Редактирование: Представление вещественных чисел

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов представления действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений, его можно считать аналогом экспоненциальной записи чисел, но только в памяти компьютера.
+
Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой.
  
Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые '''знак''' (англ.'' sign''), '''порядок''' (англ. ''exponent'') и '''мантиссу''' (англ. ''mantis''). В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа (<tex>0</tex> {{---}} если число положительное, <tex>1</tex> {{---}} если число отрицательное). При этом порядок записывается как целое число в [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|коде со сдвигом]], а мантисса {{---}} в [[#Нормальная и нормализованная форма|нормализованном виде]], своей дробной частью в двоичной системе счисления. Вот пример такого числа из <tex>16</tex> двоичных разрядов:
+
{{Определение
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
+
|definition=
|-
+
'''Плавающая запятая''' — форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Наиболее часто используемое представление утверждено в стандарте IEEE 754.
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
+
}}
|-
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
 
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок
 
!colspan=10 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
 
|-style="text-align: right"
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
<!-- 8 бит -->
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
|-
 
|style="border: none"|
 
|colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14
 
|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
 
|colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
 
|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
|}
 
 
 
Знак {{---}} один бит, указывающий знак всего числа с плавающей точкой. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:
 
 
 
<tex>(-1)^S \times M \times B^E</tex>, где <tex>S</tex> {{---}} знак, <tex>B</tex> {{---}} основание, <tex>E</tex> {{---}} порядок, а <tex>M</tex> {{---}} мантисса.
 
Десятичное число, записываемое как <tex> ReE</tex>, где <tex>R</tex> {{---}} число в полуинтервале <tex>[1; 10)</tex>, <tex>E</tex> {{---}} степень, в которой стоит множитель <tex>10</tex>; в нормализированной форме модуль <tex>R</tex> будет являться мантиссой, а <tex>E</tex> {{---}} порядком, а <tex>S</tex> будет равно <tex>1</tex> тогда и только тогда, когда <tex>R</tex> принимает отрицательное значение.
 
Например, в числе <tex>-2435e9</tex>
 
* <tex>S</tex> <tex>=</tex> <tex>1</tex>
 
* <tex>B</tex> <tex>=</tex> <tex>10</tex>
 
* <tex>M</tex> <tex>=</tex> <tex>2435</tex>
 
* <tex>E</tex> <tex>=</tex> <tex>9</tex>
 
 
 
Порядок также иногда называют '''экспонентой''' или просто '''показателем степени'''.
 
 
 
<!-- TODO:Абзац ниже нужно перенести в раздел с проблемами чисел -->
 
 
При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями.
 
При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями.
  
Более простым вариантом представления вещественных чисел является вариант с фиксированной точкой, когда целая и вещественная части хранятся отдельно. Например, на целую часть отводится всегда <tex>X</tex> бит и на дробную отводится всегда <tex>Y</tex> бит. Такой способ в архитектурах процессоров не присутствует. Отдаётся предпочтение числам с плавающей запятой, как компромиссу между диапазоном допустимых значений и точностью.
+
В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде последовательности битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа, 0 - если число положительное, 1 - если число отрицательное.
  
== Нормальная и нормализованная форма ==
+
=== Нормальная форма и нормализованная форма ===
  
'''Нормальной формой''' (англ. ''normal form'') числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале <tex>[0; 1)</tex>. Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, <tex>0{,}0001</tex> можно записать в 4 формах — <tex>0{,}0001 \times 10</tex><sup><tex>0</tex></sup>, <tex>0{,}001 \times 10</tex><sup><tex>−1</tex></sup>, <tex>0{,}01 \times 10</tex><sup><tex>−2</tex></sup>, <tex>0{,}1 \times 10</tex><sup><tex>−3</tex></sup>), поэтому распространена также другая форма записи — '''нормализованная''' (англ. ''normalized''), в которой мантисса десятичного числа принимает значения от <tex>1</tex> (включительно) до <tex>10</tex> (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от <tex>1</tex> (включительно) до <tex>2</tex> (не включительно). То есть в мантиссе слева от запятой до применения порядка находится ровно один знак. В такой форме любое число (кроме <tex>0</tex>) записывается единственным образом. Ноль же представить таким образом невозможно, поэтому стандарт предусматривает специальную последовательность битов для задания числа <tex>0</tex> (а заодно и некоторых других [[#Особые значения чисел с плавающей точкой|полезных чисел]], таких как <tex>-\infty</tex> и <tex>+\infty</tex>).
+
''Нормальной формой'' числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) находится на полуинтервале [0; 1). Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах — 0,0001×10<sup>0</sup>, 0,001×10<sup>−1</sup>, 0,01×10<sup>−2</sup>, 0,1×10<sup>−3</sup>), поэтому распространена также другая форма записи — нормализованная, в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно). В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Недостаток заключается в том, что в таком виде невозможно представить 0, поэтому представление чисел в информатике предусматривает специальный признак (бит) для числа 0.
Так как старший двоичный разряд (целая часть) мантиссы вещественного числа в нормализованном виде всегда равен «<tex>1</tex>», то его можно не записывать, сэкономив таким образом один бит, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем <tex>2</tex> (в троичной, четверичной и др.), этого замечательного свойства нет (ведь целая часть там может быть не только единицей).
+
Так как старший разряд (целая часть числа) мантиссы двоичного числа (кроме 0) в нормализованном виде равен «1», то при записи мантиссы числа в эвм старший разряд можно не записывать, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 (в троичной, четверичной и др.), этого свойства нет.
  
