \rho(x_1x_2, A) + \rho(x_2, x_1) </tex>.: Аналогично, <tex> |\rhof(x_1, Ax_2) - \le \rho(x_2x_1, A)| <= + \rho(x_1, x_2) \Rightarrow f(x) </tex> непрерывна при?????. Дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущему доказательству непрерывности. 

Пусть F - замкнуто . Тогда <tex> \Rightarrow x \in F \Leftrightarrow \rho(x, F) = 0 </tex>

<tex> \Rightarrow </tex>:: <tex> \rho(x, F) = \inf \limits_{a \in F} \rho(x, a), a </tex>.: Но <tex> x \in F </tex>: , а <tex> \rho(x, x) = 0</tex>, по определению <tex> \rho >= 0 \Rightarrow inf ?????? </tex>, значит, <tex> \rho(x, F) = 0, </tex><tex> \Leftarrow </tex>:: Пусть <tex> x \notin F </tex>, тогда <tex>x \in X \backslash F = G = \bigcup\limits_{\alpha}{V_{r_\alpha}(x_{\alpha}})</tex>.Обратно:Значит, <tex> x \in V_r(y) <strike/tex>: и <tex> \rho(x , y) < r</tex>, <tex> F \in F bigcap V = \Rightarrow varnothing</tex>.: Но, так как <tex>\rho(x, xF) = 0 ; inf </tex>, то <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists a \in F: \rho(x, a) = 0 (т.к< \varepsilon</tex>.  : По неравенству треугольника, <tex> \rho >= 0(y, a) < \Rightarrow rho(y, x) + \rho(x ???? , a) < r + \varepsilon </tex>. При <tex>\varepsilon \rightarrow 0</tex> получаем, что <tex> \forall rho(y, a) < r </tex>, значит, точка <tex> a \in F </tex>принадлежит открытому шару, значит <tex> F \bigcap V \ne \varnothing</striketex> Бредовня это все!, получили противоречие.

Пусть <tex> (X, \rho) </tex> - МП. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing , F_1, F_2</tex>, F_1, F_2 - замкнутые <tex> \Rightarrow \exists G_1, G_2: F_j F_1 \in G_j subset G_1, j = 1, 2F_2 \subset G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>

<tex> f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} </tex>. Т.к. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing </tex> и <tex> F_1, F_2 </tex> - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, <tex> f(x) </tex> корректна и непрерывна в силу непрерывности <tex> \rho </tex>. При этом: <tex> x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 </tex>. Рассмотрим на R пару интервалов: <tex> (- \infty; \frac 1 3) </tex> и <tex> (\frac 1 2, + \infty) </tex>. Т.к. <tex> f(x) </tex> неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество(это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).

{{Теорема|about=топологическое определение непрерывности|statement=Пусть у нас есть <tex> f :(X, \rho) \to (Y, \rho), </tex> тогда<tex> f </tex> - непрерывная <tex> \iff </tex> прообраз любого открытого множества открыт.|proof=1.Докажем в одну сторону Рассмотрим открытое множество G в У.Рассмотрим произвольную точку f(p) из G.Так как G открытое то <tex> \exists \varepsilon >0 : V_\varepsilon(f(p)) \in G </tex>По непрерывности <tex> \exists \delta : x \in V_\delta(p) \Rightarrow f(x) \in V_\varepsilon(f(p)) </tex>Подберем такое <tex> \delta </tex>Из выше сказанного следует что <tex> V_\delta(p) \in f^-1(p) </tex>.<tex> \delta </tex> можно найти для любого p значит прообраз открыт }}Замечание: так как замкнутые множества являются дополнениями открытых, то отсюда напрямую следует, что прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении замкнут. == Свойства непрерывных отображений . Определение компакта =={{Определение|definition=Множество ''ограниченное'', если его можно поместить в шар.}}

Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{- --}} МП. <tex> K \in X </tex> является '''компактом ''' в X, если из любой последовательности точек принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> x_n: \lim x_n \in K </tex>.

