Редактирование: Представление вещественных чисел

Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов представления действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений, его можно считать аналогом экспоненциальной записи чисел, но только в памяти компьютера.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые '''знак''' (англ.'' sign''), '''порядок''' (англ. ''exponent'') и '''мантиссу''' (англ. ''mantis''). В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа (<tex>0</tex> {{---}} если число положительное, <tex>1</tex> {{---}} если число отрицательное). При этом порядок записывается как целое число в [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|коде со сдвигом]], а мантисса {{---}} в [[#Нормальная и нормализованная форма|нормализованном виде]], своей дробной частью в двоичной системе счисления. Вот пример такого числа из <tex>16</tex> двоичных разрядов:
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
|-
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
|-
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок
!colspan=10 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
|-style="text-align: right"
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
<!-- 8 бит -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
|-
|style="border: none"| 
|colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14
|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
|colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
|}

Знак {{---}} один бит, указывающий знак всего числа с плавающей точкой. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:

<tex>(-1)^S \times M \times B^E</tex>, где <tex>S</tex> {{---}} знак, <tex>B</tex> {{---}} основание, <tex>E</tex> {{---}} порядок, а <tex>M</tex> {{---}} мантисса.
Десятичное число, записываемое как <tex> ReE</tex>, где <tex>R</tex> {{---}} число в полуинтервале <tex>[1; 10)</tex>, <tex>E</tex> {{---}} степень, в которой стоит множитель <tex>10</tex>; в нормализированной форме модуль <tex>R</tex> будет являться мантиссой, а <tex>E</tex> {{---}} порядком, а <tex>S</tex> будет равно <tex>1</tex> тогда и только тогда, когда <tex>R</tex> принимает отрицательное значение.
Например, в числе <tex>-2435e9</tex> 
* <tex>S</tex> <tex>=</tex> <tex>1</tex>
* <tex>B</tex> <tex>=</tex> <tex>10</tex>
* <tex>M</tex> <tex>=</tex> <tex>2435</tex>
* <tex>E</tex> <tex>=</tex> <tex>9</tex>

Порядок также иногда называют '''экспонентой''' или просто '''показателем степени'''.

<!-- TODO:Абзац ниже нужно перенести в раздел с проблемами чисел -->
При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями.

Более простым вариантом представления вещественных чисел является вариант с фиксированной точкой, когда целая и вещественная части хранятся отдельно. Например, на целую часть отводится всегда <tex>X</tex> бит и на дробную отводится всегда <tex>Y</tex> бит. Такой способ в архитектурах процессоров не присутствует. Отдаётся предпочтение числам с плавающей запятой, как компромиссу между диапазоном допустимых значений и точностью.

== Нормальная и нормализованная форма ==

'''Нормальной формой''' (англ. ''normal form'') числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале <tex>[0; 1)</tex>. Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, <tex>0{,}0001</tex> можно записать в 4 формах — <tex>0{,}0001 \times 10</tex><sup><tex>0</tex></sup>, <tex>0{,}001 \times 10</tex><sup><tex>−1</tex></sup>, <tex>0{,}01 \times 10</tex><sup><tex>−2</tex></sup>, <tex>0{,}1 \times 10</tex><sup><tex>−3</tex></sup>), поэтому распространена также другая форма записи — '''нормализованная''' (англ. ''normalized''), в которой мантисса десятичного числа принимает значения от <tex>1</tex> (включительно) до <tex>10</tex> (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от <tex>1</tex> (включительно) до <tex>2</tex> (не включительно). То есть в мантиссе слева от запятой до применения порядка находится ровно один знак. В такой форме любое число (кроме <tex>0</tex>) записывается единственным образом. Ноль же представить таким образом невозможно, поэтому стандарт предусматривает специальную последовательность битов для задания числа <tex>0</tex> (а заодно и некоторых других [[#Особые значения чисел с плавающей точкой|полезных чисел]], таких как <tex>-\infty</tex> и <tex>+\infty</tex>).
Так как старший двоичный разряд (целая часть) мантиссы вещественного числа в нормализованном виде всегда равен «<tex>1</tex>», то его можно не записывать, сэкономив таким образом один бит, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем <tex>2</tex> (в троичной, четверичной и др.), этого замечательного свойства нет (ведь целая часть там может быть не только единицей).

