Изменения

Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов представления действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений, его можно считать аналогом экспоненциальной записи чисел, но только в памяти компьютера.

{{Определение|definition=Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые '''знак''' (англ.'' sign''), '''порядок''' (англ. ''exponent'') и '''мантиссу'''Плавающая запятая(англ. ''mantis' '). В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа (<tex>0</tex> {{---}} если число положительное, <tex>1</tex> {{---}} если число отрицательное). При этом порядок записывается как целое число в [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|коде со сдвигом]], а мантисса {{---}} в [[#Нормальная и нормализованная форма представления дробных чисел|нормализованном виде]], своей дробной частью в которой число хранится двоичной системе счисления. Вот пример такого числа из <tex>16</tex> двоичных разрядов:{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"|-!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак|-!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок!colspan=10 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса|-style="text-align: right"!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0<!-- 8 бит -->!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0|-|style="border: none"| |colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10|colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0|} Знак {{---}} один бит, указывающий знак всего числа с плавающей точкой. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в форме [httpследующем виде: <tex>(-1)^S \times M \times B^E</tex>, где <tex>S</rutex> {{---}} знак, <tex>B</tex> {{---}} основание, <tex>E</tex> {{---}} порядок, а <tex>M</tex> {{---}} мантисса.wikipedia.orgДесятичное число, записываемое как <tex> ReE</wikitex>, где <tex>R</%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C мантиссы] и tex> {{---}} число в полуинтервале <tex>[http:1; 10)</tex>, <tex>E</tex> {{---}} степень, в которой стоит множитель <tex>10</tex>; в нормализированной форме модуль <tex>R</tex> будет являться мантиссой, а <tex>E</ru.wikipedia.orgtex> {{---}} порядком, а <tex>S</wikitex> будет равно <tex>1</%D0%9F%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8 показателя степени]. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность tex> тогда и изменяющуюся абсолютнуютолько тогда, когда <tex>R</tex> принимает отрицательное значение. Наиболее часто используемое представление утверждено Например, в стандарте [http:числе <tex>-2435e9</tex> * <tex>S</tex> <tex>=</tex> <tex>1</tex>* <tex>B</tex> <tex>=</tex> <tex>10</tex>* <tex>M</tex> <tex>=</tex> <tex>2435</tex>* <tex>E</ru.wikipedia.orgtex> <tex>=</wikitex> <tex>9</IEEE_754 IEEE 754]tex> Порядок также иногда называют '''экспонентой''' или просто '''показателем степени'''.}}<!-- TODO:Абзац ниже нужно перенести в раздел с проблемами чисел -->

