Изменения

{{В разработке}}Допустим нам дана задача: Даны два отрезка AB , которые задаются начальной и конечной точками <tex>a,b\ \mathcal{2}\ \mathbb R^2</tex> и CD определяются как множества точек <tex>s\ =\ \{(они могут вырождаться в точки1-t)a + tb,\ t\ \in [0;1]\}</tex>. Требуется проверить, пересекаются они на плоскости или нетсуществование множества их общих точек. Для упрощения определения этого факта в вычислительной геометрии используется предикат "''левый поворот" '' (или "''по часовой стрелке"''). Для начала разберемсяРассмотрим возможные расположения точек и самих отрезков относительно друг друга: [[Файл:Cross.png]][[Файл:Two_segments.png]][[Файл:Touch.jpg]] Определим, что за зверь такой - Предикатлежат ли точки концов отрезков по разные стороны от другого отрезка.

'''Предикат''' <tex dpi = "120">$$\operatorname{LeftTurn}(лат. '''praedicatum''' — заявленноеa, упомянутоеb, сказанноеc) — любое математическое высказывание=\left\{\begin{array}{rl}-1 &\mbox{, в котором естьif}\ (c - a)\times(b - a) < 0\\0 &\mbox{, по меньшей мереif}\ (c - a)\times(b - a) = 0\\1 &\mbox{, одна переменнаяif}\ (c - a)\times(b - a) > 0\end{array}\right.$$</tex>

Распишем подробнее:<tex dpi =120>(c - a)\times(b - a) = Примеры =(c_x - a_x)(b_y - a_y) - (c_y - a_y)(b_x - a_x) =V</tex> Какие при этом у нас будут погрешности? Допустим, что все числа положительные и будем писать без модулей:

- Например, обозначим предикатом EQ(x, y) отношение равенства («x = y»), где ''x'Замечание:' и ''y'' принадлежат множеству вещественных чисел. В этом случае предикат EQ будет принимать истинное значение для всех равных x и yпри сложении складываются абсолютные погрешности, при умножении складываются относительные погрешности.

<tex dpi = "150"> \delta (c - a)\times(b - Более житейским примером может служить предикат ПРОЖИВАЕТa) = A \varepsilon \left(x, y, z\frac{(c_x + a_x) для отношения «x проживает в городе y на улице z» или ЛЮБИТ}{(x, yc_x \cdot a_x)} + \frac{(b_y + a_y)}{(b_y \cdot a_y)}\right) + B \varepsilon \left(\frac{(c_y + a_y)}{(c_y \cdot a_y)} + \frac{(b_x + a_x)}{(b_x \cdot a_x)}\right) для «x любит y».</tex>

Итак[[Файл:Tiny_angle.jpg]] Заметим, у нас есть задачачто все координаты (а, с чего начнем её решать? Одно из решений - определитьзначит, лежат ли точки концов отрезков по разные стороны от другого отрезка. Вот тут нам и поможет предикат. Два из трех аргументов наши вычисления) производятся в вещественных числах, а это точки концов одного отрезказначит, а последний - один из концов другого отрезкачто при вычислениях мы можем допустить ошибку.Распишем вещественное исчисление:{{Определение|definition <tex dpi = 140>V =Left_Turn(c - a, )\times(b, c- a) \approx (c_x \ominus a_x)\otimes(b_y \ominus a_y) \ominus (c_y \ominus a_y)\otimes(b_x \ominus a_x) =</tex> <tex dpi = 130>= \big((c_x - a_x)(b_y - a_y)(1 + \delta_1)(1 + \delta_2)(1 + \delta_3) \ -</tex> <tex dpi = true, если 130>-\ (b c_y - aa_y)*(c b_x - aa_x)(1 + \delta_4)(1 + \delta_5)(1 + \delta_6)\big)(1 + \delta_7) = \tilde{V}</tex> 0 <tex dpi = 130>\mid\delta_i\mid \le \varepsilon_m = 2^{-54}</tex>; Получим некую окрестность <tex dpi = 130>|V - \tilde{V}| \le 8 \varepsilon_m</tex>, если ноль попадает в наш интервал, то приходится пользоваться более тяжелой артиллерией, такими как [[Adaptive precision arithmetic|''adaptive precision arithmetic'']], либо [[Интервальная арифметика |''интервальная арифметика'']]. Во второй, исходные переменные будут вырожденными интервалами. Из-за погрешностей, возникающих при округлении вещественных чисел, истинные значения операций нам будут неизвестны, но они обязательно будет содержаться в посчитанных интервалах. '''Замечание:''' расписанное неравенство смотрите в [[Представление_чисел_с_плавающей_точкой#.D0.A0.D0.B0.D1.81.D1.87.D0.B5.D1.82|''другом конспекте'']]

Единственное, на что =Bounding box=Ещё следует обратить внимание — на граничные случаи, когда какие-то точки попадают на саму прямую. При этом возникает единственный особый случай, когда вышеописанные проверки ничего не дадут — случай, когда оба отрезка лежат на одной прямой. Этот случай надо рассмотреть рассматривается отдельно. Для этого достаточно проверить, что проекции этих двух отрезков на оси X и Y пересекаются (часто эту проверку называют "''проверкой на bounding box"''). Но отметим, что чаще всего данный предикат используют для трех точек, где одна из них относится сразу к двум отрезкам.

* [http[Категория://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82 wikipedia.ru - ПредикатВычислительная геометрия]* [http://e-maxx.ru/algo/segments_intersection_checking e-maxx.ru/algo - Проверка двух отрезков на пересечение]