Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Представление вещественных чисел

39 941 байт добавлено, 18:20, 23 июня 2020
Сложение и вычитание
Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов предсталения представления действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений, его можно считать аналогом экспоненциальной записи чисел, но только в памяти компьютера.
Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые '''знак''' (англ.'' sign''), '''порядок ''' (англ. ''exponent'') и '''мантиссу''' (англ. ''mantis''). В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа, (<tex>0 </tex> {{--- }} если число положительное, <tex>1 </tex> {{--- }} если число отрицательное). При этом порядок записывается как целое число в [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|коде со сдвигом]], а мантисса {{---}} в [[#Нормальная и нормализованная форма|нормализованном виде]], своей дробной частью в двоичной системе счисления. Вот пример такого числа из <tex>16 </tex> двоичных разрядов:
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
|-
|}
Знак {{- --}} один бит, указывающий знак всего числа с плавающей точкой. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:
<tex>(-1)^s S \times M \times B^E</tex>, где s — <tex>S</tex> {{---}} знак, <tex>B</tex> {{---}} основание, <tex>E </tex> {{---}} порядок, а <tex>M </tex> {{---}} мантисса.Десятичное число, записываемое как <tex> ReE</tex>, где <tex>R</tex> {{---}} число в полуинтервале <tex>[1; 10)</tex>, <tex>E</tex> {{---}} степень, в которой стоит множитель <tex>10</tex>; в нормализированной форме модуль <tex>R</tex> будет являться мантиссой, а <tex>E</tex> {{---}} порядком, а <tex>S</tex> будет равно <tex>1</tex> тогда и только тогда, когда <tex>R</tex> принимает отрицательное значение.Например, в числе <tex>-2435e9</tex> * <tex>S</tex> <tex>=</tex> <tex>1</tex>* <tex>B</tex> <tex>=</tex> <tex>10</tex>* <tex>M</tex> <tex>=</tex> <tex>2435</tex>* <tex>E</tex> <tex>=</tex> <tex>9</tex>
Порядок также иногда называют '''экспонентой ''' или просто '''показателем степени'''.
{{Определение|definition='''Плавающая запятая''' — форма представления дробных <!-- TODO:Абзац ниже нужно перенести в раздел с проблемами чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени.}}-->При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. Попробуйте, скажем, перевести число <tex>0.2</tex> в двоичную систему счисления - получится бесконечная запись <tex>0,(0011)</tex>
Более простым вариантом представления вещественных чисел является вариант с фиксированной точкой, когда целая и вещественная части хранятся отдельно. Например, на целую часть отводится всегда <tex>X</tex> бит и на дробную отводится всегда <tex>Y</tex> бит. Такой способ в архитектурах процессоров не присутствует. Отдаётся предпочтение числам с плавающей запятой, как компромиссу между диапазоном допустимых значений и точностью.
=== Нормальная форма и нормализованная форма == '''Нормальной формой''' (англ. ''normal form'') числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале <tex>[0; 1)</tex>. Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, <tex>0{,}0001</tex> можно записать в 4 формах — <tex>0{,}0001 \times 10</tex><sup><tex>0</tex></sup>, <tex>0{,}001 \times 10</tex><sup><tex>−1</tex></sup>, <tex>0{,}01 \times 10</tex><sup><tex>−2</tex></sup>, <tex>0{,}1 \times 10</tex><sup><tex>−3</tex></sup>), поэтому распространена также другая форма записи — '''нормализованная''' (англ. ''normalized''), в которой мантисса десятичного числа принимает значения от <tex>1</tex> (включительно) до <tex>10</tex> (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от <tex>1</tex> (включительно) до <tex>2</tex> (не включительно). То есть в мантиссе слева от запятой до применения порядка находится ровно один знак. В такой форме любое число (кроме <tex>0</tex>) записывается единственным образом. Ноль же представить таким образом невозможно, поэтому стандарт предусматривает специальную последовательность битов для задания числа <tex>0</tex> (а заодно и некоторых других [[#Особые значения чисел с плавающей точкой|полезных чисел]], таких как <tex>-\infty</tex> и <tex>+\infty</tex>).Так как старший двоичный разряд (целая часть) мантиссы вещественного числа в нормализованном виде всегда равен «<tex>1</tex>», то его можно не записывать, сэкономив таким образом один бит, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем <tex>2</tex> (в троичной, четверичной и др.), этого замечательного свойства нет (ведь целая часть там может быть не только единицей). == Типы чисел с плавающей точкой (по IEEE 754) =====Число половинной точности (''Binary16'', ''Half precision'') === '''Число́ полови́нной то́чности'''  — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину машинного слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>16</tex> бит или <tex>2</tex> байта). В силу невысокой точности этот формат представления чисел с плавающей запятой обычно используется в видеокартах, где небольшой размер и высокая скорость работы важнее точности вычислений.
