689
правок
Изменения
Добавил равномерно непрерывные отображения. Теорему Кантора пока не скурил.
}}
{{Теорема
|statement=
Отображение, равномерно непрерывное на <tex> E </tex>, непрерывно в любой точке <tex> a </tex> множества <tex> E </tex>.
|proof=
Достаточно положить <tex> x = x{'}, a = x{''} </tex>, тогда отображение будет непрерывным по определению.
}}
Замечание: обратное в общем случае неверно.
Например, пусть <tex> X = Y = \mathbb R, E = (0, 1), f(x) = \sin(\frac1x)</tex> - непрерывная функция.
Положим <tex> x{'}_n = \frac1{\pi n}, x{''}_n = \frac1{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} </tex>.
Тогда <tex> |x{'}_n - x{''}_n| \rightarrow 0 </tex>, но <tex> |f(x{'}_n) - f(x{''}_n)| \rightarrow 1 </tex>, значит, <tex> f(x) </tex> - не равномерно непрерывное отображение.
{{Теорема
|author=
Кантор
|statement=
Пусть даны МП <tex> (X, \rho), (Y, \rho)</tex>, <tex> K \subset X</tex> - компакт, <tex> f: K \rightarrow Y </tex> - непрерывное отображение. Тогда <tex> f </tex> также и равномерно непрерывное на <tex> K </tex>.
|proof=
[[Файл:Trollface.jpg]]
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