Более простым вариантом представления вещественных чисел является вариант с фиксированной точкой, когда целая и вещественная части хранятся отдельно. Например, на целую часть отводится всегда <tex>X</tex> бит и на дробную отводится всегда <tex>Y</tex> бит. Такой способ в архитектурах процессоров не присутствует. Отдаётся предпочтение числам с плавающей запятой, как компромиссу между диапазоном допустимых значений и точностью. == Нормальная и нормализованная форма == '''Нормальной формой''' (англ. ''normal form'') числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале <tex>[0; 1)</tex>. Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, <tex>0{,}0001</tex> можно записать в 4 формах — <tex>0{,}0001 \times 10</tex>^<tex>0</tex>, <tex>0{,}001 \times 10</tex>^{<tex>−1</tex>}, <tex>0{,}01 \times 10</tex>^{<tex>−2</tex>}, <tex>0{,}1 \times 10</tex>^{<tex>−3</tex>}), поэтому распространена также другая форма записи — '''нормализованная''' (англ. ''normalized''), в которой мантисса десятичного числа принимает значения от <tex>1</tex> (включительно) до <tex>10</tex> (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от <tex>1</tex> (включительно) до <tex>2</tex> (не включительно). То есть в мантиссе слева от запятой до применения порядка находится ровно один знак. В наиболее распространённом формате такой форме любое число (кроме <tex>0</tex>) записывается единственным образом. Ноль же представить таким образом невозможно, поэтому стандарт предусматривает специальную последовательность битов для задания числа <tex>0</tex> (а заодно и некоторых других [[#Особые значения чисел с плавающей запятой представляется точкой|полезных чисел]], таких как <tex>-\infty</tex> и <tex>+\infty</tex>).Так как старший двоичный разряд (целая часть) мантиссы вещественного числа в нормализованном виде последовательности битоввсегда равен «<tex>1</tex>», то его можно не записывать, сэкономив таким образом один бит, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем <tex>2</tex> (в троичной, четверичной и др.), этого замечательного свойства нет (ведь целая часть там может быть не только единицей). == Типы чисел с плавающей точкой (по IEEE 754) ===== Число половинной точности (''Binary16'', ''Half precision'') === '''Число́ полови́нной то́чности'''  — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину машинного слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>16</tex> бит или <tex>2</tex> байта). В силу невысокой точности этот формат представления чисел с плавающей запятой обычно используется в видеокартах, где небольшой размер и высокая скорость работы важнее точности вычислений. {|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"|-!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак|-!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса|-style="text-align: right"!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="border: none"|1,!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0|-|style="border: none"| |colspan=3 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14|colspan=2 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10|style="border: none"| |colspan=6 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0|}Порядок записан [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|со сдвигом]] '''<tex>-15</tex>'''. То есть чтобы получить актуально значение порядка нужно вычесть из которых кодирует собой мантиссу него сдвиг. Сдвиг можно получить по формуле <tex>2^{b-1}-1</tex>, где <tex>b</tex> {{---}} число бит, отведенное на хранение порядка (в случае числаполовинной точности <tex>b=5</tex>). '''Ограничения точности'''* Целые от нуля до <tex>2048</tex> передаются как есть.* Целые от <tex>2049</tex> до <tex>4096</tex> округляются к ближайшему чётному целому.* Целые от <tex>4097</tex> до <tex>8192</tex> округляются до ближайшего целого, делящегося нацело на четыре.* Целые от <tex>8193</tex> до <tex>16384</tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на восемь.* Целые от <tex>16385</tex> до <tex>32768</tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на шестнадцать.* Целые от <tex>32769</tex> до <tex>65535</tex> округляются до ближайшего целого, делящегося на тридцать два.  === Число одинарной точности (''Binary32'', ''Single precision'', ''float'') === '''Число́ одина́рной то́чности''' — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти одно машинное слово (в случае 32-битного компьютера — <tex>32</tex> бита или <tex>4</tex> байта). Используется для работы с вещественными числами везде, где не нужна очень высокая точность. {|class="wikitable" style="background-color: transparent; border-collapse: collapse; border: none"|-!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак|-!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|!colspan=8 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок (8 бит)!colspan=24 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса (23+1 бита)|-style="text-align: right"!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="border: none"|1,!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: transparent; border: none"||-|style="border: none"| |colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|30|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|23|style="border: none"| |colspan=20 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|22|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0|}Порядок записан со сдвигом '''<tex>-127</tex>'''.   === Число двойной точности (''Binary64'', ''Double precision'', ''double'') === '''Число́ двойно́й то́чности''' — компьютерный формат представления чисел, другая часть занимающий в памяти два машинных слова (в случае 32-битного компьютера — показатель степени<tex>64</tex> бита или <tex>8</tex> байт). Часто используется благодаря своей неплохой точности, даже несмотря на двойной расход памяти и ещё один сетевого трафика относительно чисел одинарной точности. {|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"|-!colspan=7 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак|-!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|!colspan=11 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок<br />(11 бит)!colspan=53 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса<br />(52+1 бит используется для указания знака числа)|-style="text-align: right"!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="border: none"|1,!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0|-|style="border: none"| |colspan=4 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|62|colspan=7 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|52|style="border: none"| |colspan=48 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|51|colspan=4 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0|}Порядок записан со сдвигом '''<tex>-1023</tex>'''. === Число четверной точности (''Binary128'', ''Quadruple precision'') === '''Число́ четверно́й то́чности''' — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти четыре машинных слова (в случае 32-битного компьютера — <tex>128</tex> бит или <tex>16</tex> байт). Используется в случае необходимости крайне высокой точности. {|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"|-!colspan=7 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак|-!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|!colspan=15 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок<br />(15 бит)!colspan=47 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса<br />(112+1 бит)|-style="text-align: right"!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0 !style="background- если число положительноеcolor: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="border: none"|1, !style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0|-|style="border: none"| |colspan=8 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|126|colspan=7 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|112|style="border: none"| |colspan=38 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|111|}<br />{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"|-!colspan=66 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса<br />(112+1 бит)|-style="text-align: right"!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background- если число отрицательноеcolor: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0|-|colspan=66 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0|}Порядок записан со сдвигом '''<tex>-16383</tex>'''. Обычно этот формат реализуется программно, случаи аппаратной реализации крайне редки. Также не гарантируется поддержка этого типа в языках программирования, хотя кое-где она и реализована (например, компилятор gcc для архитектуры x86 позволяет использовать тип __float128, являющийся программной реализацией числа с четверной точностью).В совокупности эти факторы делают Quadruple весьма экзотичным и редко встречающимся форматом чисел с плавающей запятой. 