'''Нормальной формой''' числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале [0; 1). Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах — 0,0001×10<sup>0</sup>, 0,001×10<sup>−1</sup>, 0,01×10<sup>−2</sup>, 0,1×10<sup>−3</sup>), поэтому распространена также другая форма записи — '''нормализованная''', в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно). То есть в мантиссе слева от запятой до применения порядка находится ровно один знак. В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Ноль же представить таким образом невозможно, поэтому стандарт предусматривает специальную последовательность битов для задания числа 0 (а заодно и некоторых других полезных чисел, таких как <tex>-\infty</tex> и <tex>+\infty</tex>).
Так как старший двоичный разряд (целая часть) мантиссы двоичного числа в нормализованном виде всегда равен «1», то его можно не записывать, сэкономив таким образом один бит, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 (в троичной, четверичной и др.), этого замечательного свойства нет (ведь целая часть там может быть не только единицей).
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
|-
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
<!-- 8 бит -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
|-
|style="border: none"|
|colspan=2 3 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14|colspan=3 2 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10
|style="border: none"|
|colspan=5 6 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9|colspan=5 4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
|}
Порядок записан [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|со сдвигом]] '''<tex>-15</tex>'''. То есть чтобы получить актуально значение порядка нужно вычесть из него сдвиг. Сдвиг можно получить по формуле <tex>2^{b-1}-1</tex>, где <tex>b</tex> {{---}} число бит, отведенное на хранение порядка (в случае числа половинной точности <tex>b=5</tex>).
=== Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой ==='''Ограничения точности'''Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит * Целые от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателянуля до <tex>2048</tex> передаются как есть. Пара значений показателя (когда все разряды нули и когда все разряды единицы) зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел* Целые от <tex>2049</tex> до <tex>4096</tex> округляются к ближайшему чётному целому. К ним относятся ноль* Целые от <tex>4097</tex> до <tex>8192</tex> округляются до ближайшего целого, значения NaN (Not a Numberделящегося нацело на четыре.* Целые от <tex>8193</tex> до <tex>16384</tex> округляются до ближайшего целого, "не число"делящегося на восемь.* Целые от <tex>16385</tex> до <tex>32768</tex> округляются до ближайшего целого, получается как результат операций типа деления нуля делящегося на ноль) и шестнадцать.* Целые от <tex>\pm\infty32769</tex>до <tex>65535</tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на тридцать два.
<center>
<table border=1 CellSpacing="0" CellPadding="2">Число одинарной точности (''Binary32'', ''Single precision'', ''float'') ===
<tr><th>Название '''Число́ одина́рной то́чности''' — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти одно машинное слово (IEEE 754)</th>в случае 32-битного компьютера — <thtex>Тип (C)32</thtex>бита или <thtex>Диапазон4</th><th>Биты мантиссы</th><th>Биты</th></trtex>байта). Используется для работы с вещественными числами везде, где не нужна очень высокая точность.
<tr><td>Half precision</td><td>Нет</td><td>6,10&times;10<sup>-5</sup>..65504</td><td>10+1</td><td>16</td></tr> <tr><td>Single precision</td><td>float</td><td>3,4&times;10<sup>-38</sup>..3,4&times;10<sup>38</sup></td><td>23+1</td><td>32</td></tr> <tr><td>Double precision</td><td>double</td><td>1,7&times;10<sup>-308</sup>..1,7&times;10<sup>308</sup></td><td>52+1</td><td>64</td></tr> <tr><td>Extended precision</td><td>Нет, иногда long double</td><td>3,4&times;10<sup>-4932</sup>..3,4&times;10<sup>4932</sup></td><td>64+1</td><td>80</td></tr> </table> </center> === Число половинной точности === '''Число́ полови́нной то́чности'''  — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину машинное слова (в случае 32-битного компьютера — 16 бит или 2 байта). {|class="wikitable" style="background-color: transparent; border-collapse: collapse; border: none"
|-
!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
|-
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
!colspan=5 8 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок(8 бит)!colspan=10 24 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса(23+1 бита)
|-style="text-align: right"
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="border: none"|1,
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
<!-- 8 бит -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: transparent; border: none"|
|-
|style="border: none"|
|colspan=3 4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|1430|colspan=2 4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|1023|style="border: none"| |colspan=6 20 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|922|colspan=4 3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
|}
Порядок записан со сдвигом '''<tex>-127</tex>'''.