{{Утверждение|statement = Легко видеть что если K {{- --}} компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Ограниченное множество можно пометить в шар. Обратное не верно в общем случаене верно.|proof = Докажем от противного. Предположим, что K неограниченное.То есть <tex> \forall x \in K, \forall\varepsilon > 0 \exists x_1 \in K : \rho (x, x_1) > \varepsilon</tex>. Тогда мы можем построить последовательность из таких точек <tex>x_i: \rho (x_i, x_{i+1}) > \varepsilon</tex>. Эта последовательность неограниченна и из нее нельзя выделить сходящуюся. Но К {{---}} компакт, получили противоречие с определением компакта.То, что K {{---}} замкнутое, следует из основного характеристического свойства замкнутых множеств.}}  

<tex> A \in X </tex> является связным, если нельзя подобрать пару имеющих хотя бы одну общую точку с <tex>A</tex> множеств <tex> G_1, G_2 \in \tau: G_1 \cap G_2 = \varnothing, A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2) </tex>

свойство связанного множествана вещественной оси

Пусть K - компакт в <tex> (YX, \rho'); f: K \rightarrow(neprerivno) (Y, \rho') \Rightarrow , f </tex> {{---}} непрерывное отображение. Тогда <tex>f(K) </tex> - компакт в <tex> (Y, \rho') </tex>( непрерывный образ K есть Kкомпакта {{---}} компакт).

<tex> \exists x_{nkn_k} \rightarrow x \in K </tex>. По непрерывности <tex> f(K): y_{nkn_k} = f(x_{nkn_k}) \rightarrow y = f(x) \in f(K) </tex>, ч.т.д.}} == Равномерно непрерывные отображения =={{Определение|definition=Пусть заданы МП: <tex> (X, \rho), (Y, \rho'), E \subset X</tex>. Тогда <tex> f: E -> Y</tex> {{---}} '''равномерно непрерывное отображение''', если<tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0: \forall x{'}, x{''} \in E:\ \rho(x{'}, x{''}) < \delta \Rightarrow \rho'(f(x{'}), f(x{''})) < \varepsilon</tex>}} {{Теорема|statement=Отображение, равномерно непрерывное на <tex> E </tex>, непрерывно в любой точке <tex> a </tex> множества <tex> E </tex>.|proof=Достаточно положить <tex> x = x{'}, a = x{''} </tex>, тогда отображение будет непрерывным по определению.}}Замечание: обратное в общем случае неверно.  Например, пусть <tex> X = Y = \mathbb R, E = (0, 1), f(x) = \sin(\frac1x)</tex> - непрерывная функция. Положим <tex> x{'}_n = \frac1{\pi n}, x{''}_n = \frac1{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} </tex>.Тогда <tex> |x{'}_n - x{''}_n| \rightarrow 0 </tex>, но <tex> |f(x{'}_n) - f(x{''}_n)| \rightarrow 1 </tex>, значит, <tex> f(x) </tex> - не равномерно непрерывное отображение. {{Теорема|author=Кантор|statement=Пусть даны МП <tex> (X, \rho), (Y, \rho)</tex>, <tex> K \subset X</tex> - компакт, <tex> f: K \rightarrow Y </tex> - непрерывное отображение. Тогда <tex> f </tex> также и равномерно непрерывное на <tex> K </tex>.|proof=Допустим, что это не так. Тогда, по логическому отрицанию: <tex>\exists \varepsilon_0 > 0~ \, \forall \delta > 0~ \exists {x'}_\delta, {x''}_\delta \in K: \rho({x'}_\delta, {x''}_\delta) < \delta ; \rho(f({x'}_\delta), f({x''}_\delta)) \ge \varepsilon_0; </tex> Рассмотрим:<tex> \partial_{n}=\frac{1}{n}: {x}'_{n}={x}'_{\partial_{n}}, {x}''_{n}={x}''_{\partial_{n}}, \rho({x}''_{n},{x}'_{n})< \frac{1}{n}; \rho(f({x}''_{n}),f({x}'_{n}))\geq \varepsilon _{0}</tex> т.к. K {{---}} компакт, т.е. в послед <tex>{x}'_{n}</tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность меньшую <tex>\frac{1}{{n}'_{k}}</tex>следовательно стремящуюся к нулю. <tex>{x}'_{n_{k}} \rightarrow x\in K</tex> <tex>\rho ({x}''_{n_{k}},x)< \rho ({x}''_{n_{k}},{x}'_{n_{k}}) + \rho ({x}'_{n_{k}},x) \rightarrow 0</tex> <tex>{x}''_{n_{k}}\rightarrow x</tex> т.к. f {{---}} непрерывна на K, из получаем <tex>f({x}'_{n_{k}})\rightarrow f(x)</tex>, значит растояние между ними стремится к нулю: противоречие. Как то так.

Определение'''Частный случай: равномерно - непрерывные отображения<tex>[a,b]\subset \mathbb{R}, f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</tex>'''