==== Нормальная форма и нормализованная форма =Диапазон значений чисел с плавающей запятой ===Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. Пара значений показателя (когда все разряды нули и когда все разряды единицы) зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся ноль, значения NaN (Not a Number, "не число", получается как результат операций типа деления нуля на ноль) и <tex>\pm\infty</tex>.

''Нормальной формой'' числа с плавающей запятой называется такая формаДанная таблица только лишь примерно указывает границы допустимых значений, в которой мантисса (без учёта знака) находится на полуинтервале учета возрастающей погрешности с ростом абсолютного значения и существования [[0; 1). Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах — 0,0001×10⁰, 0,001×10⁻¹, 0,01×10⁻², 0,1×10⁻³), поэтому распространена также другая форма записи — нормализованная, в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного #Денормализованные числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно). В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Недостаток заключается в том, что в таком виде невозможно представить 0, поэтому представление |денормализованных чисел в информатике предусматривает специальный признак (бит) для числа 0.Так как старший разряд (целая часть числа) мантиссы двоичного числа (кроме 0) в нормализованном виде равен «1», то при записи мантиссы числа в эвм старший разряд можно не записывать, что и используется в стандарте [http://ru.wikipedia.org/wiki/IEEE_754 IEEE 754]. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 (в троичной, четверичной и др.), этого свойства нет].

<!-- TODO: Выкинуть нафиг эту бессмысленную таблицу, переписать весь раздел, привести распределение значений и формулу для подсчета их количества -->{| class=== "wikitable" !Название в IEEE 754|| Название типа переменной в Си || Диапазон чисел, представимых значений || Бит в формате с плавающей запятой ===мантиссе || Бит на переменную |-Диапазон чисел |Half precision||-||6, которые можно записать данным способом10&times;10^-5..65504||11||16 |- |Single presicion||float||-3, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя4&times;10³⁸. Пара значений показателя зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся значения [http:3,4&times;10³⁸||23||32 |- |Double precision||double||-1,7&times;10<sup>308</rusup>.wikipedia.org1,7&times;10<sup>308</wiki/NaN NaN] sup>||53||64 |- |Extended precision||На некоторых архитектурах (Not a Number, не числонапример в сопроцессоре Intel) и +/long double||-INF (Infinity3, [http:/4&times;10<sup>4932</rusup>.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C бесконечность])3, получающихся в результате операций типа деления на ноль нуля, положительных и отрицательных чисел.4&times;10<sup>4932||65||80 |}

