Представление булевых функций линейными программами — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Добавлено: теорема о связи между схемами и линейными программами, пример)
(Image formatting fixed)
 
(не показано 14 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
 
 
 
= Линейные программы =
 
= Линейные программы =
 +
Определения и основные понятия, связанные с булевыми функциями описаны в статье [[Определение булевой функции|"определение булевой функции"]].<br>
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition='''Линейная программа''' {{---}} последовательность присваиваний вида <tex>x = F(x_1, x_2, \dots , x_n)</tex>, где <tex>x, x_1, \dots , x_n</tex> {{---}} переменные, а <tex>F</tex> {{---}} <tex>k</tex>-местная базисная функция.  
+
|definition='''Линейная программа''' {{---}} последовательность строк вида <tex>x = F(x_1, x_2, \dots , x_n)</tex>, где <tex>x, x_1, \dots , x_n</tex> {{---}} переменные, а <tex>F</tex> {{---}} <tex>k</tex>-местная базисная функция.  
 
}}
 
}}
 
'''Пример'''<br>
 
'''Пример'''<br>
 
Для базиса <tex>B_0 = \{\vee, \wedge, \neg \}</tex> линейная программа состоит из присваиваний вида:  
 
Для базиса <tex>B_0 = \{\vee, \wedge, \neg \}</tex> линейная программа состоит из присваиваний вида:  
* <tex>Z = X \wedge Y</tex>;
+
* <tex>A_2 = A_0 \wedge A_1</tex>;
* <tex>Z = X \vee Y</tex>;
+
* <tex>A_2 = A_0 \vee A_1</tex>;
* <tex>Z = \neg X</tex>.
+
* <tex>A_1 = \neg A_0</tex>.
 
<br>
 
<br>
 
Линейная программа <tex>P</tex> с выделенными переменными <tex>x_1,\dots , x_n</tex> порождает для каждого набора <tex>\sigma_1, \dots , \sigma_n</tex> значений входных переменных естественный процесс вычисления:
 
Линейная программа <tex>P</tex> с выделенными переменными <tex>x_1,\dots , x_n</tex> порождает для каждого набора <tex>\sigma_1, \dots , \sigma_n</tex> значений входных переменных естественный процесс вычисления:
 
# Переменным <tex>x_1, \dots , x_n</tex> присваиваются значения <tex>\sigma_1, \dots , \sigma_n</tex>, соответственно, а каждой из остальных переменных присваивается значение <tex>0</tex>;
 
# Переменным <tex>x_1, \dots , x_n</tex> присваиваются значения <tex>\sigma_1, \dots , \sigma_n</tex>, соответственно, а каждой из остальных переменных присваивается значение <tex>0</tex>;
# Последовательно выполняются присваивания программы <tex>P</tex>, в результате чего каждая из переменных <tex>Z</tex> программы получит итоговое значение <tex>P_Z(\sigma_1, \dots , \sigma_n)</tex>.
+
# Последовательно выполняются присваивания программы <tex>P</tex>, в результате чего каждая из переменных <tex>x_i \; \forall i = 1 .. n</tex> программы получит итоговое значение <tex>P_Z(\sigma_1, \dots , \sigma_n)</tex>.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition='''Программа''' <tex>P</tex> со входными переменными <tex>x_1,\dots , x_n</tex> '''вычисляет''' в выходной переменной <tex>Z</tex> '''функцию''' <tex>F(x_1, \dots , x_n)</tex>, если для любого набора значений входов <tex>\sigma_1, \dots , \sigma_n</tex> после завершения работы <tex>P_Z(\sigma_1, \dots , \sigma_n) = F(\sigma_1, \dots , \sigma_n)</tex>.
 
|definition='''Программа''' <tex>P</tex> со входными переменными <tex>x_1,\dots , x_n</tex> '''вычисляет''' в выходной переменной <tex>Z</tex> '''функцию''' <tex>F(x_1, \dots , x_n)</tex>, если для любого набора значений входов <tex>\sigma_1, \dots , \sigma_n</tex> после завершения работы <tex>P_Z(\sigma_1, \dots , \sigma_n) = F(\sigma_1, \dots , \sigma_n)</tex>.
 