== Типы чисел с плавающей точкой (по IEEE 754) ==
+
=== Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой ===
=== Число половинной точности (''Binary16'', ''Half precision'') ===
+
Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. Пара значений показателя зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся значения NaN (Not a Number, не число) и +/-INF (Infinity, бесконечность), получающихся в результате операций типа деления на ноль нуля, положительных и отрицательных чисел.
  
'''Число́ полови́нной то́чности'''  — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину машинного слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>16</tex> бит или <tex>2</tex> байта). В силу невысокой точности этот формат представления чисел с плавающей запятой обычно используется в видеокартах, где небольшой размер и высокая скорость работы важнее точности вычислений.
+
'''Число́ полови́нной то́чности'''  — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину компьютерного слова (в случае 32-битного компьютера — 16 бит или 2 байта). Диапазон значений ± 2<sup>−24</sup>(5.96E-8) — 65504. Приблизительная точность — 3 знака (10 двоичных знаков, log<sub>10</sub>(2<sup>11</sup>)).
  
 
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
 
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
Строка 67: Строка 24:
 
|-
 
|-
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок
+
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Экспо-<br />нента
!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
+
!colspan=10 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
 
|-style="text-align: right"
 
|-style="text-align: right"
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
Строка 76: Строка 33:
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="border: none"|1,
 
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 +
<!-- 8 бит -->
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
Строка 88: Строка 45:
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
|-
 
|-
|style="border: none"|
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|15
|colspan=3 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14
+
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|8
|colspan=2 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|7
|style="border: none"|
 
|colspan=6 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
 
 
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
|}
 
|}
Порядок записан [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|со сдвигом]] '''<tex>-15</tex>'''. То есть чтобы получить актуально значение порядка нужно вычесть из него сдвиг. Сдвиг можно получить по формуле <tex>2^{b-1}-1</tex>, где <tex>b</tex> {{---}} число бит, отведенное на хранение порядка (в случае числа половинной точности <tex>b=5</tex>).
 
  
'''Ограничения точности'''
+
'''Число́ одина́рной то́чности''' — компьютерный формат представления чисел, занимающий в компьютерная памяти одну ячейку (машинное слово; в случае 32-битного компьютера — 32 бита или 4 байта). Как правило, обозначает формат числа с плавающей точкой стандарта IEEE 754.
* Целые от нуля до <tex>2048</tex> передаются как есть.
 
* Целые от <tex>2049</tex> до <tex>4096</tex> округляются к ближайшему чётному целому.
 
* Целые от <tex>4097</tex> до <tex>8192</tex> округляются до ближайшего целого, делящегося нацело на четыре.
 
* Целые от <tex>8193</tex> до <tex>16384</tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на восемь.
 
* Целые от <tex>16385</tex> до <tex>32768</tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на шестнадцать.
 
* Целые от <tex>32769</tex> до <tex>65535</tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на тридцать два.
 
 
 
 
 
=== Число одинарной точности (''Binary32'', ''Single precision'', ''float'') ===
 
 
 
'''Число́ одина́рной то́чности''' — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти одно машинное слово (в случае 32-битного компьютера — <tex>32</tex> бита или <tex>4</tex> байта). Используется для работы с вещественными числами везде, где не нужна очень высокая точность.
 
  
 
{|class="wikitable" style="background-color: transparent; border-collapse: collapse; border: none"
 
{|class="wikitable" style="background-color: transparent; border-collapse: collapse; border: none"
Строка 115: Строка 58:
 
|-
 
|-
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
!colspan=8 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок (8 бит)
+
!colspan=8 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Экспонента
!colspan=24 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса (23+1 бита)
+
!colspan=23 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
 
|-style="text-align: right"
 
|-style="text-align: right"
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 +
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 +
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 +
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 +
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 +
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 +
<!-- 24 бита -->
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="border: none"|1,
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 +
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|1
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
Строка 135: Строка 78:
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 +
<!-- 16 бит -->
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
Строка 143: Строка 87:
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 +
<!-- 8 бит -->
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
Строка 153: Строка 98:
 
!style="background-color: transparent; border: none"|
 
!style="background-color: transparent; border: none"|
 
|-
 
|-
|style="border: none"|  
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|31
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|30
+
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|24
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|23
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|23
|style="border: none"|  
+
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|16
|colspan=20 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|22
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|15
|colspan=style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
+
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|8
 +
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|7
 +
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
|}
 
|}
Порядок записан со сдвигом '''<tex>-127</tex>'''.
 
