Заметим, что все координаты (а, значит, и наши вычисления) производятся в вещественных числах, а это значит, что при вычислениях мы можем допустить ошибку. Распишем вещественное исчисление:
<tex dpi = 140>\overbrace {V = (c - a)\times(b - a)}^{V} = \overbrace{approx (c_x \ominus a_x)\otimes(b_y \ominus a_y) \ominus (c_y \ominus a_y)\otimes(b_x \ominus a_x)}^{\tilde{V}} =</tex>
<tex dpi = 130>= \big((c_x - a_x)(b_y - a_y)(1 + \delta_1)(1 + \delta_2)(1 + \delta_3)\ -</tex>
<tex dpi = 130>\mid\delta_i\mid \le \varepsilon_m = 2^{-54}</tex>;
Получим некую окрестность <tex dpi = 130>|V - \tilde{V}|\le 8 \varepsilon_m</tex> судя по которой мы сможем точнее определить, не ошиблись ли мы знаком(если ноль не входит попадает в нашу окрестностьнаш интервал, тогда знак веренто приходится пользоваться более тяжелой артиллерией, иначе "we need go deeper")такими как [[Adaptive precision arithmetic|''adaptive precision arithmetic'']], либо [[Интервальная арифметика |''интервальная арифметика'']]. Во второй, исходные переменные будут вырожденными интервалами. Из-за погрешностей, возникающих при округлении вещественных чисел, истинные значения операций нам будут неизвестны, но они обязательно будет содержаться в посчитанных интервалах.
Найдем более точно нашу окрестность: <tex dpi = 130>|V - \tilde{V}| = |\big((1 + \delta_7)(1 + \delta_3)(1 + \delta_2)(1 + \delta_1) - 1 \big)(c_x - a_x)(b_y - a_y) -</tex> <tex dpi = 130>-\ \big((1 + \delta_7)(1 + \delta_6)(1 + \delta_5)(1 + \delta_4) - 1 \big)(c_y - a_y)(b_x - a_x)| \le </tex> <tex dpi = 130>\le |P(\delta_7, \delta_3, \delta_2, \delta_1)|\cdot|(c_x - a_x)(b_y - a_y)| + |Q(\delta_7, \delta_6, \delta_5, \delta_4)|\cdot|(c_y - a_y)(b_x - a_x)|\le</tex> <tex dpi = 130>\le ((1 + \varepsilon_m)^4 - 1) \cdot |(c_x - a_x)(b_y - a_y) + (c_y - a_y)(b_x - a_x)|</tex> Далее для пущей точности добавим floating point ariphmetics: <tex dpi = 130>((1 + \varepsilon_m)^4 - 1) \cdot |(c_x \ominus a_x)\otimes(b_y \ominus a_y) \oplus (c_y \ominus a_y)\otimes(b_x \ominus a_x)| =</tex> <tex dpi = 130>= \frac{(1 + \varepsilon_m)^4 - 1}{(1 + \varepsilon_m)^3} \cdot |(c_x - a_x)(b_y - a_y) \oplus (c_y - a_y)(b_x - a_x)| =</tex> <tex dpi = 130>= \frac{(1 + \varepsilon_m)^4 - 1}{(1 + \varepsilon_m)^4} \cdot |(c_x - a_x)(b_y - a_y) + (c_y - a_y)(b_x - a_x)| </tex> Замаксимизируем первый множитель: <tex dpi = 130> \frac{(1 + \varepsilon_m)^4 - 1}{(1 + \varepsilon_m)^4} = \frac{4 \varepsilon_m - 6 \varepsilon^2_m + 4 \varepsilon^3_m + \varepsilon^4_m}{1 - 4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon^2_m - 4 \varepsilon^3_m - \varepsilon^4_m} \le</tex> <tex dpi = 130>\le \frac{5 \varepsilon_m}{1 - 4 \varepsilon_m} \le 8 \varepsilon_m</tex> '''Замечание:''' последнее расписанное неравенство верно, т.к. <tex dpi = 130>1 - 4 \varepsilon_m \le \frac{5}{8}</tex> Таким образом мы получили радиус нашей окрестности <tex dpi = 130>|V - \tilde{V}|</tex>, если же ноль таки попал смотрите в наш интервал, то приходится пользоваться более тяжелой артиллерией, такими как [[Adaptive precision arithmeticПредставление_чисел_с_плавающей_точкой#.D0.A0.D0.B0.D1.81.D1.87.D0.B5.D1.82|''adaptive precision arithmeticдругом конспекте'']], либо [[Интервальная арифметика |''интервальная арифметика'']]. Во второй, исходные переменные будут вырожденными интервалами. Из-за погрешностей, возникающих при округлении вещественных чисел, истинные значения операций нам будут неизвестны, но они обязательно будет содержаться в посчитанных интервалах.
=Bounding box=
Ещё следует обратить внимание на граничные случаи, когда какие-то точки попадают на саму прямую. При этом возникает единственный особый случай, когда вышеописанные проверки ничего не дадут — случай, когда оба отрезка лежат на одной прямой. Этот случай рассматривается отдельно. Для этого достаточно проверить, что проекции этих двух отрезков на оси X и Y пересекаются (часто эту проверку называют ''проверкой на bounding box''). Но отметим, что чаще всего данный предикат используют для трех точек, где одна из них относится сразу к двум отрезкам.
[[Файл:Bounting_box().png]]