== Типы чисел с плавающей точкой (по IEEE 754) ==
=== Число половинной точности (''Binary16'', ''Half precision'') ===

'''Число́ полови́нной то́чности'''  — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину машинного слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>16</tex> бит или <tex>2</tex> байта). В силу невысокой точности этот формат представления чисел с плавающей запятой обычно используется в видеокартах, где небольшой размер и высокая скорость работы важнее точности вычислений.

{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
|-
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
|-
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок
!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
|-style="text-align: right"
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="border: none"|1,
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
|-
|style="border: none"| 
|colspan=3 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14
|colspan=2 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
|style="border: none"| 
|colspan=6 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
|}
Порядок записан [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|со сдвигом]] '''<tex>-15</tex>'''. То есть чтобы получить актуально значение порядка нужно вычесть из него сдвиг. Сдвиг можно получить по формуле <tex>2^{b-1}-1</tex>, где <tex>b</tex> {{---}} число бит, отведенное на хранение порядка (в случае числа половинной точности <tex>b=5</tex>).

'''Ограничения точности'''
* Целые от нуля до <tex>2048</tex> передаются как есть.
* Целые от <tex>2049</tex> до <tex>4096</tex> округляются к ближайшему чётному целому.
* Целые от <tex>4097</tex> до <tex>8192</tex> округляются до ближайшего целого, делящегося нацело на четыре.
* Целые от <tex>8193</tex> до <tex>16384</tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на восемь.
* Целые от <tex>16385</tex> до <tex>32768</tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на шестнадцать.
* Целые от <tex>32769</tex> до <tex>65535</tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на тридцать два.


=== Число одинарной точности (''Binary32'', ''Single precision'', ''float'') ===

'''Число́ одина́рной то́чности''' — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти одно машинное слово (в случае 32-битного компьютера — <tex>32</tex> бита или <tex>4</tex> байта). Используется для работы с вещественными числами везде, где не нужна очень высокая точность.

{|class="wikitable" style="background-color: transparent; border-collapse: collapse; border: none"
|-
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
|-
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
!colspan=8 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок (8 бит)
!colspan=24 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса (23+1 бита)
|-style="text-align: right"
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="border: none"|1,
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: transparent; border: none"|
|-
|style="border: none"| 
|colspan=4  style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|30
|colspan=4  style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|23
|style="border: none"| 
|colspan=20 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|22
|colspan=3  style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
|}
Порядок записан со сдвигом '''<tex>-127</tex>'''. 


=== Число двойной точности (''Binary64'', ''Double precision'', ''double'') ===

'''Число́ двойно́й то́чности''' — 
компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти два машинных слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>64</tex> бита или <tex>8</tex> байт). Часто используется благодаря своей неплохой точности, даже несмотря на двойной расход памяти и сетевого трафика относительно чисел одинарной точности.

{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
|-
!colspan=7 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
|-
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
!colspan=11 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок<br />(11 бит)
!colspan=53 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса<br />(52+1 бит)
|-style="text-align: right"
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="border: none"|1,
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
|-
|style="border: none"| 
|colspan=4  style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|62
|colspan=7  style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|52
|style="border: none"| 
|colspan=48 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|51
|colspan=4  style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
|}
Порядок записан со сдвигом '''<tex>-1023</tex>'''.

=== Число четверной точности (''Binary128'', ''Quadruple precision'') ===

'''Число́ четверно́й то́чности''' — 
компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти четыре машинных слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>128</tex> бит или <tex>16</tex> байт). Используется в случае необходимости крайне высокой точности.