 
 
=== Число двойной точности (''Binary64'', ''Double precision'', ''double'') ===
 
  
 
'''Число́ двойно́й то́чности''' —  
 
'''Число́ двойно́й то́чности''' —  
компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти два машинных слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>64</tex> бита или <tex>8</tex> байт). Часто используется благодаря своей неплохой точности, даже несмотря на двойной расход памяти и сетевого трафика относительно чисел одинарной точности.
+
компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти две последовательных ячейки (компьютерных слова; в случае 32-битного компьютера — 64 бита или 8 байт). Как правило, обозначает формат числа с плавающей запятой стандарта IEEE 754.
  
 
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
 
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
Строка 173: Строка 116:
 
|-
 
|-
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
!colspan=11 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок<br />(11 бит)
+
!colspan=11 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|(11 бит)<br />Экспонента
!colspan=53 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса<br />(52+1 бит)
+
!colspan=52 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|(52 бита)<br />Мантисса
 
|-style="text-align: right"
 
|-style="text-align: right"
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
+
<!-- 56 бит -->
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="border: none"|1,
+
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
<!-- 48 бит -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
<!-- 40 бит -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
<!-- 32 бита -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
<!-- 24 бита -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
<!-- 16 бит -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
<!-- 8 бит -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
+
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
 +
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
 +
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
 +
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
 +
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
 +
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
 +
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|&nbsp;
 
|-
 
|-
|style="border: none"|
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|63
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|62
+
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|56
|colspan=style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|52
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|55
|style="border: none"|
+
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|48
|colspan=48 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|51
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|47
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
+
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|40
|}
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|39
Порядок записан со сдвигом '''<tex>-1023</tex>'''.
+
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|32
 
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|31
=== Число четверной точности (''Binary128'', ''Quadruple precision'') ===
+
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|24
 
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|23
'''Число́ четверно́й то́чности''' —
+
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|16
компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти четыре машинных слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>128</tex> бит или <tex>16</tex> байт). Используется в случае необходимости крайне высокой точности.
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|15
 
+
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|8
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
+
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|7
|-
+
|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
!colspan=7 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
 
|-
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
 
!colspan=15 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок<br />(15 бит)
 
!colspan=47 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса<br />(112+1 бит)
 
|-style="text-align: right"
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="border: none"|1,
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
|-
 
|style="border: none"|  
 
|colspan=style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|126
 
|colspan=style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|112
 
|style="border: none"|
 
|colspan=38 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|111
 
|}
 
<br />
 
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
 
|-
 
!colspan=66 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса<br />(112+1 бит)
 
|-style="text-align: right"
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
|-
 
|colspan=66  style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
|}
 
Порядок записан со сдвигом '''<tex>-16383</tex>'''.
 
 
 
Обычно этот формат реализуется программно, случаи аппаратной реализации крайне редки. Также не гарантируется поддержка этого типа в языках программирования, хотя кое-где она и реализована (например, компилятор gcc для архитектуры x86 позволяет использовать тип __float128, являющийся программной реализацией числа с четверной точностью).
 
В совокупности эти факторы делают Quadruple весьма экзотичным и редко встречающимся форматом чисел с плавающей запятой.
 
 
 
 
 
=== Диапазон значений чисел с плавающей запятой ===
 
Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. Пара значений показателя (когда все разряды нули и когда все разряды единицы) зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся ноль, значения NaN (Not a Number, "не число", получается как результат операций типа деления нуля на ноль) и <tex>\pm\infty</tex>.
 
 
 
Данная таблица только лишь примерно указывает границы допустимых значений, без учета возрастающей погрешности с ростом абсолютного значения и существования [[#Денормализованные числа|денормализованных чисел]].
 
 
 
<!-- TODO: Выкинуть нафиг эту бессмысленную таблицу, переписать весь раздел, привести распределение значений и формулу для подсчета их количества -->
 
{| class="wikitable"
 
!Название в IEEE 754|| Название типа переменной в Си || Диапазон значений || Бит в мантиссе || Бит на переменную
 
|-
 
|Half precision||-||6,10&times;10<sup>-5</sup>..65504||11||16
 
|-
 
|Single presicion||float||-3,4&times;10<sup>38</sup>..3,4&times;10<sup>38</sup>||23||32
 
|-
 
|Double precision||double||-1,7&times;10<sup>308</sup>..1,7&times;10<sup>308</sup>||53||64
 
|-
 
|Extended precision||На некоторых архитектурах (например в сопроцессоре Intel) long double||-3,4&times;10<sup>4932</sup>..3,4&times;10<sup>4932||65||80
 
|}
 
 
 
== Особые значения чисел с плавающей точкой ==
 
=== Ноль (со знаком) ===
 
Как уже было оговорено выше, в нормализованной форме числа с плавающей точкой невозможно представить ноль. Поэтому для его представления зарезервированы специальные значения мантиссы и порядка {{---}} число считается нулём, если все его биты, кроме знакового, равны нулю. При этом в зависимости от значения бита знака ноль может быть как положительным, так и отрицательным. 
 