== Особые значения чисел с плавающей точкой ===== Ноль (со знаком) ===Как уже было оговорено выше, в нормализованной форме числа с плавающей точкой невозможно представить ноль. Поэтому для его представления зарезервированы специальные значения мантиссы и порядка {{---}} число считается нулём, если все его биты, кроме знакового, равны нулю. При этом в зависимости от значения бита знака ноль может быть как положительным, так и отрицательным.  {| class="standardwikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"!Точность || Одинарная || Двойная || Расширенная

! Размер (байты)colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"| 4 || 8 || 10Знак

! Число десятичных знаковstyle="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса!style="border: none"| |-style="text-align: right"!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"| 7 0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"| 15 0!style="border: none"|1,!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: transparent; border: none"| 19&nbsp;=&nbsp;<tex>\pm0</tex>

|style="border: none"| |colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10|style="border: none"| |colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|0|} '''Арифметика нуля со знаком'''<br/>Арифметика отрицательного нуля аналогична таковой для любого отрицательного числа и понятна интуитивно. Вот несколько примеров: * <tex>\frac{-0}{ \left| x \right| } = -0\,\! Наименьшее значение </tex> (если <tex>x\ne0</tex>) * <tex>(-0) \cdot (-0)= +0\, denorm\!</tex> * <tex>\left| 1x \right| \cdot (-0) = -0\,\!</tex> * <tex>x + (\pm 0) = x\,4×10\!<sup/tex>−45 * <tex>(-0) + (-0) = -0\,\!</suptex> * <tex> || 5(+0) + (+0) = +0\,0×10\!<sup/tex>−324 * <tex>\frac{-0}{-\infty} = +0\,\!</suptex>  * <tex>\frac{\left|x\right| 1}{-0} = -\infty\,9×10\!<sup/tex>−4951 (если <tex>x\ne0</suptex>) === Неопределенность (''NaN'') ==='''NaN''' {{---}} это аббревиатура от фразы "''not a number''". NaN является результатом арифметических операций, если во время их выполнения произошла ошибка (примеры см. ниже). В IEEE 754 NaN представлен как число, в котором все двоичные разряды порядка {{---}} единицы, а мантисса не нулевая. {|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"

! Наименьшее значение (>0), normalcolspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"| 1,2×10⁻³⁸ || 2,3×10⁻³⁰⁸ || 3,4×10⁻⁴⁹³²Знак

! Наибольшее значениеstyle="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса!style="border: none"| |-style="text-align: right"!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"| 31!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="border: none"|1,4×10!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰+38/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"| ⁰/_1,7×10!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁺³⁰⁸⁰ /₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"| ⁰/_1,1×10!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁺⁴⁹³²⁰/₁!style="background-color: transparent; border: none"|&nbsp;=&nbsp;<tex>NaN</tex>

! Поля|style="border: none"| |colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10|style="border: none"| | Scolspan=5 style="border: none; border-Eleft: 1px solid gray; text-F align: left"|9| Scolspan=5 style="border: none; border-Eright: 1px solid gray; text-F align: right"|0|} Любая операция с NaN возвращает NaN. При желании в мантиссу можно записывать информацию, которую программа сможет интерпретировать. Стандартом это не оговорено и мантисса чаще всего игнорируется.  '''Как можно получить NaN?'''<br/> * <tex>\infty+(-\infty)= NaN</tex> * <tex>0\times\infty= NaN</tex> * <tex>\frac{\pm0}{\pm0} = NaN</tex> * <tex>\frac{\pm\infty}{\pm\infty} = NaN</tex> * <tex>\sqrt{x} = NaN</tex>, где <tex>x<0</tex> Есть и другие способы получения NaN, подробности можно найти по ссылкам в [[#Ссылки| Sсоответствующем разделе]]. По определению NaN ≠ NaN, поэтому, для проверки значения переменной нужно просто сравнить ее с собой.<!-E-ITODO: написать про sNaN и qNaN -->  === Бесконечности ===В число с плавающей запятой можно записать значение <tex>+\infty</tex> или <tex>-\infty</tex>. Как и нули со знаком, бесконечности позволяют получить хотя бы близкий к правильному результат вычисления в случае переполнения. Согласно стандарту IEEE 754 число с плавающей запятой считается равным бесконечности, если все двоичные разряды его порядка {{---}} единицы, а мантисса равна нулю. Знак бесконечности определяется знаковым битом числа. {|class="wikitable" style="border-Fcollapse: collapse; border: none"