{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
|-
!colspan=7 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
|-
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
!colspan=15 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок<br />(15 бит)
!colspan=47 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса<br />(112+1 бит)
|-style="text-align: right"
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="border: none"|1,
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
|-
|style="border: none"| 
|colspan=8  style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|126
|colspan=7  style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|112
|style="border: none"| 
|colspan=38 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|111
|}
<br />
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
|-
!colspan=66 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса<br />(112+1 бит)
|-style="text-align: right"
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
|-
|colspan=66  style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
|}
Порядок записан со сдвигом '''<tex>-16383</tex>'''.

Обычно этот формат реализуется программно, случаи аппаратной реализации крайне редки. Также не гарантируется поддержка этого типа в языках программирования, хотя кое-где она и реализована (например, компилятор gcc для архитектуры x86 позволяет использовать тип __float128, являющийся программной реализацией числа с четверной точностью).
В совокупности эти факторы делают Quadruple весьма экзотичным и редко встречающимся форматом чисел с плавающей запятой.


=== Диапазон значений чисел с плавающей запятой ===
Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. Пара значений показателя (когда все разряды нули и когда все разряды единицы) зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся ноль, значения NaN (Not a Number, "не число", получается как результат операций типа деления нуля на ноль) и <tex>\pm\infty</tex>.

Данная таблица только лишь примерно указывает границы допустимых значений, без учета возрастающей погрешности с ростом абсолютного значения и существования [[#Денормализованные числа|денормализованных чисел]]. 

<!-- TODO: Выкинуть нафиг эту бессмысленную таблицу, переписать весь раздел, привести распределение значений и формулу для подсчета их количества -->
{| class="wikitable"
 !Название в IEEE 754|| Название типа переменной в Си || Диапазон значений || Бит в мантиссе || Бит на переменную
 |-
 |Half precision||-||6,10&times;10<sup>-5</sup>..65504||11||16
 |-
 |Single presicion||float||-3,4&times;10<sup>38</sup>..3,4&times;10<sup>38</sup>||23||32
 |-
 |Double precision||double||-1,7&times;10<sup>308</sup>..1,7&times;10<sup>308</sup>||53||64
 |-
 |Extended precision||На некоторых архитектурах (например в сопроцессоре Intel) long double||-3,4&times;10<sup>4932</sup>..3,4&times;10<sup>4932||65||80
 |}

== Особые значения чисел с плавающей точкой ==
=== Ноль (со знаком) ===
Как уже было оговорено выше, в нормализованной форме числа с плавающей точкой невозможно представить ноль. Поэтому для его представления зарезервированы специальные значения мантиссы и порядка {{---}} число считается нулём, если все его биты, кроме знакового, равны нулю. При этом в зависимости от значения бита знака ноль может быть как положительным, так и отрицательным.  

{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
|-
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
|-
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок
!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
!style="border: none"| 
|-style="text-align: right"
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="border: none"|1,
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: transparent; border: none"|&nbsp;=&nbsp;<tex>\pm0</tex>
|-
|style="border: none"| 
|colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14
|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
|style="border: none"| 
|colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
|}

'''Арифметика нуля со знаком'''
<br/>
Арифметика отрицательного нуля аналогична таковой для любого отрицательного числа и понятна интуитивно. Вот несколько примеров:

* <tex>\frac{-0}{ \left| x \right| } = -0\,\!</tex> (если <tex>x\ne0</tex>)

* <tex>(-0) \cdot (-0) = +0\,\!</tex>

* <tex>\left| x \right| \cdot (-0) = -0\,\!</tex>

* <tex>x + (\pm 0) = x\,\!</tex>

* <tex>(-0) + (-0) = -0\,\!</tex>

* <tex>(+0) + (+0) = +0\,\!</tex>

* <tex>\frac{-0}{-\infty} = +0\,\!</tex>

* <tex>\frac{\left|x\right|}{-0} = -\infty\,\!</tex>  (если <tex>x\ne0</tex>)

=== Неопределенность (''NaN'') ===
'''NaN''' {{---}} это аббревиатура от фразы "''not a number''". NaN является результатом арифметических операций, если во время их выполнения произошла ошибка (примеры см. ниже). В IEEE 754 NaN представлен как число, в котором все двоичные разряды порядка {{---}} единицы, а мантисса не нулевая.