 
 
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
 
|-
 
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
 
|-
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
 
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок
 
!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
 
!style="border: none"|
 
|-style="text-align: right"
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
 
!style="border: none"|1,
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: transparent; border: none"|&nbsp;=&nbsp;<tex>\pm0</tex>
 
|-
 
|style="border: none"|  
 
|colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14
 
|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
 
|style="border: none"|
 
|colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
 
|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
 
|}
 
|}
  
'''Арифметика нуля со знаком'''
+
===Cсылки===
<br/>
+
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D1%81_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%BE%D0%B9 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_с_плавающей_запятой]
Арифметика отрицательного нуля аналогична таковой для любого отрицательного числа и понятна интуитивно. Вот несколько примеров:
+
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE#.D0.9F.D1.80.D0.B5.D0.B4.D1.81.D1.82.D0.B0.D0.B2.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB_.D0.B2_.D0.BF.D0.B0.D0.BC.D1.8F.D1.82.D0.B8_.D0.BA.D0.BE.D0.BC.D0.BF.D1.8C.D1.8E.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B0 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число]
 
+
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_половинной_точности]
* <tex>\frac{-0}{ \left| x \right| } = -0\,\!</tex> (если <tex>x\ne0</tex>)
+
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_одинарной_точности]
 
 
* <tex>(-0) \cdot (-0) = +0\,\!</tex>
 
 
 
* <tex>\left| x \right| \cdot (-0) = -0\,\!</tex>
 
 
 
* <tex>x + (\pm 0) = x\,\!</tex>
 
 
 
* <tex>(-0) + (-0) = -0\,\!</tex>
 
 
 
* <tex>(+0) + (+0) = +0\,\!</tex>
 
 
 
* <tex>\frac{-0}{-\infty} = +0\,\!</tex>
 
 
 
* <tex>\frac{\left|x\right|}{-0} = -\infty\,\!</tex>  (если <tex>x\ne0</tex>)
 
 
 
=== Неопределенность (''NaN'') ===
 
'''NaN''' {{---}} это аббревиатура от фразы "''not a number''". NaN является результатом арифметических операций, если во время их выполнения произошла ошибка (примеры см. ниже). В IEEE 754 NaN представлен как число, в котором все двоичные разряды порядка {{---}} единицы, а мантисса не нулевая.
 
 
 
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
 
|-
 
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
 
|-
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
 
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок
 
!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
 
!style="border: none"|
 
|-style="text-align: right"
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 
!style="border: none"|1,
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
 
!style="background-color: transparent; border: none"|&nbsp;=&nbsp;<tex>NaN</tex>
 
|-
 
|style="border: none"|
 
|colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14
 
|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
 
|style="border: none"|
 
|colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
 
|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
|}
 
 
 
Любая операция с NaN возвращает NaN. При желании в мантиссу можно записывать информацию, которую программа сможет интерпретировать. Стандартом это не оговорено и мантисса чаще всего игнорируется.
 
 
 
'''Как можно получить NaN?'''
 
<br/>
 
 
 
* <tex>\infty+(-\infty)= NaN</tex>
 
 
 
* <tex>0\times\infty= NaN</tex>
 
 
 
* <tex>\frac{\pm0}{\pm0} = NaN</tex>
 
 
 
* <tex>\frac{\pm\infty}{\pm\infty} = NaN</tex>
 
 
 
* <tex>\sqrt{x} = NaN</tex>, где <tex>x<0</tex>
 
 
 
Есть и другие способы получения NaN, подробности можно найти по ссылкам в [[#Ссылки|соответствующем разделе]].
 
 
 
По определению NaN ≠ NaN, поэтому, для проверки значения переменной нужно просто сравнить ее с собой.
 
<!-- TODO: написать про sNaN и qNaN -->
 
 
 
 
 
=== Бесконечности ===
 
В число с плавающей запятой можно записать значение <tex>+\infty</tex> или <tex>-\infty</tex>. Как и нули со знаком, бесконечности позволяют получить хотя бы близкий к правильному результат вычисления в случае переполнения. Согласно стандарту IEEE 754 число с плавающей запятой считается равным бесконечности, если все двоичные разряды его порядка {{---}} единицы, а мантисса равна нулю. Знак бесконечности определяется знаковым битом числа.
 