}}
 
}}
 +
 
= Связь между схемами и линейными программами =
 
= Связь между схемами и линейными программами =
 +
Как известно, [[Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов|булевы функции представимы в виде схем из функциональных элементов]]. В данном пункте мы определим связь между такими схемами и линейными программами.<br>
 +
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
 
<br>
 
<br>
# По каждой логической схеме <tex>S</tex> со входами <tex>x_1, \dots , x_n</tex> и функциональными элементами <tex>v_1, \dots , v_m</tex> можно эффективно построить линейную программу <tex>P_S</tex> со входными переменными <tex>x_1, \dots , x_n</tex> и рабочими переменными <tex>v_1, \dots , v_m</tex>, которая в любой переменной <tex>v_i, i = 1, \dots , m</tex>, вычисляет функцию <tex>f_{v_i}(x_1, \ldots , x_n)</tex>;<br><br>
+
# По каждой логической схеме <tex>S</tex> со входами <tex>x_1, \dots , x_n</tex> и функциональными элементами <tex>v_1, \dots , v_m</tex> можно эффективно построить линейную программу <tex>P_S</tex> со входными переменными <tex>x_1, \dots , x_n</tex> и рабочими переменными <tex>x_{n + 1}, \dots , x_{n + m}</tex>, которая в любой переменной <tex>x_i, i = 1 + n, \dots , m + n</tex>, вычисляет функцию <tex>f_{x_i}(x_1, \ldots , x_n)</tex>;<br><br>
 
# По каждой линейной программе <tex>P</tex> со входными переменными <tex>x_1, \dots , x_n</tex>, вычисляющей в выходной переменной <tex>Z</tex> некоторую функцию <tex>F(x_1, \dots , x_n)</tex> можно эффективно построить логическую схему <tex>S_P</tex> со входами <tex>x_1,\dots , x_n</tex>, в которой имеется вершина <tex>v</tex> такая, что <tex>f_v(x_1, \dots , x_n) = F(x_1, \dots , x_n)</tex>.
 
# По каждой линейной программе <tex>P</tex> со входными переменными <tex>x_1, \dots , x_n</tex>, вычисляющей в выходной переменной <tex>Z</tex> некоторую функцию <tex>F(x_1, \dots , x_n)</tex> можно эффективно построить логическую схему <tex>S_P</tex> со входами <tex>x_1,\dots , x_n</tex>, в которой имеется вершина <tex>v</tex> такая, что <tex>f_v(x_1, \dots , x_n) = F(x_1, \dots , x_n)</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 
'''(1)'''<br>
 
'''(1)'''<br>
Пусть <tex>S</tex> {{---}} схема со входами <tex>x_1, \dots , x_n</tex> и функциональными элементами <tex>v_1, \dots , v_m</tex>. Построим по ней линейную программу <tex>P_S</tex> со входными переменными <tex>x_1, \dots , x_n</tex> следующим образом. Топологически отсортируем все входные и функциональные вершины <tex>S</tex>: <tex>u_1, \dots , u_{n + m}</tex>. Программа <tex>P_S</tex> будет последовательностью <tex>m</tex> присваиваний.<br>
+
Пусть <tex>S</tex> {{---}} схема со входами <tex>x_1, \dots , x_n</tex> и функциональными элементами <tex>v_1, \dots , v_m</tex>. Построим по ней линейную программу <tex>P_S</tex> со входными переменными <tex>x_1, \dots , x_n</tex> следующим образом. [[Использование обхода в глубину для топологической сортировки | Топологически отсортируем]] все входные и функциональные вершины <tex>S</tex>: <tex>u_1, \dots , u_{n + m}</tex>. Программа <tex>P_S</tex> будет последовательностью <tex>m</tex> присваиваний.<br>
* Пусть вершина <tex>u_{n + i}</tex> помечена <tex>\neg</tex>, и в нее входит ребро из <tex>u_j</tex>. Тогда в качестве <tex>i</tex>ой команды поместим в <tex>P_S</tex> присваивание <tex>u_{n + i}= \neg u_j</tex>;
+
* Пусть вершина <tex>u_{i + n}</tex> помечена <tex>\neg</tex>, и в нее входит ребро из <tex>u_j</tex>. Тогда в качестве <tex>i</tex>-ой команды поместим в <tex>P_S</tex> присваивание <tex>x_{i + n}= \neg x_j</tex>;
* Пусть вершина <tex>u_{n + i}</tex> помечена <tex>\circ \in \{ \wedge , \vee \}</tex>, и в нее входят ребра из <tex>u_j</tex> и <tex>u_k</tex>. Тогда в качестве <tex>i</tex>ой команды поместим в <tex>P_S</tex> присваивание <tex>u_{n + i} = u_j \circ u_k</tex>.
+
* Пусть вершина <tex>u_{i + n}</tex> помечена <tex>\circ \in \{ \wedge , \vee \}</tex>, и в нее входят ребра из <tex>u_j</tex> и <tex>u_k</tex>. Тогда в качестве <tex>i</tex>-ой команды поместим в <tex>P_S</tex> присваивание <tex>x_{i + n} = x_j \circ x_k</tex>.
 