=== Число одинарной точности ===
=== Число двойной точности (''Binary64'Число́ одина́рной то́чности', ''Double precision'' — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти одно машинное слово (в случае 32-битного компьютера — 32 бита или 4 байта''double''). Как правило, обозначает формат числа с плавающей точкой стандарта IEEE 754.===
'''Число́ двойно́й то́чности''' — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти два машинных слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>64</tex> бита или <tex>8</tex> байт). Часто используется благодаря своей неплохой точности, даже несмотря на двойной расход памяти и сетевого трафика относительно чисел одинарной точности. {|class="wikitable" style="background-color: transparent; border-collapse: collapse; border: none"
|-
!colspan=5 7 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак
|-
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
!colspan=8 11 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок <br />(8 11 бит)!colspan=23 53 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса <br />(24 бита52+1 бит)
|-style="text-align: right"
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
<!-- 24 бита -->
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="border: none"|1,
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
<!-- 16 бит -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
<!-- 8 бит -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: transparent; border: none"|
|-
|style="border: none"|
|colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|3062|colspan=4 7 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|2452|style="border: none"| |colspan=20 48 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|2351|colspan=3 4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
|}
Порядок записан со сдвигом '''<tex>-1023</tex>'''.
=== Число двойной четверной точности (''Binary128'', ''Quadruple precision'') ===
'''Число́ двойно́й четверно́й то́чности''' — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти два четыре машинных слова (в случае 32-битного компьютера — 64 бита <tex>128</tex> бит или 8 <tex>16</tex> байт). Как правило, обозначает формат числа с плавающей запятой стандарта IEEE 754Используется в случае необходимости крайне высокой точности.
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
|-
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|
!colspan=11 15 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок<br />(11 15 бит)!colspan=52 47 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса<br />(52 112+1 бит)
|-style="text-align: right"
!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
<!-- 56 бит -->
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0
!style="border: none"|1,
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
|-
|style="border: none"|
|colspan=8 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|126
|colspan=7 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|112
|style="border: none"|
|colspan=38 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|111
|}
<br />
{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"
|-
!colspan=66 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса<br />(112+1 бит)
|-style="text-align: right"
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
<!-- 48 бит -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
<!-- 40 бит -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
<!-- 32 бита -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
<!-- 24 бита -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
<!-- 16 бит -->
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0|-|colspan=66 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0|}Порядок записан со сдвигом '''<tex>-16383</tex>'''. Обычно этот формат реализуется программно, случаи аппаратной реализации крайне редки. Также не гарантируется поддержка этого типа в языках программирования, хотя кое-где она и реализована (например, компилятор gcc для архитектуры x86 позволяет использовать тип __float128, являющийся программной реализацией числа с четверной точностью).В совокупности эти факторы делают Quadruple весьма экзотичным и редко встречающимся форматом чисел с плавающей запятой.  === Диапазон значений чисел с плавающей запятой ===Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. Пара значений показателя (когда все разряды нули и когда все разряды единицы) зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся ноль, значения NaN (Not a Number, "не число", получается как результат операций типа деления нуля на ноль) и <tex>\pm\infty</tex>. Данная таблица только лишь примерно указывает границы допустимых значений, без учета возрастающей погрешности с ростом абсолютного значения и существования [[#Денормализованные числа|денормализованных чисел]].  <!-- TODO: Выкинуть нафиг эту бессмысленную таблицу, переписать весь раздел, привести распределение значений и формулу для подсчета их количества -->{| class="wikitable" !