 
 
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
 
|-
 
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
 
|-
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
 
!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок
 
!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса
 
!style="border: none"|
 
|-style="text-align: right"
 
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1
 
!style="border: none"|1,
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
 
!style="background-color: transparent; border: none"|&nbsp;=&nbsp;<tex>\pm\infty</tex>
 
|-
 
|style="border: none"|
 
|colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14
 
|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
 
|style="border: none"|
 
|colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9
 
|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
 
|}
 
 
 
Получить бесконечность можно при переполнении и при делении ненулевого числа на ноль. При этом
 
<tex dpi = "180">
 
\frac{x}{0}
 
</tex>
 
<tex>=
 
\begin{cases}
 
+\infty,&\text{если $x>0$;}\\
 
NaN,&\text{если $x=0$;}\\
 
-\infty,&\text{если $x<0$.}
 
\end{cases}
 
 
 
</tex>
 
 
 
=== Денормализованные числа ===
 
'''Денормализованные числа''' (англ. ''denormalized/subnormal numbers'') - это способ увеличить количество представимых числом с плавающей запятой значений около нуля, дабы повысить точность вычислений. Каждое значение денормализованного числа меньше самого маленького '''нормализованного''' ("обычного") значения числа с плавающей запятой.
 
Согласно стандарту, если порядок равен своему минимальному значению (все его биты {{---}} нули, а истинное значение порядка равно его сдвигу) и все биты мантиссы равны нулю, то это <tex>\pm0</tex>. Если же мантисса не равна нулю, то это число с порядком, на единицу большим минимального (все биты порядка, кроме младшего {{---}} нули) и данной мантиссой, '''целая часть которой считается равной нулю, а не единице'''.
 
 
 
То есть число с плавающей запятой, при учете вышесказанного, можно задать следующим образом:
 
<br/>
 
* <tex>(-1)^s\times1,M\times2^E</tex>, если <tex>E_{min} \le E \le E_{max}</tex> (''нормализованное число'')
 
 
 
* <tex>(-1)^s\times0,M\times2^{E_{min}}</tex>, если <tex>E=E_{min}-1</tex> (''денормализованное число'')
 
 
 
Где <tex>s</tex> {{---}} бит знака, <tex>M</tex> {{---}} последовательность битов мантиссы, <tex>E</tex> {{---}} значение порядка (с учетом сдвига), <tex>E_{min}</tex> {{---}} минимальное значение порядка, используемое для записи чисел (1 {{---}} ''сдвиг'') , <tex>E_{min}-1</tex> {{---}} минимальное значение порядка, которое он в принципе может принять (все биты нули, 0 {{---}} ''сдвиг'').
 
 
 
Хоть денормализованные числа и позволяют бороться с погрешностями и обрабатывать очень маленькие значения, за эти возможности приходится дорого платить. Ввиду сложности денормализованные числа крайне редко реализуют на аппаратном уровне - вместо этого используются программные реализации, работающие значительно медленнее. <br/>
 
 
 
В современных процессорах обработка денормализованных чисел происходит в десятки раз медленнее, чем обработка нормализованных чисел. Ниже приведена часть таблицы из статьи Isaac Dooley, Laxmikant Kale "Quantifying the Interference Caused by Subnormal Floating-Point Values"<ref>[http://charm.cs.uiuc.edu/papers/SubnormalOSIHPA06.pdf Статья Isaac Dooley, Laxmikant Kale "Quantifying the Interference Caused by Subnormal Floating-Point Values" ''(англ.)'']</ref>
 
 
 
{| class="wikitable"
 
!Производитель||Процессор||Замедление (разы)
 
|-
 
|IBM||PowerPC 970||2,4
 
|-
 
|AMD||Athlon||6,0
 
|-
 
|Intel||Pentium 3||15,8
 
|-
 
|AMD||Athlon 64||21,4
 
|-
 
|AMD||Opteron64||23,8
 
|-
 
|Intel||Core Duo||44,2
 
|-
 
|Intel||P4 Xeon||97,9
 
|-
 
|Intel||Pentium 4||131,0
 
|-
 
|Intel||Itanium 2||183,2
 
|-
 
|Sun||UltraSPARC IV||520,0
 
|}
 
 
 
В таблице приведены наихудшие результаты тестирования среди всех использованных компиляторов (gcc, icc, xlc) со всеми доступными флагами оптимизации. Исследователи утверждают, что различие среднего случая с худшим незначительно.
 
 
 
Поскольку в стандартных форматах (одинарной и двойной точности) денормализованные числа получаются действительно ''очень'' маленькими и практически никак не влияют на результат некоторых вычислений (при этом заметно замедляя их скорость), то иногда они просто игнорируются. При этом используются два простых механизма, получивших называние ''Flush-to-zero'' (''FTZ'') и ''Denormals-are-zero'' (''DAZ''). Первый механизм заставляет операции возвращать ноль, как только становится ясно, что результат будет денормализованным. Второй механизм заставляет операции рассматривать поступающие на вход денормализованные числа как нули. <br/>
 
Ярким  примером подобного "отсечения" денормализованных чисел могут послужить видеокарты, в которых резкое падение скорости вычислений в сотню раз недопустимо. Так же, например, в областях, связанных с обработкой звука, нет нужды в очень маленьких числах, поскольку они представляют столь тихий звук, что его не способно воспринять человеческое ухо.
 