{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
|-
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
|-
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок
!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
!style="border: none"| 
|-style="text-align: right"
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
!style="border: none"|1,
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
!style="background-color: transparent; border: none"|&nbsp;=&nbsp;<tex>NaN</tex>
|-
|style="border: none"| 
|colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14
|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
|style="border: none"| 
|colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
|}

Любая операция с NaN возвращает NaN. При желании в мантиссу можно записывать информацию, которую программа сможет интерпретировать. Стандартом это не оговорено и мантисса чаще всего игнорируется. 

'''Как можно получить NaN?'''
<br/>

* <tex>\infty+(-\infty)= NaN</tex>

* <tex>0\times\infty= NaN</tex>

* <tex>\frac{\pm0}{\pm0} = NaN</tex>

* <tex>\frac{\pm\infty}{\pm\infty} = NaN</tex>

* <tex>\sqrt{x} = NaN</tex>, где <tex>x<0</tex>

Есть и другие способы получения NaN, подробности можно найти по ссылкам в [[#Ссылки|соответствующем разделе]].

По определению NaN ≠ NaN, поэтому, для проверки значения переменной нужно просто сравнить ее с собой.
<!-- TODO: написать про sNaN и qNaN -->


=== Бесконечности ===
В число с плавающей запятой можно записать значение <tex>+\infty</tex> или <tex>-\infty</tex>. Как и нули со знаком, бесконечности позволяют получить хотя бы близкий к правильному результат вычисления в случае переполнения. Согласно стандарту IEEE 754 число с плавающей запятой считается равным бесконечности, если все двоичные разряды его порядка {{---}} единицы, а мантисса равна нулю. Знак бесконечности определяется знаковым битом числа.

{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
|-
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
|-
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок
!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
!style="border: none"| 
|-style="text-align: right"
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
!style="border: none"|1,
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: transparent; border: none"|&nbsp;=&nbsp;<tex>\pm\infty</tex>
|-
|style="border: none"| 
|colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14
|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
|style="border: none"| 
|colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
|}

Получить бесконечность можно при переполнении и при делении ненулевого числа на ноль. При этом 
<tex dpi = "180">
\frac{x}{0}
</tex>
<tex>=
\begin{cases}
+\infty,&\text{если $x>0$;}\\
NaN,&\text{если $x=0$;}\\
-\infty,&\text{если $x<0$.}
\end{cases}

</tex>

=== Денормализованные числа ===
'''Денормализованные числа''' (англ. ''denormalized/subnormal numbers'') - это способ увеличить количество представимых числом с плавающей запятой значений около нуля, дабы повысить точность вычислений. Каждое значение денормализованного числа меньше самого маленького '''нормализованного''' ("обычного") значения числа с плавающей запятой.
Согласно стандарту, если порядок равен своему минимальному значению (все его биты {{---}} нули, а истинное значение порядка равно его сдвигу) и все биты мантиссы равны нулю, то это <tex>\pm0</tex>. Если же мантисса не равна нулю, то это число с порядком, на единицу большим минимального (все биты порядка, кроме младшего {{---}} нули) и данной мантиссой, '''целая часть которой считается равной нулю, а не единице'''.