Название в IEEE 754|| Название типа переменной в Си || Диапазон значений || Бит в мантиссе || Бит на переменную |- |Half precision||-||6,10&times;10<sup>-5</sup>..65504||11||16 |- |Single presicion||float||-3,4&times;10<sup>38</sup>..3,4&times;10<sup>38</sup>||23||32 |- |Double precision||double||-1,7&times;10<sup>308</sup>..1,7&times;10<sup>308</sup>||53||64 |- |Extended precision||На некоторых архитектурах (например в сопроцессоре Intel) long double||-3,4&times;10<sup>4932</sup>..3,4&times;10<sup>4932||65||80 |} == Особые значения чисел с плавающей точкой ===== Ноль (со знаком) ===Как уже было оговорено выше, в нормализованной форме числа с плавающей точкой невозможно представить ноль. Поэтому для его представления зарезервированы специальные значения мантиссы и порядка {{---}} число считается нулём, если все его биты, кроме знакового, равны нулю. При этом в зависимости от значения бита знака ноль может быть как положительным, так и отрицательным.  {|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"|-!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак|-!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса!style="border: none"| |-style="text-align: right"!style="background- 8 бит color: powderblue; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="border: none"|1,!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: transparent; border: none"|&nbsp;=&nbsp;<tex>\pm0</tex>|-|style="border: none"| |colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10|style="border: none"| |colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0|} '''Арифметика нуля со знаком'''<br/>Арифметика отрицательного нуля аналогична таковой для любого отрицательного числа и понятна интуитивно. Вот несколько примеров: * <tex>\frac{-0}{ \left| x \right| } = -0\,\!</tex> (если <tex>x\ne0</tex>) * <tex>(-0) \cdot (-0) = +0\,\!</tex> * <tex>\left| x \right| \cdot (-0) = -0\,\!</tex> * <tex>x + (\pm 0) = x\,\!</tex> * <tex>(-0) + (-0) = -0\,\!</tex> * <tex>(+0) + (+0) = +0\,\!</tex> * <tex>\frac{-0}{-\infty} = +0\,\!</tex> * <tex>\frac{\left|x\right|}{-0} = -\infty\,\!</tex> (если <tex>x\ne0</tex>) === Неопределенность (''NaN'') ==='''NaN''' {{---}} это аббревиатура от фразы "''not a number''". NaN является результатом арифметических операций, если во время их выполнения произошла ошибка (примеры см. ниже). В IEEE 754 NaN представлен как число, в котором все двоичные разряды порядка {{---}} единицы, а мантисса не нулевая. {|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"|-!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак|-!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса!style="border: none"| |-style="text-align: right"!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="border: none"|1,!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>!style="background-color: transparent; border: none"|&nbsp;=&nbsp;<tex>NaN</tex>|-|style="border: none"| |colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10|style="border: none"| |colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0|} Любая операция с NaN возвращает NaN. При желании в мантиссу можно записывать информацию, которую программа сможет интерпретировать. Стандартом это не оговорено и мантисса чаще всего игнорируется.  '''Как можно получить NaN?'''<br/> * <tex>\infty+(-\infty)= NaN</tex> * <tex>0\times\infty= NaN</tex> * <tex>\frac{\pm0}{\pm0} = NaN</tex> * <tex>\frac{\pm\infty}{\pm\infty} = NaN</tex> * <tex>\sqrt{x} = NaN</tex>, где <tex>x<0</tex> Есть и другие способы получения NaN, подробности можно найти по ссылкам в [[#Ссылки|соответствующем разделе]]. По определению NaN ≠ NaN, поэтому, для проверки значения переменной нужно просто сравнить ее с собой.<!-- TODO: написать про sNaN и qNaN -->  === Бесконечности ===В число с плавающей запятой можно записать значение <tex>+\infty</tex> или <tex>-\infty</tex>. Как и нули со знаком, бесконечности позволяют получить хотя бы близкий к правильному результат вычисления в случае переполнения. Согласно стандарту IEEE 754 число с плавающей запятой считается равным бесконечности, если все двоичные разряды его порядка {{---}} единицы, а мантисса равна нулю. Знак бесконечности определяется знаковым битом числа. {|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"|-!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак|-!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса!style="border: none"| |-style="text-align: right"!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|<sup>0</sup>/<sub>1</sub>!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="border: none"|1,!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0
!style="background-color: transparent; border: none"|&nbsp;=&nbsp;<tex>\pm\infty</tex>
|-
|style="border: none"|
|colspan=4 2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|6214|colspan=7 3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|5210|style="border: none"| |colspan=48 5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|519|colspan=4 5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0