 
 
В версии стандарта IEEE 754-2008 денормализованные числа (''denormal'' или ''denormalized numbers'') были переименованы в ''subnormal numbers'', то есть в числа, меньшие "нормальных". Поэтому их иногда еще называют "'''субнормальными'''".
 
 
 
 
 
== Действия с числами с плавающей запятой ==
 
=== Умножение и деление ===
 
Самыми простыми для восприятия арифметическими операциями над числами с плавающей запятой являются умножение и деление. Для того, чтобы умножить два вещественных числа в нормализованной форме необходимо перемножить их мантиссы, сложить порядки, округлить и нормализовать полученное число.
 
<!--
 
Пример:
 
 
 
  e=<tex>3</tex>;  m=<tex>4.734612</tex>        (порядок и мантисса первого числа)
 
× e=<tex>5</tex>;  m=<tex>5.417242</tex>        (порядок и мантисса второго числа)
 
-----------------------
 
  e=<tex>8</tex>;  m=<tex>25.648538980104</tex> (произведение как оно есть)
 
  e=<tex>8</tex>;  m=<tex>25.64854</tex>        (мантисса после округления)
 
  e=<tex>9</tex>;  m=<tex>2.564854</tex>        (нормализованная форма)
 
-->
 
 
 
Соответственно, чтобы произвести деление нужно разделить мантиссу делимого на мантиссу делителя и вычесть из порядка делимого порядок делителя. Затем точно так же округлить мантиссу результата и привести его к нормализованной форме.
 
<!-- Всё это круто, но было бы еще круче написать, как оно на реальном железе умножается и делится. В двоичной системе, с учетом округления и всеми делами. Но это, пожалуй, будет уж слишком мощно для формата "вики-конспекта". лучше куда-нибудь сюда добавить внешнюю ссылку -->
 
 
 
=== Сложение и вычитание ===
 
Идея метода сложения и вычитания чисел с плавающей точкой заключается в приведении их к одному порядку. Сначала выбирается оптимальный порядок, затем мантиссы обоих чисел представляются в соответствии с новым порядком, затем над ними производится сложение/вычитание, мантисса результата округляется и, если нужно, результат приводится к нормализированной форме. Пример:
 
 
 
Выполним сложение чисел с плавающей точкой и смещенным порядком в 32-х разрядном формате <tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex> и <tex>405,875</tex>.
 
Переведем <tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex> в машинный вид. Для этого сначала переведем его в двоичную систему счисления.
 
<tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex> <tex>=</tex> <tex>-269{,}21875</tex>
 
<tex>-269{,}21875</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>-100001101{,}00111</tex><sub><tex>2</tex></sub>
 
 
 
Нормализуем полученное двоичное число по правилам машинной арифметики.
 
<tex>-100001101{,}00111</tex> <tex>=</tex> <tex>-1{,}0000110100111</tex><tex> \times</tex> <tex>10</tex><sup><tex>8</tex></sup>
 
 
 
Найдем смещенный порядок. Так как в условии говорится о 32-разрядном представлении, то смещение порядка равно <tex>127</tex><sub><tex>10</tex></sub>.
 
<tex>E</tex> <tex>=</tex> <tex>8</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>+</tex> <tex>127</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>1000</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>+</tex> <tex>1111111</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>10000111</tex><sub><tex>2</tex></sub>
 
 
 
Число отрицательное, следовательно, в бите знака будет стоять единица.
 
 
 
Итак, первое число в машинном 32-разрядном представлении с плавающей точкой будет иметь вид:
 
<tex>1</tex><strong>10000111</strong><tex>00001101001110000000000</tex> (жирным шрифтом выделен порядок числа, длина мантиссы {{---}} 23 бита).
 
 
 
Переведем второе число в машинный вид, совершая те же действия.
 
 
 
<tex>405,87510</tex> = <tex>110010101</tex>,<tex>111000000000011010</tex>...<sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>1,10010101111000000000011010</tex>... <tex>\times</tex> <tex>10</tex><sup><tex>1000</tex></sup>
 
В качестве мантиссы будут сохранены первые <tex>23</tex> бита после запятой т.е. <tex>10010101111000000000011</tex>.
 
Очевидно, что порядок со смещением у второго числа будет таким же, как и у первого.
 
 
 
Второе число положительное, следовательно, бит знака будет содержать ноль.
 