То есть число с плавающей запятой, при учете вышесказанного, можно задать следующим образом:
<br/>
* <tex>(-1)^s\times1,M\times2^E</tex>, если <tex>E_{min} \le E \le E_{max}</tex> (''нормализованное число'')

* <tex>(-1)^s\times0,M\times2^{E_{min}}</tex>, если <tex>E=E_{min}-1</tex> (''денормализованное число'')

Где <tex>s</tex> {{---}} бит знака, <tex>M</tex> {{---}} последовательность битов мантиссы, <tex>E</tex> {{---}} значение порядка (с учетом сдвига), <tex>E_{min}</tex> {{---}} минимальное значение порядка, используемое для записи чисел (1 {{---}} ''сдвиг'') , <tex>E_{min}-1</tex> {{---}} минимальное значение порядка, которое он в принципе может принять (все биты нули, 0 {{---}} ''сдвиг'').

Хоть денормализованные числа и позволяют бороться с погрешностями и обрабатывать очень маленькие значения, за эти возможности приходится дорого платить. Ввиду сложности денормализованные числа крайне редко реализуют на аппаратном уровне - вместо этого используются программные реализации, работающие значительно медленнее. <br/>

В современных процессорах обработка денормализованных чисел происходит в десятки раз медленнее, чем обработка нормализованных чисел. Ниже приведена часть таблицы из статьи Isaac Dooley, Laxmikant Kale "Quantifying the Interference Caused by Subnormal Floating-Point Values"<ref>[http://charm.cs.uiuc.edu/papers/SubnormalOSIHPA06.pdf Статья Isaac Dooley, Laxmikant Kale "Quantifying the Interference Caused by Subnormal Floating-Point Values" ''(англ.)'']</ref>

{| class="wikitable"
 !Производитель||Процессор||Замедление (разы)
 |-
 |IBM||PowerPC 970||2,4
 |-
 |AMD||Athlon||6,0
 |-
 |Intel||Pentium 3||15,8
 |-
 |AMD||Athlon 64||21,4
 |-
 |AMD||Opteron64||23,8
 |-
 |Intel||Core Duo||44,2
 |-
 |Intel||P4 Xeon||97,9
 |-
 |Intel||Pentium 4||131,0
 |-
 |Intel||Itanium 2||183,2
 |-
 |Sun||UltraSPARC IV||520,0
 |}

В таблице приведены наихудшие результаты тестирования среди всех использованных компиляторов (gcc, icc, xlc) со всеми доступными флагами оптимизации. Исследователи утверждают, что различие среднего случая с худшим незначительно.

Поскольку в стандартных форматах (одинарной и двойной точности) денормализованные числа получаются действительно ''очень'' маленькими и практически никак не влияют на результат некоторых вычислений (при этом заметно замедляя их скорость), то иногда они просто игнорируются. При этом используются два простых механизма, получивших называние ''Flush-to-zero'' (''FTZ'') и ''Denormals-are-zero'' (''DAZ''). Первый механизм заставляет операции возвращать ноль, как только становится ясно, что результат будет денормализованным. Второй механизм заставляет операции рассматривать поступающие на вход денормализованные числа как нули. <br/>
Ярким  примером подобного "отсечения" денормализованных чисел могут послужить видеокарты, в которых резкое падение скорости вычислений в сотню раз недопустимо. Так же, например, в областях, связанных с обработкой звука, нет нужды в очень маленьких числах, поскольку они представляют столь тихий звук, что его не способно воспринять человеческое ухо.

В версии стандарта IEEE 754-2008 денормализованные числа (''denormal'' или ''denormalized numbers'') были переименованы в ''subnormal numbers'', то есть в числа, меньшие "нормальных". Поэтому их иногда еще называют "'''субнормальными'''".


== Действия с числами с плавающей запятой ==
=== Умножение и деление ===
Самыми простыми для восприятия арифметическими операциями над числами с плавающей запятой являются умножение и деление. Для того, чтобы умножить два вещественных числа в нормализованной форме необходимо перемножить их мантиссы, сложить порядки, округлить и нормализовать полученное число.
<!-- 
Пример:

   e=<tex>3</tex>;  m=<tex>4.734612</tex>        (порядок и мантисса первого числа)
 × e=<tex>5</tex>;  m=<tex>5.417242</tex>        (порядок и мантисса второго числа)
 -----------------------
   e=<tex>8</tex>;  m=<tex>25.648538980104</tex> (произведение как оно есть)
   e=<tex>8</tex>;  m=<tex>25.64854</tex>        (мантисса после округления)
   e=<tex>9</tex>;  m=<tex>2.564854</tex>        (нормализованная форма)
-->