! Размеры полейcolspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак| -!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Порядок!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса!style="border: none"| |-style="text-align: right"!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-8color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-23 color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"| 1!style="background-11color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-52 color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="border: none"| 1,!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-15color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-1color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: transparent; border: none"|&nbsp;=&nbsp;<tex>\pm\infty</tex>|-|style="border: none"| |colspan=2 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|14|colspan=3 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-align: right"|10|style="border: none"| |colspan=5 style="border: none; border-left: 1px solid gray; text-align: left"|9|colspan=5 style="border: none; border-right: 1px solid gray; text-63align: right"|0

Получить бесконечность можно при переполнении и при делении ненулевого числа на ноль. При этом <tex dpi = "180">\frac{x}{0}</tex><tex>=\begin{cases}+\infty,&\text{если $x>0$;}\\NaN,&\text{если $x=0$;}\\-\infty,&\text{если $x<0$.}\end{cases} </tex> === Денормализованные числа ==='''Денормализованные числа''' (англ. ''denormalized/subnormal numbers'') - это способ увеличить количество представимых числом с плавающей запятой значений около нуля, дабы повысить точность вычислений. Каждое значение денормализованного числа меньше самого маленького '''нормализованного''' ("обычного") значения числа с плавающей запятой.Согласно стандарту, если порядок равен своему минимальному значению (все его биты {{---}} нули, а истинное значение порядка равно его сдвигу) и все биты мантиссы равны нулю, то это <tex>\pm0</tex>. Если же мантисса не равна нулю, то это число с порядком, на единицу большим минимального (все биты порядка, кроме младшего {{---}} нули) и данной мантиссой, '''целая часть которой считается равной нулю, а не единице'''. То есть число с плавающей запятой, при учете вышесказанного, можно задать следующим образом:<br/>* <tex>(-1)^s\times1,M\times2^E</tex>, если <tex>E_{min} \le E \le E_{max}</tex> (''нормализованное число'') * <tex>(-1)^s\times0,M\times2^{E_{min}}</tex>, если <tex>E=E_{min}-1</tex> (''денормализованное число'') Где <tex>s</tex> {{---}} бит знака, <tex>M</tex> {{---}} последовательность битов мантиссы, <tex>E</tex> {{---}} значение порядка (с учетом сдвига), <tex>E_{min}</tex> {{---}} минимальное значение порядка, используемое для записи чисел (1 {{---}} ''сдвиг'') , <tex>E_{min}-1</tex> {{---}} минимальное значение порядка, которое он в принципе может принять (все биты нули, 0 {{---}} ''сдвиг''). Хоть денормализованные числа и позволяют бороться с погрешностями и обрабатывать очень маленькие значения, за эти возможности приходится дорого платить. Ввиду сложности денормализованные числа крайне редко реализуют на аппаратном уровне - вместо этого используются программные реализации, работающие значительно медленнее. <br/> В современных процессорах обработка денормализованных чисел происходит в десятки раз медленнее, чем обработка нормализованных чисел. Ниже приведена часть таблицы из статьи Isaac Dooley, Laxmikant Kale "Quantifying the Interference Caused by Subnormal Floating-Point Values"<ref>[http://charm.cs.uiuc.edu/papers/SubnormalOSIHPA06.pdf Статья Isaac Dooley, Laxmikant Kale "Quantifying the Interference Caused by Subnormal Floating-Point Values" ''(англ.)'']