<br>
 
<br>
Топологическая сортировка вершин гарантирует, что <tex>j < n + i \wedge k < n + i</tex>. Поэтому при вычислении <tex>u_{n + i}</tex> значения аргументов уже получены и индукцией по глубине легко показать, что <tex>\forall i = 1, \dots , m</tex> программа <tex>P_S</tex> вычисляет в переменной <tex>v_i</tex> функцию <tex>f_{v_i}(x_1, \dots, x_n)</tex>.
+
Топологическая сортировка вершин гарантирует, что <tex>j < n + i \wedge k < n + i</tex>. Поэтому при вычислении <tex>x_{n + i}</tex> значения аргументов уже получены и индукцией по глубине легко показать, что <tex>\forall i = 1, \dots , m</tex> программа <tex>P_S</tex> вычисляет в переменной <tex>x_i</tex> функцию <tex>f_{x_i}(x_1, \dots, x_n)</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
'''Пример'''
 
'''Пример'''
[[Файл:Logic_scheme_sample_boolean_functions_and_linear_programs.gif|300px|thumb|center|Пример схемы]]
+
[[Файл:Logic_scheme_sample_boolean_functions_and_linear_programs.gif|300px|thumb|left|Пример схемы]]
 
Воспользуемся только что доказанной теоремой, и построим на основании этой схемы линейную программу.<br>
 
Воспользуемся только что доказанной теоремой, и построим на основании этой схемы линейную программу.<br>
Результатом топологической сортировки данного графа может стать последовательность вершин: <tex>x, y, z, a, b, c, d, e, f</tex>. Тогда программа <tex>P_S</tex> будет иметь следующий вид:
+
Установим соответствие между вершинами схемы и переменными: <tex>x \; — \; x_0, \; y \; — \; x_1, \; z \; — \; x_2, \; a \; — \; x_3, \; b \; — \; x_4, \; c \; — \; x_5, \; d \; — \; x_6, \; e \; — \; x_7, \; f \; — \; x_8</tex>.<br>
<tex>a = x \wedge y</tex><br>
+
Результатом топологической сортировки данного графа может стать последовательность вершин: <tex>x, y, z, a, b, c, d, e, f</tex>. Тогда программа <tex>P_S</tex> будет иметь следующий вид:<br>
<tex>b = \neg z</tex><br>
+
<tex>x_3 = x_0 \wedge x_1</tex><br>
<tex>c = \neg a</tex><br>
+
<tex>x_4 = \neg x_2</tex><br>
<tex>d = c \wedge z</tex><br>
+
<tex>x_5 = \neg x_3</tex><br>
<tex>e = a \wedge b</tex><br>
+
<tex>x_6 = x_5 \wedge x_2</tex><br>
<tex>f = d \vee e</tex><br>
+
<tex>x_7 = x_3 \wedge x_4</tex><br>
 +
<tex>x_8 = x_6 \vee x_7</tex><br>
 +
<br>
 +
{{Утверждение
 +
|statement=Число команд в линейной программе <tex>P_S</tex>, т.е. время ее выполнения, совпадает со сложностью <tex>L(S)</tex> схемы <tex>S</tex>. Глубина схемы <tex>D(S)</tex> также имеет смысл с точки зрения времени вычисления. Именно, <tex>D(S)</tex> {{---}} это время выполнения <tex>P_S</tex> на многопроцессорной системе. Действительно, все команды, соответствующие вершинам одинаковой глубины, можно выполнять параллельно на разных процессорах, так как результаты любой из них не используются в качестве аргументов другой.
 +
}}
  