|}
Получить бесконечность можно при переполнении и при делении ненулевого числа на ноль. При этом <tex dpi ="180">\frac{x}{0}</tex><tex>=\begin{cases}+\infty,&\text{если $x>0$;}\\NaN,&\text{если $x= 0$;}\\-\infty,&\text{если $x<0$.}\end{cases} </tex> === Денормализованные числа ==='''Денормализованные числа''' (англ. ''denormalized/subnormal numbers'') - это способ увеличить количество представимых числом с плавающей запятой значений около нуля, дабы повысить точность вычислений. Каждое значение денормализованного числа меньше самого маленького '''нормализованного''' ("обычного") значения числа с плавающей запятой.Согласно стандарту, если порядок равен своему минимальному значению (все его биты {{---}} нули, а истинное значение порядка равно его сдвигу) и все биты мантиссы равны нулю, то это <tex>\pm0</tex>. Если же мантисса не равна нулю, то это число с порядком, на единицу большим минимального (все биты порядка, кроме младшего {{---}} нули) и данной мантиссой, '''целая часть которой считается равной нулю, а не единице'''. То есть число с плавающей запятой, при учете вышесказанного, можно задать следующим образом:<br/>* <tex>(-1)^s\times1,M\times2^E</tex>, если <tex>E_{min} \le E \le E_{max}</tex> (''нормализованное число'') * <tex>(-1)^s\times0,M\times2^{E_{min}}</tex>, если <tex>E=E_{min}-1</tex> (''денормализованное число'') Где <tex>s</tex> {{---}} бит знака, <tex>M</tex> {{---}} последовательность битов мантиссы, <tex>E</tex> {{---}} значение порядка (с учетом сдвига), <tex>E_{min}</tex> {{---}} минимальное значение порядка, используемое для записи чисел (1 {{---}} ''сдвиг'') , <tex>E_{min}-1</tex> {{---}} минимальное значение порядка, которое он в принципе может принять (все биты нули, 0 {{---}} ''сдвиг''). Хоть денормализованные числа и позволяют бороться с погрешностями и обрабатывать очень маленькие значения, за эти возможности приходится дорого платить. Ввиду сложности денормализованные числа крайне редко реализуют на аппаратном уровне - вместо этого используются программные реализации, работающие значительно медленнее. <br/> В современных процессорах обработка денормализованных чисел происходит в десятки раз медленнее, чем обработка нормализованных чисел. Ниже приведена часть таблицы из статьи Isaac Dooley, Laxmikant Kale "Quantifying the Interference Caused by Subnormal Floating-Point Values"<ref>[http://charm.cs.uiuc.edu/papers/SubnormalOSIHPA06.pdf Статья Isaac Dooley, Laxmikant Kale "Quantifying the Interference Caused by Subnormal Floating-Point Values" ''(англ.)'']</ref> {| class="wikitable" !Производитель||Процессор||Замедление (разы) |- |IBM||PowerPC 970||2,4 |- |AMD||Athlon||6,0 |- |Intel||Pentium 3||15,8 |- |AMD||Athlon 64||21,4 |- |AMD||Opteron64||23,8 |- |Intel||Core Duo||44,2 |- |Intel||P4 Xeon||97,9 |- |Intel||Pentium 4||131,0 |- |Intel||Itanium 2||183,2 |- |Sun||UltraSPARC IV||520,0 |} В таблице приведены наихудшие результаты тестирования среди всех использованных компиляторов (gcc, icc, xlc) со всеми доступными флагами оптимизации. Исследователи утверждают, что различие среднего случая с худшим незначительно. Поскольку в стандартных форматах (одинарной и двойной точности) денормализованные числа получаются действительно ''очень'' маленькими и практически никак не влияют на результат некоторых вычислений (при этом заметно замедляя их скорость), то иногда они просто игнорируются. При этом используются два простых механизма, получивших называние ''Flush-to-zero'' (''FTZ'') и ''Denormals-are-zero'' (''DAZ''). Первый механизм заставляет операции возвращать ноль, как только становится ясно, что результат будет денормализованным. Второй механизм заставляет операции рассматривать поступающие на вход денормализованные числа как нули. <br/>Ярким примером подобного "отсечения" денормализованных чисел могут послужить видеокарты, в которых резкое падение скорости вычислений в сотню раз недопустимо. Так же, например, в областях, связанных с обработкой звука, нет нужды в очень маленьких числах, поскольку они представляют столь тихий звук, что его не способно воспринять человеческое ухо. В версии стандарта IEEE 754-2008 денормализованные числа (''denormal'' или ''denormalized numbers'') были переименованы в ''subnormal numbers'', то есть в числа, меньшие "нормальных". Поэтому их иногда еще называют "'''субнормальными'''".  == Действия с числами с плавающей запятой ===== Умножение и деление ===Самыми простыми для восприятия арифметическими операциями над числами с плавающей запятой являются умножение и деление. Для того, чтобы умножить два вещественных числа в нормализованной форме необходимо перемножить их мантиссы, сложить порядки, округлить и нормализовать полученное число.<!