</ref> {| class="wikitable" !Производитель||Процессор||Замедление (разы) |- |IBM||PowerPC 970||2,4 |- |AMD||Athlon||6,0 |- |Intel||Pentium 3||15,8 |- |AMD||Athlon 64||21,4 |- |AMD||Opteron64||23,8 |- |Intel||Core Duo||44,2 |- |Intel||P4 Xeon||97,9 |- |Intel||Pentium 4||131,0 |- |Intel||Itanium 2||183,2 |- |Sun||UltraSPARC IV||520,0 |} В таблице приведены наихудшие результаты тестирования среди всех использованных компиляторов (gcc, icc, xlc) со всеми доступными флагами оптимизации. Исследователи утверждают, что различие среднего случая с худшим незначительно. Поскольку в стандартных форматах (одинарной и двойной точности) денормализованные числа получаются действительно ''очень'' маленькими и практически никак не влияют на результат некоторых вычислений (при этом заметно замедляя их скорость), то иногда они просто игнорируются. При этом используются два простых механизма, получивших называние ''Flush-to-zero'' (''FTZ'') и ''Denormals-are-zero'' (''DAZ''). Первый механизм заставляет операции возвращать ноль, как только становится ясно, что результат будет денормализованным. Второй механизм заставляет операции рассматривать поступающие на вход денормализованные числа как нули. <br/>Ярким примером подобного "отсечения" денормализованных чисел могут послужить видеокарты, в которых резкое падение скорости вычислений в сотню раз недопустимо. Так же, например, в областях, связанных с обработкой звука, нет нужды в очень маленьких числах, поскольку они представляют столь тихий звук, что его не способно воспринять человеческое ухо. В версии стандарта IEEE 754-2008 денормализованные числа (''denormal'' или ''denormalized numbers'') были переименованы в ''subnormal numbers'', то есть в числа, меньшие "нормальных". Поэтому их иногда еще называют "'''субнормальными'''".  == Действия с числами с плавающей запятой ===== Умножение и деление ===Самыми простыми для восприятия арифметическими операциями над числами с плавающей запятой являются умножение и деление. Для того, чтобы умножить два вещественных числа в нормализованной форме необходимо перемножить их мантиссы, сложить порядки, округлить и нормализовать полученное число.<!-- Пример:  e=<tex>3</tex>; m=<tex>4.734612</tex> (порядок и мантисса первого числа) × e=<tex>5</tex>; m=<tex>5.417242</tex> (порядок и мантисса второго числа) ----------------------- e=<tex>8</tex>; m=<tex>25.648538980104</tex> (произведение как оно есть) e=<tex>8</tex>; m=<tex>25.64854</tex> (мантисса после округления) e=<tex>9</tex>; m=<tex>2.564854</tex> (нормализованная форма)--> Соответственно, чтобы произвести деление нужно разделить мантиссу делимого на мантиссу делителя и вычесть из порядка делимого порядок делителя. Затем точно так же округлить мантиссу результата и привести его к нормализованной форме.<!