 
= См. также =
 
= См. также =
 
* [[Определение булевой функции]]
 
* [[Определение булевой функции]]
 
* [[Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов]]
 
* [[Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов]]
 +
* [[Использование обхода в глубину для топологической сортировки]]
  
 
= Литература =
 
= Литература =
 +
# Дехтярь М.И. Реализация булевых функций с помощью логических схем // Введение в схемы, автоматы и алгоритмы, 2007. URL: https://www.intuit.ru/studies/courses/1030/205/lecture/5306
  
 
[[Категория: Дискретная математика]]
 
[[Категория: Дискретная математика]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Булевы функции ]]
 
[[Категория: Булевы функции ]]

Текущая версия на 02:33, 25 июня 2020

Линейные программы[править]

Определения и основные понятия, связанные с булевыми функциями описаны в статье "определение булевой функции".

Определение:
Линейная программа — последовательность строк вида [math]x = F(x_1, x_2, \dots , x_n)[/math], где [math]x, x_1, \dots , x_n[/math] — переменные, а [math]F[/math][math]k[/math]-местная базисная функция.

Пример
Для базиса [math]B_0 = \{\vee, \wedge, \neg \}[/math] линейная программа состоит из присваиваний вида:

  • [math]A_2 = A_0 \wedge A_1[/math];
  • [math]A_2 = A_0 \vee A_1[/math];
  • [math]A_1 = \neg A_0[/math].


Линейная программа [math]P[/math] с выделенными переменными [math]x_1,\dots , x_n[/math] порождает для каждого набора [math]\sigma_1, \dots , \sigma_n[/math] значений входных переменных естественный процесс вычисления:

  1. Переменным [math]x_1, \dots , x_n[/math] присваиваются значения [math]\sigma_1, \dots , \sigma_n[/math], соответственно, а каждой из остальных переменных присваивается значение [math]0[/math];
  2. Последовательно выполняются присваивания программы [math]P[/math], в результате чего каждая из переменных [math]x_i \; \forall i = 1 .. n[/math] программы получит итоговое значение [math]P_Z(\sigma_1, \dots , \sigma_n)[/math].


Определение:
Программа [math]P[/math] со входными переменными [math]x_1,\dots , x_n[/math] вычисляет в выходной переменной [math]Z[/math] функцию [math]F(x_1, \dots , x_n)[/math], если для любого набора значений входов [math]\sigma_1, \dots , \sigma_n[/math] после завершения работы [math]P_Z(\sigma_1, \dots , \sigma_n) = F(\sigma_1, \dots , \sigma_n)[/math].


Связь между схемами и линейными программами[править]

Как известно, булевы функции представимы в виде схем из функциональных элементов. В данном пункте мы определим связь между такими схемами и линейными программами.