Соответственно, чтобы произвести деление нужно разделить мантиссу делимого на мантиссу делителя и вычесть из порядка делимого порядок делителя. Затем точно так же округлить мантиссу результата и привести его к нормализованной форме.
<!-- Всё это круто, но было бы еще круче написать, как оно на реальном железе умножается и делится. В двоичной системе, с учетом округления и всеми делами. Но это, пожалуй, будет уж слишком мощно для формата "вики-конспекта". лучше куда-нибудь сюда добавить внешнюю ссылку -->

=== Сложение и вычитание ===
Идея метода сложения и вычитания чисел с плавающей точкой заключается в приведении их к одному порядку. Сначала выбирается оптимальный порядок, затем мантиссы обоих чисел представляются в соответствии с новым порядком, затем над ними производится сложение/вычитание, мантисса результата округляется и, если нужно, результат приводится к нормализированной форме. Пример:

 Выполним сложение чисел с плавающей точкой и смещенным порядком в 32-х разрядном формате <tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex> и <tex>405,875</tex>.
 Переведем <tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex> в машинный вид. Для этого сначала переведем его в двоичную систему счисления.
 <tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex> <tex>=</tex> <tex>-269{,}21875</tex>
 <tex>-269{,}21875</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>-100001101{,}00111</tex><sub><tex>2</tex></sub>

 Нормализуем полученное двоичное число по правилам машинной арифметики.
 <tex>-100001101{,}00111</tex> <tex>=</tex> <tex>-1{,}0000110100111</tex><tex> \times</tex> <tex>10</tex><sup><tex>1000</tex></sup>

 Найдем смещенный порядок. Так как в условии говорится о 32-разрядном представлении, то смещение порядка равно <tex>127</tex><sub><tex>10</tex></sub>.
 <tex>E</tex> <tex>=</tex> <tex>8</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>+</tex> <tex>127</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>1000</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>+</tex> <tex>1111111</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>10000111</tex><sub><tex>2</tex></sub>

 Число отрицательное, следовательно, в бите знака будет стоять единица.

 Итак, первое число в машинном 32-разрядном представлении с плавающей точкой будет иметь вид:
 <tex>1</tex><strong>10000111</strong><tex>00001101001110000000000</tex> (жирным шрифтом выделен порядок числа, длина мантиссы {{---}} 23 бита).

 Переведем второе число в машинный вид, совершая те же действия.

 <tex>405,87510</tex> = <tex>110010101</tex>,<tex>111000000000011010</tex>...<sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>1,10010101111000000000011010</tex>... &times; <tex>10</tex><sup><tex>1000</tex></sup>
 В качестве мантиссы будут сохранены первые <tex>23</tex> бита после запятой т.е. <tex>10010101111000000000011</tex>.
 Очевидно, что порядок со смещением у второго числа будет таким же, как и у первого.

 Второе число положительное, следовательно, бит знака будет содержать ноль.

 Итак в машинном 32-разрядном представлении второе число будет иметь вид:

 <tex>0</tex><strong>10000111</strong><tex>10010101111000000000011</tex>
 Далее в арифметических операциях будет использоваться число <tex>110010101</tex>,<tex>111</tex><sub><tex>2</tex></sub>=<tex>405{,}875</tex><sub><tex>10</tex></sub>, а не <tex>110010101{,}111000000000011</tex><sub><tex>2</tex></sub>=<tex>405{,}87510</tex><sub><tex>10</tex></sub> видимо для упрощения(хотя это не совсем корректно).

 Порядки у слагаемых равны, поэтому пропускаем шаг выравнивания порядков и проводим вычитание мантисс по правилам двоичной арифметики. В 
 компьютере этим занимается арифметический сопроцессор, встроенный в центральный процессор машины.