 
 
Итак в машинном 32-разрядном представлении второе число будет иметь вид:
 
 
 
<tex>0</tex><strong>10000111</strong><tex>10010101111000000000011</tex>
 
Далее в арифметических операциях будет использоваться число <tex>110010101</tex>,<tex>111</tex><sub><tex>2</tex></sub>=<tex>405{,}875</tex><sub><tex>10</tex></sub>, а не <tex>110010101{,}111000000000011</tex><sub><tex>2</tex></sub>=<tex>405{,}87510</tex><sub><tex>10</tex></sub> видимо для упрощения(хотя это не совсем корректно).
 
 
 
Порядки у слагаемых равны, поэтому пропускаем шаг выравнивания порядков и проводим вычитание мантисс по правилам двоичной арифметики. В
 
компьютере этим занимается арифметический сопроцессор, встроенный в центральный процессор машины.
 
 
 
<tex>1</tex>,<tex>1001010111100</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>-</tex> <tex>1{,}0000110100111</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>0{,}1000100010101</tex><sub><tex>2</tex></sub>
 
 
 
Приводим полученный результат к машинному виду. Для этого мы должны внести поправку в порядок {{---}} уменьшить его на единицу.
 
Знак результата {{---}}  положительный, следовательно, бит знака содержит ноль.
 
 
 
<tex>0</tex><strong>10000110</strong><tex>00010001010100000000000</tex>
 
 
 
Проверим правильность наших вычислений. Переведем результат в десятичное представление.
 
 
 
Найдем реальный порядок результата, вычтя из него значение смещения <tex>127</tex><sub><tex>10</tex></sub>.
 
 
 
<tex>E</tex> <tex>=</tex> <tex>10000110</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>-</tex> <tex>1111111</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>134</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>-</tex> <tex>127</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>7</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>111</tex><sub><tex>2</tex></sub>
 
 
 
Следовательно, число результата будет иметь вид:
 
<tex>A</tex> <tex>=</tex> <tex>1{,}000100010101</tex> <tex>\times</tex> <tex>10</tex><sup><tex>111</tex></sup> <tex>=</tex> <tex>10001000</tex>,<tex>10101</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>136{,}65625</tex><sub><tex>10</tex></sub>
 
 
 
Результат наших вычислений верен, так как <tex>405{,}875</tex> - <tex>269{,}21875</tex> <tex>=</tex> <tex>136{,}65625</tex>.
 
 
 
=== Алгоритм получения представления вещественного числа в памяти ЭВМ ===
 
 
 
<P>Покажем преобразование действительного числа для представления его в
 
 
 
памяти ЭВМ на примере величины типа Double.</P>
 
 
 
<P>Как видно из таблицы, величина этого типа занимает в памяти <tex>8</tex> байт. На
 
 
 
рисунке ниже показано, как здесь представлены поля мантиссы и порядка (нумерация битов осуществляется справа налево):</P>
 
 
 
{|class="wikitable"
 
!Знак || Смещённый порядок || Мантисса
 
|-
 
|63 || 62..52 || 51..0
 
|}
 
 
 
 
 
<P>Можно заметить, что старший бит, отведенный под мантиссу, имеет номер
 
 
 
<tex>51</tex>, т.е. мантисса занимает младшие <tex>52</tex> бита. Черта указывает здесь на
 
 
 
положение двоичной запятой. Перед запятой должен стоять бит целой части
 
 
 
мантиссы, но поскольку она всегда равна <tex>1</tex>, здесь данный бит не требуется и
 
 
 
соответствующий разряд отсутствует в памяти (но он подразумевается).  
 
 
 
Значение порядка хранится здесь не как целое число, представленное в
 
 
 
дополнительном коде. Для упрощения вычислений и сравнения действительных
 
 
 
чисел значение порядка в ЭВМ хранится в виде <strong>смещенного числа</strong>, т.е. к
 
 
 
настоящему значению порядка перед записью его в память прибавляется
 
 
 
смещение. Смещение выбирается так, чтобы минимальному значению порядка
 
 
 
соответствовал нуль. Например, для типа Double порядок занимает <tex>11</tex> бит и
 
 
 
имеет диапазон от <tex>2</tex><sup><tex>-1023</tex></sup> до <tex>2</tex><sup><tex>1023</tex></sup>, поэтому смещение равно <tex>1023</tex><sub>(<tex>10</tex>)</sub> <tex>=</tex>
 
 
 
<tex>1111111111</tex><sub>(<tex>2</tex>)</sub>. Наконец, бит с номером <tex>63</tex> указывает на знак числа.</P>
 
 
 
<P>Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий <strong>алгоритм</strong> для
 
 
 
получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:</P>
 
 
 
<OL>
 
 
 
<LI>перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;</LI>
 
 
 
<LI>нормализовать двоичное число, т.е. записать в виде <I>M</I> <tex> \times </tex>2<I><sup>p</sup></I>, где <I>M</I>&nbsp;&#151;
 
 
 
