1632
правки
Изменения
м
Рассмотрим функцию <math>\,g(x)=f(x)-C.Поскольку отрезок </mathtex> Она непрерывна на отрезке <math>\,[a,; b]</mathtex> и <math>\{{---}} связное множество,g(a)<0</math>значит, его образ <mathtex>\,gf(b)>0.</math> Покажем, что существует такая точка <math>\,c\in [a,; b]) </mathtex>, что <math>\,g(c)=0при непрерывном отображении связен.</math> Разделим отрезок <math>\,[a,b]</math> точкой <math>\,x_0</math> По свойству связных на два равных по длине отрезка, тогда либо <mathtex>\,g(x_0)=0R </math> и нужная точка <mathtex>\множеств,c=x_0так как </mathtex> найденаA, либо <math>g(x_0)B \neq 0</math> и тогда на концах одного из полученных промежутков функция <math>\,g(x)</math> принимает значения разных знаковin f(на левом конце меньше нуля, на правом больше). Обозначив полученный отрезок <math>\,[a_1,b_1a; b]) </mathtex>, разделим его снова на два равных по длине отрезка то и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке <math>\,c</mathtex>, либо получим последовательность [[Отрезок#Стягивающаяся система сегментов|вложенных отрезков]A; B] <math>\,in f([a_n,b_na; b]) </math> по длине стремящихся к нулю и таких, что <mathtex>\,g(a_n)<0<g(b_n).</math> Пусть <math>\Значит,c</math> - общая точка всех отрезков для любого <mathtex>D \,in [a_n,b_nA; B]</math>, <math>\,n=1,2,...</math> Тогда <math>c=\lim a_n=\lim b_n,</math> и в силу непрерывности функции <math>\,g(x):</math> <math>g(c)=\lim g(a_n)=\lim g(b_n).</mathtex> Посколькусоответствующий прообраз <mathtex>\lim g(a_n)\le 0\le \lim g(b_n),d </math>получим, что <mathtex>\,g(c)=0найдется.</math>
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition =
Пусть <tex>x \in A</tex>. Тогда <tex>A</tex> {{---}} '''окрестность''' точки <tex>x</tex>, если существует открытый шар <tex>V: x \in V \subset A </tex>. При этом <tex>A \backslash \{x\}</tex> называется '''проколотой окрестностью''' точки <tex>x</tex>.
}}
Тогда утверждается, что <tex> \lim\limits_{x \rightarrow a} z(x) = d </tex>. Если вы дочитали условие до этого места, возьмите с полки пирожок. _о_
|proof=
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_1 > 0 : 0 < \bar \rho (y, b) < \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g / (y), d) < \varepsilon \\
\forall \delta_1 > 0 \, \exists \delta > 0 : 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 </tex>
:<tex>f(x) \ne b \Rightarrow 0 < \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 </tex>, а тогда <tex>y = f(x) </tex>
<tex> \forall x_0\ f(x_0) = \rho(x_0, A) </tex> - непрерывна.
|proof=
<tex> f(x_1) \le \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, Aa) + \rho(x_2, x_1) </tex>
По определению нижней грани, <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists a^* \in A: \rho(x, a^*) < \rho(x, A) + \varepsilon</tex>, значит, <tex>f(x_1) \le \rho(x_2, A) + \varepsilon + \rho(x_2, x_1) </tex>.
Тогда <tex> \forall D: A < D < B\ \exists d \in (a; b): f(d) = D </tex>.
|proof=
}}
{{Теорема
|id=
weirstrass
|author=
Вейерштрасс
Тогда существуют такие <tex> x_1, x_2 </tex>, что <tex> f(x_1) = \inf\limits_{K}f, f(x_2) = \sup\limits_{K}f </tex>.
|proof=
Пусть <math>f(x)</math> — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте <math>A</math>), <math>M = \sup_A f</math>. Возьмём последовательность чисел <math>a_m</math> таких, что <math>\lim a_m = M</math> и <math>a_m < M</math>. Для каждого <math>m</math> найдётся точка <math>x_m</math>, такая что
<math>a_m < f(x_m)</math>. Имеем дело с компактом, поэтому, согласно [[Теорема Больцано — Вейерштрасса|теореме Больцано — Вейерштрасса]] из последовательности <math>x_m</math> можно выделить сходящуюся последовательность <math>\{x_{m_k}\}</math>, предел которой лежит в <math>A</math>.
Для любого <math>x_m</math> справедливо <math>a_m < f(x_{m_k}) < M</math>, поэтому, применяя [[предельный переход]], получаем <math>\lim f(x_{m_k}) = M</math> и в силу непрерывности функции существует точка <math>x_0</math> такая, что <math>\lim f(x_{m_k}) = f(x_0)</math> и, следовательно <math>M = f(x_0)</math>.
Таким образом функция <math>f(x)</math> ограничена и достигает своей верхней грани при <math>x = x_0</math>. Аналогично и для нижней грани.
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