-- Пример:  e=<tex>3</tex>; m=<tex>4.734612</tex> (порядок и мантисса первого числа) × e=<tex>5</tex>; m=<tex>5.417242</tex> (порядок и мантисса второго числа) ----------------------- e=<tex>8</tex>; m=<tex>25.648538980104</tex> (произведение как оно есть) e=<tex>8</tex>; m=<tex>25.64854</tex> (мантисса после округления) e=<tex>9</tex>; m=<tex>2.564854</tex> (нормализованная форма)--> Соответственно, чтобы произвести деление нужно разделить мантиссу делимого на мантиссу делителя и вычесть из порядка делимого порядок делителя. Затем точно так же округлить мантиссу результата и привести его к нормализованной форме.<!-- Всё это круто, но было бы еще круче написать, как оно на реальном железе умножается и делится. В двоичной системе, с учетом округления и всеми делами. Но это, пожалуй, будет уж слишком мощно для формата "вики-конспекта". лучше куда-нибудь сюда добавить внешнюю ссылку --> === Сложение и вычитание ===Идея метода сложения и вычитания чисел с плавающей точкой заключается в приведении их к одному порядку. Сначала выбирается оптимальный порядок, затем мантиссы обоих чисел представляются в соответствии с новым порядком, затем над ними производится сложение/вычитание, мантисса результата округляется и, если нужно, результат приводится к нормализированной форме. Пример:  Выполним сложение чисел с плавающей точкой и смещенным порядком в 32-х разрядном формате <tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex> и <tex>405,875</tex>. Переведем <tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex> в машинный вид. Для этого сначала переведем его в двоичную систему счисления. <tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex> <tex>=</tex> <tex>-269{,}21875</tex> <tex>-269{,}21875</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>-100001101{,}00111</tex><sub><tex>2</tex></sub>  Нормализуем полученное двоичное число по правилам машинной арифметики. <tex>-100001101{,}00111</tex> <tex>=</tex> <tex>-1{,}0000110100111</tex><tex> \times</tex> <tex>10</tex><sup><tex>8</tex></sup>  Найдем смещенный порядок. Так как в условии говорится о 32-разрядном представлении, то смещение порядка равно <tex>127</tex><sub><tex>10</tex></sub>. <tex>E</tex> <tex>=</tex> <tex>8</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>+</tex> <tex>127</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>1000</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>+</tex> <tex>1111111</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>10000111</tex><sub><tex>2</tex></sub>  Число четверной точности отрицательное, следовательно, в бите знака будет стоять единица.  Итак, первое число в машинном 32-разрядном представлении с плавающей точкой будет иметь вид: <tex>1</tex><strong>10000111</strong><tex>00001101001110000000000</tex> (жирным шрифтом выделен порядок числа, длина мантиссы {{---}} 23 бита).  Переведем второе число в машинный вид, совершая те же действия.  <tex>405,87510</tex> = <tex>110010101</tex>,<tex>111000000000011010</tex>...<sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>1,10010101111000000000011010</tex>... <tex>\times</tex> <tex>10</tex><sup><tex>1000</tex></sup> В качестве мантиссы будут сохранены первые <tex>23</tex> бита после запятой т.е. <tex>10010101111000000000011</tex>. Очевидно, что порядок со смещением у второго числа будет таким же, как и у первого.  Второе число положительное, следовательно, бит знака будет содержать ноль.  Итак в машинном 32-разрядном представлении второе число будет иметь вид:  <tex>0</tex><strong>10000111</strong><tex>10010101111000000000011</tex> Далее в арифметических операциях будет использоваться число <tex>110010101</tex>,<tex>111</tex><sub><tex>2</tex></sub>=<tex>405{,}875</tex><sub><tex>10</tex></sub>, а не <tex>110010101{,}111000000000011</tex><sub><tex>2</tex></sub>=<tex>405{,}87510</tex><sub><tex>10</tex></sub> видимо для упрощения(хотя это не совсем корректно).  Порядки у слагаемых равны, поэтому пропускаем шаг выравнивания порядков и проводим вычитание мантисс по правилам двоичной арифметики. В компьютере этим занимается арифметический сопроцессор, встроенный в центральный процессор машины.  <tex>1</tex>,<tex>1001010111100</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>-</tex> <tex>1{,}0000110100111</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>0{,}1000100010101</tex><sub><tex>2</tex></sub>  Приводим полученный результат к машинному виду. Для этого мы должны внести поправку в порядок {{---}} уменьшить его на единицу. Знак результата {{---}} положительный, следовательно, бит знака содержит ноль.  <tex>0</tex><strong>10000110</strong><tex>00010001010100000000000</tex>
'''Число́ четверно́й то́чности''' — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти четыре машинных слова ( Проверим правильность наших вычислений. Переведем результат в случае 32-битного компьютера — 128 бит или 16 байт)десятичное представление. Как правило  Найдем реальный порядок результата, обозначает формат числа с плавающей запятой '''binary128''' стандарта IEEE 754вычтя из него значение смещения <tex>127</tex><sub><tex>10</tex></sub>.
''' Формат числа четверной точности '''Бит знака: 1 <tex>E</tex> <tex>=</tex> <tex>10000110</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>-</tex> <tex>1111111</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>134</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>-</tex> <tex>127</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>7</tex><sub><tex>10</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>111</tex><sub><tex>2</tex></sub>
Длина значения экспоненты Следовательно, число результата будет иметь вид: 15 <tex>A</tex> <tex>=</tex> <tex>1{,}000100010101</tex> <tex>\times</tex> <tex>10</tex><sup><tex>111</tex></sup> <tex>=</tex> <tex>10001000</tex>,<tex>10101</tex><sub><tex>2</tex></sub> <tex>=</tex> <tex>136{,}65625</tex><sub><tex>10</tex></sub>
Мантисса: 112 Результат наших вычислений верен, так как <tex>405{,}875</tex> - <tex>269{,}21875</tex> <tex>=</tex> <tex>136{,}65625</tex>.
=== Алгоритм получения представления вещественного числа в памяти ЭВМ ===
памяти ЭВМ на примере величины типа Double.</P>
<P>Как видно из таблицы, величина это этого типа занимает в памяти <tex>8 </tex> байт. На
рисунке ниже показано, как здесь представлены поля мантиссы и порядка (нумерация битов осуществляется справа налево):</P>
<center>{|class="wikitable" !Знак || Смещённый порядок || Мантисса |-<table border=1 CellSpacing=" |63 || 62..52 || 51..0" CellPadding="2"> |}
<tr><td>S</td><td>Смещенный порядок</td><td>Мантисса</td></tr>
 
<tr><td>63</td><td>62..52</td><td>51..0</td></tr>
 
</table>
 
</center>
<P>Можно заметить, что старший бит, отведенный под мантиссу, имеет номер
<tex>51</tex>, т.е. мантисса занимает младшие <tex>52 </tex> бита. Черта указывает здесь на
положение двоичной запятой. Перед запятой должен стоять бит целой части
мантиссы, но поскольку она всегда равна <tex>1</tex>, здесь данный бит не требуется и
соответствующий разряд отсутствует в памяти (но он подразумевается).
смещение. Смещение выбирается так, чтобы минимальному значению порядка
соответствовал нуль. Например, для типа Double порядок занимает <tex>11 </tex> бит и
имеет диапазон от <tex>2</tex><sup><tex>-1023</tex></sup> до <tex>2</tex><sup><tex>1023</tex></sup>, поэтому смещение равно <tex>1023</tex><sub>(<tex>10</tex>)</sub> <tex> = </tex>
<tex>1111111111</tex><sub>(<tex>2</tex>)</sub>. Наконец, бит с номером <tex>63 </tex> указывает на знак числа.</P>
<P>Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий <strong>алгоритм</strong> для
<LI>перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;</LI>
<LI>нормализовать двоичное число, т.е. записать в виде <I>M</I>&nbsp;&<tex> \times;&nbsp;</tex>2<I><sup>p</sup></I>, где <I>M</I>&nbsp;&#151;
мантисса (ее целая часть равна <tex>1</tex><sub>(<tex>2</tex>)</sub>) и <I>p</I>&nbsp;&#151; порядок, записанный в
десятичной системе счисления;</LI>
</OL>
<P><B>Пример.</B> Запишем код числа <tex>-312</tex>,<tex>3125</tex>.</P>
<OL>
<LI>Двоичная запись модуля этого числа имеет вид <tex>100111000{,}0101</tex>.</LI>
<LI>Имеем <tex>100111000{,}0101 </tex> <tex>= </tex>
<tex>1{,}001110000101&nbsp;&</tex><tex>\times;&nbsp;</tex><tex>2</tex><sup><tex>8</tex></sup>.</LI>
<LI>Получаем смещенный порядок <tex>8 </tex> <tex>+ </tex> <tex>1023 </tex> <tex>= </tex> <tex>1031</tex>. Далее имеем
<tex>1031</tex><sub>(<tex>10</tex>)</sub> <tex> = </tex> <tex>10000000111</tex><sub>(<tex>2</tex>)</sub>.</LI>
<LI>Окончательно
<center>{|class="wikitable" | 1 || 10000000111 || 0011100001010000000000000000000000000000000000000000 |- | 63 || 62..52 || 51..0 |}
<table border=1 CellSpacing="0" CellPadding="2">
 
<tr><td>1</td><td>10000000111</td><td>0011100001010000000000000000000000000000000000000000</td></tr>
 
<tr><td>63</td><td>62..52</td><td>51..0</td></tr>
 
</table>
 
</center>
</LI>
<P><B>Пример.</B> Пусть дан код 3FEC600000000000<sub>(16)</sub> или
<centerOL{|class="wikitable" | 0 || 01111111110 || 1100011000000000000000000000000000000000000000000000 |- | 63 || 62..52 || 51..0 |}   <LI>Прежде всего замечаем, что это код положительного числа, поскольку в
разряде с номером <table border=1 CellSpacing="0" CellPadding="2"tex>63</tex> записан нуль. Получим порядок этого числа:
<trtex>01111111110</tex><sub>(<tex>2<td/tex>0)</tdsub><tdtex>01111111110=</tex> <tex>1022</tex><sub>(<tex>10</tex>)</sub>; <tex>1022</tex> <tex>-</tex> <tex>1023</tex> <tex>=</tdtex><tdtex>1100011000000000000000000000000000000000000000000000-1</tdtex>.</trLI>
<trLI>Число имеет вид <tdtex>631</tdtex>,<tdtex>62..521100011</tdtex><tdtex>51..0\times </tdtex><tex>2</tex><sup><tex>-1</tex></trsup>или
<tex>0</tabletex>,<tex>11100011</tex>.</LI>
<LI>Переводом в десятичную систему счисления получаем <tex>0</centertex>,<tex>88671875</tex>.</LI>
<OL>
<LI/OL>Прежде всего замечаем, что это код положительного числа, поскольку в
разряде с номером 63 записан нуль== См. Получим порядок этого числатакже ==* [[Представление символов, таблицы кодировок]]* [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код]]
01111111110<sub>(2)</sub> = 1022<sub>(10)</sub>; 1022 - 1023 = -1.Примечания ==<references/LI>
<LI>== Ссылки ===== Использованные материалы ==='''На русском'''* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C Википедия {{---}} Экспоненциальная запись]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D1%81_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%BE%D0%B9 Википедия {{---}} Число имеет вид 1,1100011&nbsp;&times;&nbsp;2с плавающей запятой]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BD%D0%BE%D0%BB%D1%8C Википедия {{---}} Отрицательный и положительный ноль]*[http://habrahabr.ru/blogs/cpp/112953/ Хабрахабр {{---}} статья пользователя Yruslan "Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой"]*[http://www.sgu.ru/prcnit/teach/3.php Статья Лапшевой Е.Е. "Машинная арифметика с вещественными числами"] <supspan style="color: red">-1Статья удалена</supspan> или
0,11100011'''На английском'''*[http://en.wikipedia.org/wiki/NaN Wikipedia {{---}} NaN]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point Wikipedia {{---}} Floating point]*[http://en.wikipedia.<org/wiki/LI>IEEE_754-2008 Wikipedia {{---}} IEEE 754-2008]
<LI>Переводом в десятичную систему счисления получаем 0,88671875=== Что стоит прочесть ===* [http://grouper.ieee.org/groups/754 Материалы по стандарту IEEE 754 ''(англ.<)'']* [http:/LI>/softelectro.ru/ieee754.html Русский перевод стандарта IEEE 754]
</OL>
===Cсылки===
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C http://ru.wikipedia.org/wiki/Экспоненциальная_запись]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D1%81_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%BE%D0%B9 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_с_плавающей_запятой]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE#.D0.9F.D1.80.D0.B5.D0.B4.D1.81.D1.82.D0.B0.D0.B2.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB_.D0.B2_.D0.BF.D0.B0.D0.BC.D1.8F.D1.82.D0.B8_.D0.BA.D0.BE.D0.BC.D0.BF.D1.8C.D1.8E.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B0 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_половинной_точности]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_одинарной_точности]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_двойной_точности]
*[http://habrahabr.ru/blogs/cpp/112953/ http://habrahabr.ru/blogs/cpp/112953/]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_четверной_точности]
*[http://comp-science.narod.ru/Cod/cod.html http://comp-science.narod.ru/Cod/cod.html]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Представление информации]]
Анонимный участник

Навигация