Теорема:

  1. По каждой логической схеме [math]S[/math] со входами [math]x_1, \dots , x_n[/math] и функциональными элементами [math]v_1, \dots , v_m[/math] можно эффективно построить линейную программу [math]P_S[/math] со входными переменными [math]x_1, \dots , x_n[/math] и рабочими переменными [math]x_{n + 1}, \dots , x_{n + m}[/math], которая в любой переменной [math]x_i, i = 1 + n, \dots , m + n[/math], вычисляет функцию [math]f_{x_i}(x_1, \ldots , x_n)[/math];

  2. По каждой линейной программе [math]P[/math] со входными переменными [math]x_1, \dots , x_n[/math], вычисляющей в выходной переменной [math]Z[/math] некоторую функцию [math]F(x_1, \dots , x_n)[/math] можно эффективно построить логическую схему [math]S_P[/math] со входами [math]x_1,\dots , x_n[/math], в которой имеется вершина [math]v[/math] такая, что [math]f_v(x_1, \dots , x_n) = F(x_1, \dots , x_n)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

(1)
Пусть [math]S[/math] — схема со входами [math]x_1, \dots , x_n[/math] и функциональными элементами [math]v_1, \dots , v_m[/math]. Построим по ней линейную программу [math]P_S[/math] со входными переменными [math]x_1, \dots , x_n[/math] следующим образом. Топологически отсортируем все входные и функциональные вершины [math]S[/math]: [math]u_1, \dots , u_{n + m}[/math]. Программа [math]P_S[/math] будет последовательностью [math]m[/math] присваиваний.

  • Пусть вершина [math]u_{i + n}[/math] помечена [math]\neg[/math], и в нее входит ребро из [math]u_j[/math]. Тогда в качестве [math]i[/math]-ой команды поместим в [math]P_S[/math] присваивание [math]x_{i + n}= \neg x_j[/math];
  • Пусть вершина [math]u_{i + n}[/math] помечена [math]\circ \in \{ \wedge , \vee \}[/math], и в нее входят ребра из [math]u_j[/math] и [math]u_k[/math]. Тогда в качестве [math]i[/math]-ой команды поместим в [math]P_S[/math] присваивание [math]x_{i + n} = x_j \circ x_k[/math].


Топологическая сортировка вершин гарантирует, что [math]j \lt n + i \wedge k \lt n + i[/math]. Поэтому при вычислении [math]x_{n + i}[/math] значения аргументов уже получены и индукцией по глубине легко показать, что [math]\forall i = 1, \dots , m[/math] программа [math]P_S[/math] вычисляет в переменной [math]x_i[/math] функцию [math]f_{x_i}(x_1, \dots, x_n)[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Пример

Пример схемы

Воспользуемся только что доказанной теоремой, и построим на основании этой схемы линейную программу.
Установим соответствие между вершинами схемы и переменными: [math]x \; — \; x_0, \; y \; — \; x_1, \; z \; — \; x_2, \; a \; — \; x_3, \; b \; — \; x_4, \; c \; — \; x_5, \; d \; — \; x_6, \; e \; — \; x_7, \; f \; — \; x_8[/math].
Результатом топологической сортировки данного графа может стать последовательность вершин: [math]x, y, z, a, b, c, d, e, f[/math]. Тогда программа [math]P_S[/math] будет иметь следующий вид:
[math]x_3 = x_0 \wedge x_1[/math]
[math]x_4 = \neg x_2[/math]
[math]x_5 = \neg x_3[/math]
[math]x_6 = x_5 \wedge x_2[/math]
[math]x_7 = x_3 \wedge x_4[/math]
[math]x_8 = x_6 \vee x_7[/math]

Утверждение:
Число команд в линейной программе [math]P_S[/math], т.е. время ее выполнения, совпадает со сложностью [math]L(S)[/math] схемы [math]S[/math]. Глубина схемы [math]D(S)[/math] также имеет смысл с точки зрения времени вычисления. Именно, [math]D(S)[/math] — это время выполнения [math]P_S[/math] на многопроцессорной системе. Действительно, все команды, соответствующие вершинам одинаковой глубины, можно выполнять параллельно на разных процессорах, так как результаты любой из них не используются в качестве аргументов другой.

См. также[править]

Литература[править]

  1. Дехтярь М.И. Реализация булевых функций с помощью логических схем // Введение в схемы, автоматы и алгоритмы, 2007. URL: https://www.intuit.ru/studies/courses/1030/205/lecture/5306