 <tex>1</tex>,<tex>1001010111100</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>-</tex> <tex>1{,}0000110100111</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>0{,}1000100010101</tex><sub><tex>2</tex></sub>

 Приводим полученный результат к машинному виду. Для этого мы должны внести поправку в порядок {{---}} уменьшить его на единицу.
 Знак результата {{---}}  положительный, следовательно, бит знака содержит ноль.

 <tex>0</tex><strong>10000110</strong><tex>00010001010100000000000</tex>

 Проверим правильность наших вычислений. Переведем результат в десятичное представление.

 Найдем реальный порядок результата, вычтя из него значение смещения <tex>127</tex><sub><tex>10</tex></sub>.

 <tex>E</tex> <tex>=</tex> <tex>10000110</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>-</tex> <tex>1111111</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>134</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>-</tex> <tex>127</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>7</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>111</tex><sub><tex>2</tex></sub>

 Следовательно, число результата будет иметь вид:
 <tex>A</tex> <tex>=</tex> <tex>1{,}000100010101</tex> <tex>\times</tex> <tex>10</tex><sup><tex>111</tex></sup> <tex>=</tex> <tex>10001000</tex>,<tex>10101</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>136{,}65625</tex><sub><tex>10</tex></sub>

 Результат наших вычислений верен, так как <tex>405{,}875</tex> - <tex>269{,}21875</tex> <tex>=</tex> <tex>136{,}65625</tex>.

=== Алгоритм получения представления вещественного числа в памяти ЭВМ ===

<P>Покажем преобразование действительного числа для представления его в 

памяти ЭВМ на примере величины типа Double.</P>

<P>Как видно из таблицы, величина этого типа занимает в памяти <tex>8</tex> байт. На 

рисунке ниже показано, как здесь представлены поля мантиссы и порядка (нумерация битов осуществляется справа налево):</P>

{|class="wikitable"
 !Знак || Смещённый порядок || Мантисса
 |-
 |63 || 62..52 || 51..0
 |}


<P>Можно заметить, что старший бит, отведенный под мантиссу, имеет номер 

<tex>51</tex>, т.е. мантисса занимает младшие <tex>52</tex> бита. Черта указывает здесь на 

положение двоичной запятой. Перед запятой должен стоять бит целой части 

мантиссы, но поскольку она всегда равна <tex>1</tex>, здесь данный бит не требуется и 

соответствующий разряд отсутствует в памяти (но он подразумевается). 

Значение порядка хранится здесь не как целое число, представленное в 

дополнительном коде. Для упрощения вычислений и сравнения действительных 

чисел значение порядка в ЭВМ хранится в виде <strong>смещенного числа</strong>, т.е. к 

настоящему значению порядка перед записью его в память прибавляется 

смещение. Смещение выбирается так, чтобы минимальному значению порядка 

соответствовал нуль. Например, для типа Double порядок занимает <tex>11</tex> бит и 

имеет диапазон от <tex>2</tex><sup><tex>-1023</tex></sup> до <tex>2</tex><sup><tex>1023</tex></sup>, поэтому смещение равно <tex>1023</tex><sub>(<tex>10</tex>)</sub> <tex>=</tex> 

<tex>1111111111</tex><sub>(<tex>2</tex>)</sub>. Наконец, бит с номером <tex>63</tex> указывает на знак числа.</P>

<P>Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий <strong>алгоритм</strong> для 

получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:</P>

<OL>

<LI>перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;</LI>

<LI>нормализовать двоичное число, т.е. записать в виде <I>M</I>&nbsp;&times;&nbsp;2<I><sup>p</sup></I>, где <I>M</I>&nbsp;&#151; 

мантисса (ее целая часть равна <tex>1</tex><sub>(<tex>2</tex>)</sub>) и <I>p</I>&nbsp;&#151; порядок, записанный в 