мантисса (ее целая часть равна <tex>1</tex><sub>(<tex>2</tex>)</sub>) и <I>p</I>&nbsp;&#151; порядок, записанный в
 
 
 
десятичной системе счисления;</LI>
 
 
 
<LI>прибавить к порядку смещение и перевести смещенный порядок в двоичную
 
 
 
систему счисления;</LI>
 
 
 
<LI>учитывая знак заданного числа (0&nbsp;&#151; положительное; 1&nbsp;&#151; отрицательное),
 
 
 
выписать его представление в памяти ЭВМ.</LI>
 
 
 
</OL>
 
 
 
<P><B>Пример.</B> Запишем код числа <tex>-312</tex>,<tex>3125</tex>.</P>
 
 
 
<OL>
 
 
 
<LI>Двоичная запись модуля этого числа имеет вид <tex>100111000{,}0101</tex>.</LI>
 
 
 
<LI>Имеем <tex>100111000{,}0101</tex> <tex>=</tex>
 
 
 
<tex>1{,}001110000101</tex><tex>\times</tex><tex>2</tex><sup><tex>8</tex></sup>.</LI>
 
 
 
<LI>Получаем смещенный порядок <tex>8</tex> <tex>+</tex> <tex>1023</tex> <tex>=</tex> <tex>1031</tex>. Далее имеем
 
 
 
<tex>1031</tex><sub>(<tex>10</tex>)</sub> <tex>=</tex> <tex>10000000111</tex><sub>(<tex>2</tex>)</sub>.</LI>
 
 
 
<LI>Окончательно
 
 
 
{|class="wikitable"
 
| 1 || 10000000111 || 0011100001010000000000000000000000000000000000000000
 
|-
 
| 63 || 62..52 || 51..0
 
|}
 
 
 
 
 
</LI>
 
 
 
</OL>
 
 
 
<P>Очевидно, что более компактно полученный код стоит записать следующим
 
 
 
образом: C073850000000000<sub>(16)</sub>.</P>
 
 
 
<P>Другой пример иллюстрирует обратный переход от кода действительного
 
 
 
числа к самому числу.</P>
 
 
 
<P><B>Пример.</B> Пусть дан код 3FEC600000000000<sub>(16)</sub> или
 
 
 
<OL>
 
 
 
{|class="wikitable"
 
| 0 || 01111111110 || 1100011000000000000000000000000000000000000000000000
 
|-
 
| 63 || 62..52 || 51..0
 
|}
 
 
 
 
 
 
 
<LI>Прежде всего замечаем, что это код положительного числа, поскольку в
 
 
 
разряде с номером <tex>63</tex> записан нуль. Получим порядок этого числа:
 
 
 
<tex>01111111110</tex><sub>(<tex>2</tex>)</sub> <tex>=</tex> <tex>1022</tex><sub>(<tex>10</tex>)</sub>; <tex>1022</tex> <tex>-</tex> <tex>1023</tex> <tex>=</tex> <tex>-1</tex>.</LI>
 
 
 
<LI>Число имеет вид <tex>1</tex>,<tex>1100011</tex><tex> \times </tex><tex>2</tex><sup><tex>-1</tex></sup> или
 
 
 
<tex>0</tex>,<tex>11100011</tex>.</LI>
 
 
 
<LI>Переводом в десятичную систему счисления получаем <tex>0</tex>,<tex>88671875</tex>.</LI>
 
 
 
 
 
</OL>
 
 
 
== См. также ==
 
* [[Представление символов, таблицы кодировок]]
 
* [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код]]
 
 
 
== Примечания ==
 
<references/>
 
 
 
== Ссылки ==
 
=== Использованные материалы ===
 
'''На русском'''
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C Википедия {{---}} Экспоненциальная запись]
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D1%81_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%BE%D0%B9 Википедия {{---}} Число с плавающей запятой]
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BD%D0%BE%D0%BB%D1%8C Википедия {{---}} Отрицательный и положительный ноль]
 
*[http://habrahabr.ru/blogs/cpp/112953/ Хабрахабр {{---}} статья пользователя Yruslan "Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой"]
 
*[http://www.sgu.ru/prcnit/teach/3.php Статья Лапшевой Е.Е. "Машинная арифметика с вещественными числами"] <span style="color: red">Статья удалена</span>
 
 
 
'''На английском'''
 
*[http://en.wikipedia.org/wiki/NaN Wikipedia {{---}} NaN]
 
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point Wikipedia {{---}} Floating point]
 
*[http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-2008 Wikipedia {{---}} IEEE 754-2008]
 
 
 
=== Что стоит прочесть ===
 
* [http://grouper.ieee.org/groups/754 Материалы по стандарту IEEE 754 ''(англ.)'']
 
* [http://softelectro.ru/ieee754.html Русский перевод стандарта IEEE 754]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Представление информации]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблон, используемый на этой странице: