Изменения

Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов предсталения представления действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений, его можно считать аналогом экспоненциальной записи чисел, но только в памяти компьютера.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые '''знак''' (англ.'' sign''), '''порядок ''' (англ. ''exponent'') и '''мантиссу''' (англ. ''mantis''). В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа, (<tex>0 </tex> {{--- }} если число положительное, <tex>1 </tex> {{--- }} если число отрицательное). При этом порядок записывается как целое число в [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|коде со сдвигом]], а мантисса {{---}} в [[#Нормальная и нормализованная форма|нормализованном виде]], своей дробной частью в двоичной системе счисления. Вот пример такого числа из <tex>16 </tex> двоичных разрядов:

Знак {{- --}} один бит, указывающий знак всего числа с плавающей точкой. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:

<tex>(-1)^s S \times M \times B^E</tex>, где s — <tex>S</tex> {{---}} знак, <tex>B</tex> {{---}} основание, <tex>E — </tex> {{---}} порядок, а <tex>M — </tex> {{---}} мантисса.Десятичное число, записываемое как <tex> ReE</tex>, где <tex>R</tex> {{---}} число в полуинтервале <tex>[1; 10)</tex>, <tex>E</tex> {{---}} степень, в которой стоит множитель <tex>10</tex>; в нормализированной форме модуль <tex>R</tex> будет являться мантиссой, а <tex>E</tex> {{---}} порядком, а <tex>S</tex> будет равно <tex>1</tex> тогда и только тогда, когда <tex>R</tex> принимает отрицательное значение.Например, в числе <tex>-2435e9</tex> * <tex>S</tex> <tex>=</tex> <tex>1</tex>* <tex>B</tex> <tex>=</tex> <tex>10</tex>* <tex>M</tex> <tex>=</tex> <tex>2435</tex>* <tex>E</tex> <tex>=</tex> <tex>9</tex>

Порядок также иногда называют '''экспонентой ''' или просто '''показателем степени'''.

{{Определение|definition='''Плавающая запятая''' — форма представления дробных <!-- TODO:Абзац ниже нужно перенести в раздел с проблемами чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени.}}-->При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. Попробуйте, скажем, перевести число <tex>0.2</tex> в двоичную систему счисления - получится бесконечная запись <tex>0,(0011)</tex>

== Нормальная и ''нормализованная'' форма == '''Нормальной формой''' числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале [0; 1). Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах — 0,0001×10⁰, 0,001×10⁻¹, 0,01×10⁻², 0,1×10⁻³), поэтому распространена также другая форма записи — '''нормализованная''', в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно). То есть в мантиссе слева от запятой до применения порядка находится ровно один знак. В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Ноль же представить таким образом невозможно, поэтому стандарт предусматривает специальную последовательность битов для задания числа 0 (а заодно и некоторых других полезных чисел, таких как <tex>-\infty</tex> и <tex>+\infty</tex>).Так как старший двоичный разряд (целая часть) мантиссы двоичного числа в нормализованном виде всегда равен «1», то его можно не записывать, сэкономив таким образом один бит, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 (в троичной, четверичной и др.), этого замечательного свойства нет (ведь целая часть там может быть не только единицей).{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"|-!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак|-!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса|-style="text-align: right"!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="border: none"|1,!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0<!-- 8 бит -->!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0|-|style="border: none"| |colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10|style="border: none"| |colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0|}

=== Число половинной точности (''Binary16'', ''Half precision'') ===

'''Число́ полови́нной то́чности'''  — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину машинного слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>16 </tex> бит или <tex>2 </tex> байта). В силу невысокой точности этот формат представления чисел с плавающей запятой обычно используется в видеокартах, где небольшой размер и высокая скорость работы важнее точности вычислений.

Порядок записан [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|со сдвигом]] '''<tex>-15</tex>'''. Это означает, что если дан порядок 01101То есть чтобы получить актуально значение порядка нужно вычесть из него сдвиг. Сдвиг можно получить по формуле <subtex>2^{b-1}-1</subtex> то он на самом деле равен не 13, а где <tex>b</tex> {{--2 -}} число бит, отведенное на хранение порядка (потому как в случае числа половинной точности <tex>13-15b=-25</tex>).

* Целые от нуля до <tex>2048 </tex> передаются как есть.* Целые от <tex>2049 </tex> до <tex>4096 </tex> округляются к ближайшему чётному целому.* Целые от <tex>4097 </tex> до <tex>8192 </tex> округляются до ближайшего целого, делящегося нацело на 4четыре.* Целые от <tex>8193 </tex> до <tex>16384 </tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на 8восемь.* Целые от <tex>16385 </tex> до <tex>32768 </tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на 16шестнадцать.* Целые от <tex>32769 </tex> до <tex>65535 </tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на 32тридцать два.

=== Число одинарной точности (''Binary32'', ''Single precision'', ''float'') ===

'''Число́ одина́рной то́чности''' — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти одно машинное слово (в случае 32-битного компьютера — <tex>32 </tex> бита или <tex>4 </tex> байта). Используется для работы с вещественными числами везде, где не нужна очень высокая точность.

!colspan=24 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса (2423+1 бита)

|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|2423

|colspan=20 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|2322

Порядок записан со сдвигом '''<tex>-127</tex>'''.

=== Число двойной точности (''Binary64'', ''Double precision'', ''double'') ===

компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти два машинных слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>64 </tex> бита или <tex>8 </tex> байт). Часто используется благодаря своей неплохой точности, даже не смотря несмотря на двойной расход памяти и сетевого трафика относительно чисел одинарной точности.

Порядок записан со сдвигом '''<tex>-1023</tex>'''.

 === Число четверной точности (''Binary128'', ''Quadruple precision'') ===

компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти четыре машинных слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>128 </tex> бит или <tex>16 </tex> байт). Используется в случае необходимости крайне высокой точности.

Порядок записан со сдвигом '''<tex>-16383</tex>'''.

Как уже было оговорено выше, в нормализованной форме числа с плавающей точкой невозможно представить ноль. Поэтому для его представления зарезервированы специальные значения мантиссы и порядка. Число {{---}} число считается нулевымнулём, если все его биты порядка равны нулю и все биты мантиссы , кроме знакового, равны нулю. При этом в зависимости от значения одного бита знака ноль может быть быть как положительным, так и отрицательным.

 === Неопределенность (''NaN'') ==='''NaN ''' {{--- }} это аббревиатура от фразы "''not a number''". Специальное представлениеNaN является результатом арифметических операций, этакое псевдочисло, придуманное для того, чтобы арифметическая операция могла всегда вернуть какое-то не бессмысленное значениеесли во время их выполнения произошла ошибка (примеры см. ниже). В IEEE 754 NaN представлен как число, в котором все двоичные разряды порядка {{--- }} единицы, а мантисса не нулевая.

* <tex>\frac{\pm0}{\pm0}=NaN</tex> * <tex>\frac{\pm\infty}{\pm\infty} = NaN</tex>

Есть и другие способы получить получения NaN, подробности можно найти по ссылкам в [[#Ссылки|соответствующем разделе]].

В число с плавающей запятой можно записать значение <tex>+\infty</tex> или <tex>-\infty</tex>. Как и нули со знаком, бесконечности позволяют получить хотя бы близкий к правильному результат вычисления в случае переполнения. Согласно стандарту IEEE 754 число с плавающей запятой считается равным бесконечности, если все двоичные разряды его порядка {{- --}} единицы, а мантисса равна нулю. Знак бесконечности определяется знаковым битом числа.

Получить бесконечность можно при переполнении и при делении ненулевого числа на ноль. Бесконечность при делении разработчики определили исходя из существования пределов, когда делимое и делитель стремиться к какому-то числу. Соответственно, При этом <texdpi = "180">\frac{cx}{0}</tex><tex>=\begin{cases}+\infty,&\text{если $x>0$;}\\NaN,&\text{если $x=0$;}\pm\-\infty,&\text{если $x<0$.}\end{cases} </tex>  === Денормализованные числа ==='''Денормализованные числа''' (напримерангл. ''denormalized/subnormal numbers'') - это способ увеличить количество представимых числом с плавающей запятой значений около нуля, дабы повысить точность вычислений. Каждое значение денормализованного числа меньше самого маленького '''нормализованного''' ("обычного") значения числа с плавающей запятой.Согласно стандарту, если порядок равен своему минимальному значению (все его биты {{---}} нули, а истинное значение порядка равно его сдвигу) и все биты мантиссы равны нулю, то это <tex>\fracpm0</tex>. Если же мантисса не равна нулю, то это число с порядком, на единицу большим минимального (все биты порядка, кроме младшего {{7---}{0}=+нули) и данной мантиссой, '''целая часть которой считается равной нулю, а не единице'''. То есть число с плавающей запятой, при учете вышесказанного, можно задать следующим образом:<br/>* <tex>(-1)^s\times1,M\inftytimes2^E</tex>, а если <tex>E_{min} \fracle E \le E_{max}</tex> (''нормализованное число'') * <tex>(-71)^s\times0,M\times2^{E_{min}}</tex>, если <tex>E=E_{min}-1</tex> (''денормализованное число'') Где <tex>s</tex> {0{---}}=бит знака, <tex>M</tex> {{---\infty}} последовательность битов мантиссы, <tex>E</tex>{{---}} значение порядка (с учетом сдвига), так как если делимое стремиться к константе<tex>E_{min}</tex> {{---}} минимальное значение порядка, а делитель к нулюиспользуемое для записи чисел (1 {{---}} ''сдвиг'') , предел равен бесконечности. При <tex>\fracE_{0min}-1</tex> {{---}} минимальное значение порядка, которое он в принципе может принять (все биты нули, 0{{---}} ''сдвиг''). Хоть денормализованные числа и позволяют бороться с погрешностями и обрабатывать очень маленькие значения, за эти возможности приходится дорого платить. Ввиду сложности денормализованные числа крайне редко реализуют на аппаратном уровне - вместо этого используются программные реализации, работающие значительно медленнее. <br/tex> предел не существует В современных процессорах обработка денормализованных чисел происходит в десятки раз медленнее, чем обработка нормализованных чисел. Ниже приведена часть таблицы из статьи Isaac Dooley, Laxmikant Kale "Quantifying the Interference Caused by Subnormal Floating-Point Values"<ref>[http://charm.cs.uiuc.edu/papers/SubnormalOSIHPA06.pdf Статья Isaac Dooley, поэтому результатом будет NaNLaxmikant Kale "Quantifying the Interference Caused by Subnormal Floating-Point Values" ''(англ.)'']</ref>

В таблице приведены наихудшие результаты тестирования среди всех использованных компиляторов (gcc, icc, xlc) со всеми доступными флагами оптимизации. Исследователи утверждают, что различие среднего случая с худшим незначительно. Поскольку в стандартных форматах (одинарной и двойной точности) денормализованные числа получаются действительно ''очень'' маленькими и практически никак не влияют на результат некоторых вычислений (при этом заметно замедляя их скорость), то иногда они просто игнорируются. При этом используются два простых механизма, получивших называние ''Flush-to-zero'' (''FTZ'') и ''Denormals-are-zero'' (''DAZ''). Первый механизм заставляет операции возвращать ноль, как только становится ясно, что результат будет денормализованным. Второй механизм заставляет операции рассматривать поступающие на вход денормализованные числа как нули. <br/>Ярким примером подобного "отсечения" денормализованных чисел могут послужить видеокарты, в которых резкое падение скорости вычислений в сотню раз недопустимо. Так же, например, в областях, связанных с обработкой звука, нет нужды в очень маленьких числах, поскольку они представляют столь тихий звук, что его не способно воспринять человеческое ухо. В версии стандарта IEEE 754-2008 денормализованные числа (''denormal'' или ''denormalized numbers'') были переименованы в ''subnormal numbers'', то есть в числа, меньшие "нормальных". Поэтому их иногда еще называют "'''субнормальными'''".  == Диапазон значений чисел Действия с числами с плавающей запятой ==Диапазон чисел=== Умножение и деление ===Самыми простыми для восприятия арифметическими операциями над числами с плавающей запятой являются умножение и деление. Для того, которые можно записать данным способомчтобы умножить два вещественных числа в нормализованной форме необходимо перемножить их мантиссы, зависит от количества битсложить порядки, отведённых для представления мантиссы округлить и нормализовать полученное число.<!-- Пример:  e=<tex>3</tex>; m=<tex>4.734612</tex> (порядок и показателямантисса первого числа) × e=<tex>5</tex>; m=<tex>5. Пара значений показателя 417242</tex> (когда все разряды нули порядок и когда все разряды единицымантисса второго числа) ----------------------- e=<tex>8</tex>; m=<tex>25.648538980104</tex> (произведение как оно есть) зарезервирована e=<tex>8</tex>; m=<tex>25.64854</tex> (мантисса после округления) e=<tex>9</tex>; m=<tex>2.564854</tex> (нормализованная форма)--> Соответственно, чтобы произвести деление нужно разделить мантиссу делимого на мантиссу делителя и вычесть из порядка делимого порядок делителя. Затем точно так же округлить мантиссу результата и привести его к нормализованной форме.<!-- Всё это круто, но было бы еще круче написать, как оно на реальном железе умножается и делится. В двоичной системе, с учетом округления и всеми делами. Но это, пожалуй, будет уж слишком мощно для обеспечения возможности представления специальных формата "вики-конспекта". лучше куда-нибудь сюда добавить внешнюю ссылку --> === Сложение и вычитание ===Идея метода сложения и вычитания чиселс плавающей точкой заключается в приведении их к одному порядку. К ним относятся нольСначала выбирается оптимальный порядок, затем мантиссы обоих чисел представляются в соответствии с новым порядком, затем над ними производится сложение/вычитание, значения NaN (Not a Numberмантисса результата округляется и, "не число"если нужно, получается как результат операций типа деления нуля на ноль) приводится к нормализированной форме. Пример:  Выполним сложение чисел с плавающей точкой и смещенным порядком в 32-х разрядном формате <tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex> и <tex>\pm\infty405,875</tex>. Переведем <tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex>в машинный вид. Для этого сначала переведем его в двоичную систему счисления. <tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex> <tex>=</tex> <tex>-269{,}21875</tex> <tex>-269{,}21875</tex>_{<tex>10</tex>} <tex>=</tex> <tex>-100001101{,}00111</tex>_<tex>2</tex>

Нормализуем полученное двоичное число по правилам машинной арифметики. <!tex>-100001101{,}00111</tex> <tex>=</tex> <tex>- TODO: Выкинуть нафиг эту бессмысленную таблицу1{, переписать весь раздел, привести распределение значений и формулу для подсчета их количества --}0000110100111</tex><tex> \times</tex> <tex>10</tex>^<tex>8</tex>

Найдем смещенный порядок. Так как в условии говорится о 32-разрядном представлении, то смещение порядка равно <centertex>127</tex>_{<tex>10</tex>}. <tex>E</tex> <tex>=</tex> <tex>8</tex>_{<tex>10</tex>} <tex>+</tex> <tex>127</tex>_{<tex>10</tex>} <tex>=</tex> <tex>1000</tex>_<tex>2</tex> <tex>+</tex> <tex>1111111</tex>_<tex>2</tex> <tex>=</tex> <tex>10000111</tex>_<tex>2</tex>

Итак, первое число в машинном 32-разрядном представлении с плавающей точкой будет иметь вид: <trtex><th>Название (IEEE 754)1</thtex><thstrong>Тип (C)10000111</thstrong><thtex>Диапазон00001101001110000000000</thtex><th>Биты (жирным шрифтом выделен порядок числа, длина мантиссы</th><th>Биты</th></tr>{{---}} 23 бита).

<tr><td>Half precision</td><td>Нет</td><td>6 Переведем второе число в машинный вид,10&times;10^-5совершая те же действия..65504</td><td>10+1</td><td>16</td></tr>

<trtex>405,87510</tex> = <tdtex>Single precision110010101</tdtex>,<tdtex>float111000000000011010</tdtex>..._{<tdtex>2</tex>} <tex>=</tex>3,4&times;10<suptex>-381,10010101111000000000011010</suptex>..3,4&. <tex>\times;</tex> <tex>10</tex><sup>38<tex>1000</suptex></tdsup> В качестве мантиссы будут сохранены первые <tdtex>23+1</tdtex>бита после запятой т.е. <tdtex>3210010101111000000000011</td></trtex>. Очевидно, что порядок со смещением у второго числа будет таким же, как и у первого.

<tr><td>Double precision</td><td>double</td><td>1 Второе число положительное,7&times;10^-308следовательно, бит знака будет содержать ноль..1,7&times;10³⁰⁸</td><td>52+1</td><td>64</td></tr>

<tr><td>Extended precision</td><td>Нет, иногда long double</td><td>3,4&times;10^{Итак в машинном 32-4932}..3,4&times;10⁴⁹³²</td><td>64+1</td><td>80</td></tr>разрядном представлении второе число будет иметь вид:

<tex>0</tex><strong>10000111</strong><tex>10010101111000000000011</tex> Далее в арифметических операциях будет использоваться число <tex>110010101</tex>,<tex>111</tex>_<tex>2</tex>=<tex>405{,}875</tex>_{<tex>10</tex>}, а не <tex>110010101{,}111000000000011</tex>_<tex>2</tex>=<tex>405{,}87510</tex><sub><tex>10</tex></tablesub>видимо для упрощения(хотя это не совсем корректно).

== Денормализованные числа ==Денормализованные числа (denormalized\subnormal numbers) - это способ увеличить количество представимых числом с плавающей запятой значений около нуля, дабы повысить точность вычислений. Каждое значение денормализованного числа меньше самого маленького нормализованного ("обычного") значения числа с плавающей запятой Приводим полученный результат к машинному виду.Согласно стандарту, если Для этого мы должны внести поправку в порядок равен своему минимальному значению (все {{---}} уменьшить его биты - нули, а порядок формально равен своему сдвигу) и все биты мантиссы равны нулю, то это <tex>\pm0</tex>. Если же мантисса не равна нулю, то это число с порядком, на единицу большим минимального (все биты порядка, кроме младшего . Знак результата {{--- нули) и данной мантиссой}} положительный, целая часть которой считается равной нулюследовательно, а не единицебит знака содержит ноль.

То есть число с плавающей запятой, при учете вышесказанного, можно задать следующим образом: <tex>0<br/tex>* <texstrong>(-1)^s\times1.M\times2^E10000110</texstrong>, если <tex>E_{min} \le E \le E_{max}00010001010100000000000</tex> (нормализованное число)

* <tex>(-1)^s\times0 Проверим правильность наших вычислений. Переведем результат в десятичное представление.M\times2^{E_{min}}</tex>, если <tex>E=E_{min}-1</tex> (денормализованное число)

Где <tex>s</tex> - бит знака Найдем реальный порядок результата, вычтя из него значение смещения <tex>M127</tex> - последовательность битов мантиссы, <tex>E</texsub> - значение порядка (с учетом сдвига), <tex>E_{min}10</tex> - минимальное значение порядка, используемое для записи чисел (1-''сдвиг'') , <tex>E_{min}-1</texsub> - минимальное значение порядка, которое он в принципе может принять (все биты нули, 0-''сдвиг'').

<!tex>E</tex> <tex>=</tex> <tex>10000110</tex>_<tex>2</tex> <tex>-</tex> <tex>1111111</tex>_<tex>2</tex> <tex>=</tex> <tex>134</tex>_{<tex>10</tex>} <tex>- Есть непроверенная информация, что денормализованные числа исключают ситуацию, при которой a+b</tex> <tex>127</tex>_{<tex>10</tex>} <tex>=a, когда a и b - конечные числа отличные от нуля. Было бы неплохо сюда её добавить --</tex> <tex>7</tex>_{<tex>10</tex>} <tex>=</tex> <tex>111</tex><sub><tex>Хоть денормализованные числа и позволяют бороться с погрешностями и обрабатывать очень маленькие значения, за эти возможности приходится дорого платить. Ввиду сложности денормализованные числа крайне редко реализуют на аппаратном уровне - вместо этого используются программные реализации, работающие значительно медленнее. 2<br/tex>Поскольку в стандартных форматах (одинарной и двойной точности) денормализованные числа получаются действительно ''очень'' маленькими и практически никак не влияют на результат некоторых вычислений (при этом заметно замедляя их скорость), то иногда они просто игнорируются. При этом используются два простых механизма, получивших называние Flush-to-zero (FTZ) и Denormals-are-zero (DAZ). Первый механизм заставляет операции возвращать ноль, как только становится ясно, что результат будет денормализованным. Второй механизм заставляет операции рассматривать поступающие на вход денормализованные числа как нули. <br/sub>Ярким примером подобного "отсечения" денормализованных чисел могут послужить видеокарты, в которых резкое падение скорости вычислений в сотню раз недопустимо. Так же, например, в областях, связанных с обработкой звука, нет нужды в очень маленьких числах, поскольку они представляют столь тихий звук, что его не способно воспринять человеческое ухо.

В версии стандарта IEEE 754-2008 денормализованные числа (denormal или denormalized numbers) были переименованы в subnormal number Следовательно, то есть в числачисло результата будет иметь вид: <tex>A</tex> <tex>=</tex> <tex>1{, меньшие "нормальных". Поэтому их иногда еще называют "субнормальными".}000100010101</tex> <tex>\times</tex> <tex>10</tex>^{<tex>111</tex>} <tex>=</tex> <tex>10001000</tex>,<tex>10101</tex>_<tex>2</tex> <tex>=</tex> <tex>136{,}65625</tex>_{<tex>10</tex>}

<P>Как видно из таблицы, величина это этого типа занимает в памяти <tex>8 </tex> байт. На

<center> <table border=1 CellSpacing{|class="0wikitable" CellPadding="2"> <tr><td>S</td><td>Смещенный !Знак || Смещённый порядок</td><td>|| Мантисса</td></tr> |-<tr><td> |63</td><td>|| 62..52</td><td>|| 51..0</td></tr> |}

<tex>51</tex>, т.е. мантисса занимает младшие <tex>52 </tex> бита. Черта указывает здесь на

мантиссы, но поскольку она всегда равна <tex>1</tex>, здесь данный бит не требуется и

соответствовал нуль. Например, для типа Double порядок занимает <tex>11 </tex> бит и

имеет диапазон от <tex>2</tex>^{<tex>-1023</tex>} до <tex>2</tex>^{<tex>1023</tex>}, поэтому смещение равно <tex>1023</tex>_{(<tex>10</tex>)} <tex> = </tex>

<tex>1111111111</tex>_{(<tex>2</tex>)}. Наконец, бит с номером <tex>63 </tex> указывает на знак числа.</P>

<LI>нормализовать двоичное число, т.е. записать в виде <I>M</I>&nbsp;&<tex> \times;&nbsp;</tex>2<I>^p</I>, где <I>M</I>&nbsp;&#151;

мантисса (ее целая часть равна <tex>1</tex>_{(<tex>2</tex>)}) и <I>p</I>&nbsp;&#151; порядок, записанный в

<P><B>Пример.</B> Запишем код числа <tex>-312</tex>,<tex>3125</tex>.</P>

<LI>Двоичная запись модуля этого числа имеет вид <tex>100111000{,}0101</tex>.</LI>

<LI>Имеем <tex>100111000{,}0101 </tex> <tex>= </tex>

<tex>1{,}001110000101&nbsp;&</tex><tex>\times;&nbsp;</tex><tex>2</tex>^<tex>8</tex>.</LI>

<LI>Получаем смещенный порядок <tex>8 </tex> <tex>+ </tex> <tex>1023 </tex> <tex>= </tex> <tex>1031</tex>. Далее имеем

<tex>1031</tex>_{(<tex>10</tex>)} <tex> = </tex> <tex>10000000111</tex>_{(<tex>2</tex>)}.</LI>

<center> <table border=1 CellSpacing{|class="0wikitable" CellPadding="2"> <tr><td> | 1</td><td>|| 10000000111</td><td>|| 0011100001010000000000000000000000000000000000000000</td></tr> |- | 63 || 62..52 || 51..0 |}

<centerOL>

<table border=1 CellSpacing{|class="wikitable" | 0 || 01111111110 || 1100011000000000000000000000000000000000000000000000 |- | 63 || 62..52 || 51..0" CellPadding="2"> |}

</tableLI>Прежде всего замечаем, что это код положительного числа, поскольку в

разряде с номером <tex>63</centertex>записан нуль. Получим порядок этого числа:

<OLtex>01111111110</tex>_{(<tex>2</tex>)} <tex>=</tex> <tex>1022</tex>_{(<tex>10</tex>)}; <tex>1022</tex> <tex>-</tex> <tex>1023</tex> <tex>=</tex> <tex>-1</tex>.</LI>

<LI>Прежде всего замечаемЧисло имеет вид <tex>1</tex>, что это код положительного числа, поскольку в <tex>1100011</tex><tex> \times </tex><tex>2</tex>^{<tex>-1</tex>} или

разряде с номером 63 записан нуль<tex>0</tex>,<tex>11100011</tex>. Получим порядок этого числа: </LI>

01111111110<subLI>(2)Переводом в десятичную систему счисления получаем <tex>0</subtex> = 1022,<subtex>(10)88671875</subtex>; 1022 - 1023 = -1.</LI>

0,11100011.</LIOL>

<LI>Переводом в десятичную систему счисления получаем 0== См. также ==* [[Представление символов, таблицы кодировок]]* [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом,88671875.</LI>дополнительный код]]

== Примечания ==<references/OL>

=== Использованные материалы ==='''На русском'''* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C http://ru.wikipedia.org/wiki/Экспоненциальная_записьВикипедия {{---}} Экспоненциальная запись]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D1%81_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%BE%D0%B9 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_с_плавающей_запятой]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE#.D0.9F.D1.80.D0.B5.D0.B4.D1.81.D1.82.D0.B0.D0.B2.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB_.D0.B2_.D0.BF.D0.B0.D0.BC.D1.8F.D1.82.D0.B8_.D0.BA.D0.BE.D0.BC.D0.BF.D1.8C.D1.8E.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B0 http://ru.wikipedia.org/wiki/Википедия {{---}} Числос плавающей запятой]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BD%D0%BE%D0%BB%D1%8C http://ru.wikipedia.org/wiki/Википедия {{---}} Отрицательный и положительный ноль]*[http://enhabrahabr.wikipedia.orgru/blogs/cpp/wiki112953/NaNХабрахабр {{---}} статья пользователя Yruslan "Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой"]*[http://ruwww.wikipediasgu.orgru/wikiprcnit/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 http:teach//ru3.php Статья Лапшевой Е.wikipediaЕ.org"Машинная арифметика с вещественными числами"] <span style="color: red">Статья удалена</wiki/Число_половинной_точности]span> '''На английском'''*[http://ruen.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 NaN Wikipedia {{---}} NaN]*[http://ruen.wikipedia.org/wiki/Число_одинарной_точностиFloating_point Wikipedia {{---}} Floating point]*[http://ruen.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_двойной_точностиIEEE_754-2008 Wikipedia {{---}} IEEE 754-2008]*[http://habrahabr.ru/blogs/cpp/112953/ http://habrahabr.ru/blogs/cpp/112953/]=== Что стоит прочесть ===*[http://rugrouper.wikipediaieee.org/wikigroups/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 http://ru754 Материалы по стандарту IEEE 754 ''(англ.wikipedia.org/wiki/Число_четверной_точности)'']*[http://comp-science.narodsoftelectro.ru/Cod/cod.html http://comp-science.narod.ru/Cod/codieee754.htmlРусский перевод стандарта IEEE 754]