десятичной системе счисления;</LI>

<LI>прибавить к порядку смещение и перевести смещенный порядок в двоичную 

систему счисления;</LI>

<LI>учитывая знак заданного числа (0&nbsp;&#151; положительное; 1&nbsp;&#151; отрицательное), 

выписать его представление в памяти ЭВМ.</LI>

</OL>

<P><B>Пример.</B> Запишем код числа <tex>-312</tex>,<tex>3125</tex>.</P>

<OL>

<LI>Двоичная запись модуля этого числа имеет вид <tex>100111000{,}0101</tex>.</LI>

<LI>Имеем <tex>100111000{,}0101</tex> <tex>=</tex> 

<tex>1{,}001110000101</tex><tex>\times</tex><tex>2</tex><sup><tex>8</tex></sup>.</LI>

<LI>Получаем смещенный порядок <tex>8</tex> <tex>+</tex> <tex>1023</tex> <tex>=</tex> <tex>1031</tex>. Далее имеем 

<tex>1031</tex><sub>(<tex>10</tex>)</sub> <tex>=</tex> <tex>10000000111</tex><sub>(<tex>2</tex>)</sub>.</LI>

<LI>Окончательно

{|class="wikitable"
 | 1 || 10000000111 || 0011100001010000000000000000000000000000000000000000
 |-
 | 63 || 62..52 || 51..0
 |}


</LI>

</OL>

<P>Очевидно, что более компактно полученный код стоит записать следующим 

образом: C073850000000000<sub>(16)</sub>.</P>

<P>Другой пример иллюстрирует обратный переход от кода действительного 

числа к самому числу.</P>

<P><B>Пример.</B> Пусть дан код 3FEC600000000000<sub>(16)</sub> или

<OL>

{|class="wikitable"
 | 0 || 01111111110 || 1100011000000000000000000000000000000000000000000000
 |-
 | 63 || 62..52 || 51..0
 |}



<LI>Прежде всего замечаем, что это код положительного числа, поскольку в 

разряде с номером <tex>63</tex> записан нуль. Получим порядок этого числа: 

<tex>01111111110</tex><sub>(<tex>2</tex>)</sub> <tex>=</tex> <tex>1022</tex><sub>(<tex>10</tex>)</sub>; <tex>1022</tex> <tex>-</tex> <tex>1023</tex> <tex>=</tex> <tex>-1</tex>.</LI>

<LI>Число имеет вид <tex>1</tex>,<tex>1100011</tex>&nbsp;&times;&nbsp;<tex>2</tex><sup><tex>-1</tex></sup> или 

<tex>0</tex>,<tex>11100011</tex>.</LI>

<LI>Переводом в десятичную систему счисления получаем <tex>0</tex>,<tex>88671875</tex>.</LI>


</OL>

== См. также ==
* [[Представление символов, таблицы кодировок]]
* [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код]]

== Примечания ==
<references/>

== Ссылки ==
=== Использованные материалы ===
'''На русском'''
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C Википедия {{---}} Экспоненциальная запись]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D1%81_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%BE%D0%B9 Википедия {{---}} Число с плавающей запятой]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BD%D0%BE%D0%BB%D1%8C Википедия {{---}} Отрицательный и положительный ноль]
*[http://habrahabr.ru/blogs/cpp/112953/ Хабрахабр {{---}} статья пользователя Yruslan "Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой"]
*[http://www.sgu.ru/prcnit/teach/3.php Статья Лапшевой Е.Е. "Машинная арифметика с вещественными числами"]

'''На английском'''
*[http://en.wikipedia.org/wiki/NaN Wikipedia {{---}} NaN]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point Wikipedia {{---}} Floating point]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-2008 Wikipedia {{---}} IEEE 754-2008]

=== Что стоит прочесть ===
* [http://grouper.ieee.org/groups/754 Материалы по стандарту IEEE 754 ''(англ.)'']
* [http://softelectro.ru/ieee754.html Русский перевод стандарта IEEE 754]




[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Представление информации]]