-- Всё это круто, но было бы еще круче написать, как оно на реальном железе умножается и делится. В двоичной системе, с учетом округления и всеми делами. Но это, пожалуй, будет уж слишком мощно для формата "вики-конспекта". лучше куда-нибудь сюда добавить внешнюю ссылку --> === Сложение и вычитание ===Идея метода сложения и вычитания чисел с плавающей точкой заключается в приведении их к одному порядку. Сначала выбирается оптимальный порядок, затем мантиссы обоих чисел представляются в соответствии с новым порядком, затем над ними производится сложение/вычитание, мантисса результата округляется и, если нужно, результат приводится к нормализированной форме. Пример:  Выполним сложение чисел с плавающей точкой и смещенным порядком в 32-х разрядном формате <tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex> и <tex>405,875</tex>. Переведем <tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex> в машинный вид. Для этого сначала переведем его в двоичную систему счисления. <tex>-269</tex> <tex>7</tex><tex>/</tex><tex>32</tex> <tex>=</tex> <tex>-269{,}21875</tex> <tex>-269{,}21875</tex>_{<tex>10</tex>} <tex>=</tex> <tex>-100001101{,}00111</tex>_<tex>2</tex>  Нормализуем полученное двоичное число по правилам машинной арифметики. <tex>-100001101{,}00111</tex> <tex>=</tex> <tex>-1{,}0000110100111</tex><tex> \times</tex> <tex>10</tex>^<tex>8</tex>  Найдем смещенный порядок. Так как в условии говорится о 32-разрядном представлении, то смещение порядка равно <tex>127</tex>_{<tex>10</tex>}. <tex>E</tex> <tex>=</tex> <tex>8</tex>_{<tex>10</tex>} <tex>+</tex> <tex>127</tex>_{<tex>10</tex>} <tex>=</tex> <tex>1000</tex>_<tex>2</tex> <tex>+</tex> <tex>1111111</tex>_<tex>2</tex> <tex>=</tex> <tex>10000111</tex>_<tex>2</tex>  Число отрицательное, следовательно, в бите знака будет стоять единица.  Итак, первое число в машинном 32-разрядном представлении с плавающей точкой будет иметь вид: <tex>1</tex><strong>10000111</strong><tex>00001101001110000000000</tex> (жирным шрифтом выделен порядок числа, длина мантиссы {{---}} 23 бита).  Переведем второе число в машинный вид, совершая те же действия.  <tex>405,87510</tex> = <tex>110010101</tex>,<tex>111000000000011010</tex>..._<tex>2</tex> <tex>=</tex> <tex>1,10010101111000000000011010</tex>... <tex>\times</tex> <tex>10</tex>^{<tex>1000</tex>} В качестве мантиссы будут сохранены первые <tex>23</tex> бита после запятой т.е. <tex>10010101111000000000011</tex>. Очевидно, что порядок со смещением у второго числа будет таким же, как и у первого.  Второе число положительное, следовательно, бит знака будет содержать ноль.  Итак в машинном 32-разрядном представлении второе число будет иметь вид:  <tex>0</tex><strong>10000111</strong><tex>10010101111000000000011</tex> Далее в арифметических операциях будет использоваться число <tex>110010101</tex>,<tex>111</tex>_<tex>2</tex>=<tex>405{,}875</tex>_{<tex>10</tex>}, а не <tex>110010101{,}111000000000011</tex>_<tex>2</tex>=<tex>405{,}87510</tex>_{<tex>10</tex>} видимо для упрощения(хотя это не совсем корректно).  Порядки у слагаемых равны, поэтому пропускаем шаг выравнивания порядков и проводим вычитание мантисс по правилам двоичной арифметики. В компьютере этим занимается арифметический сопроцессор, встроенный в центральный процессор машины.  <tex>1</tex>,<tex>1001010111100</tex>_<tex>2</tex> <tex>-</tex> <tex>1{,}0000110100111</tex>_<tex>2</tex> <tex>=</tex> <tex>0{,}1000100010101</tex>_<tex>2</tex>  Приводим полученный результат к машинному виду. Для этого мы должны внести поправку в порядок {{---}} уменьшить его на единицу. Знак результата {{---}} положительный, следовательно, бит знака содержит ноль.  <tex>0</tex><strong>10000110</strong><tex>00010001010100000000000</tex>  Проверим правильность наших вычислений. Переведем результат в десятичное представление.  Найдем реальный порядок результата, вычтя из него значение смещения <tex>127</tex>_{<tex>10</tex>}.  <tex>E</tex> <tex>=</tex> <tex>10000110</tex>_<tex>2</tex> <tex>-</tex> <tex>1111111</tex>_<tex>2</tex> <tex>=</tex> <tex>134</tex>_{<tex>10</tex>} <tex>-</tex> <tex>127</tex>_{<tex>10</tex>} <tex>=</tex> <tex>7</tex>_{<tex>10</tex>} <tex>=</tex> <tex>111</tex>_<tex>2</tex>  Следовательно, число результата будет иметь вид: <tex>A</tex> <tex>=</tex> <tex>1{,}000100010101</tex> <tex>\times</tex> <tex>10</tex>^{<tex>111</tex>} <tex>=</tex> <tex>10001000</tex>,<tex>10101</tex>_<tex>2</tex> <tex>=</tex> <tex>136{,}65625</tex>_{<tex>10</tex>}  Результат наших вычислений верен, так как <tex>405{,}875</tex> - <tex>269{,}21875</tex> <tex>=</tex> <tex>136{,}65625</tex>. === Алгоритм получения представления вещественного числа в памяти ЭВМ === <P>Покажем преобразование действительного числа для представления его в  памяти ЭВМ на примере величины типа Double.</P> <P>Как видно из таблицы, величина этого типа занимает в памяти <tex>8</tex> байт. На  рисунке ниже показано, как здесь представлены поля мантиссы и порядка (нумерация битов осуществляется справа налево):</P> {|class="wikitable" !Знак || Смещённый порядок || Мантисса |- |63 || 62..52 || 51..0 |}  <P>Можно заметить, что старший бит, отведенный под мантиссу, имеет номер  <tex>51</tex>, т.е. мантисса занимает младшие <tex>52</tex> бита. Черта указывает здесь на  положение двоичной запятой. Перед запятой должен стоять бит целой части  мантиссы, но поскольку она всегда равна <tex>1</tex>, здесь данный бит не требуется и  соответствующий разряд отсутствует в памяти (но он подразумевается).  Значение порядка хранится здесь не как целое число, представленное в  дополнительном коде. Для упрощения вычислений и сравнения действительных  чисел значение порядка в ЭВМ хранится в виде <strong>смещенного числа</strong>, т.е. к  настоящему значению порядка перед записью его в память прибавляется  смещение. Смещение выбирается так, чтобы минимальному значению порядка  соответствовал нуль. Например, для типа Double порядок занимает <tex>11</tex> бит и  имеет диапазон от <tex>2</tex>^{<tex>-1023</tex>} до <tex>2</tex>^{<tex>1023</tex>}, поэтому смещение равно <tex>1023</tex>_{(<tex>10</tex>)} <tex>=</tex>  <tex>1111111111</tex>_{(<tex>2</tex>)}. Наконец, бит с номером <tex>63</tex> указывает на знак числа.</P> <P>Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий <strong>алгоритм</strong> для  получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:</P> <OL> <LI>перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;</LI> <LI>нормализовать двоичное число, т.е. записать в виде <I>M</I> <tex> \times </tex>2<I>^p</I>, где <I>M</I>&nbsp;&#151;  мантисса (ее целая часть равна <tex>1</tex>_{(<tex>2</tex>)}) и <I>p</I>&nbsp;&#151; порядок, записанный в  десятичной системе счисления;</LI> <LI>прибавить к порядку смещение и перевести смещенный порядок в двоичную  систему счисления;</LI> <LI>учитывая знак заданного числа (0&nbsp;&#151; положительное; 1&nbsp;&#151; отрицательное),  выписать его представление в памяти ЭВМ.</LI> </OL> <P><B>Пример.</B> Запишем код числа <tex>-312</tex>,<tex>3125</tex>.</P> <OL> <LI>Двоичная запись модуля этого числа имеет вид <tex>100111000{,}0101</tex>.</LI> <LI>Имеем <tex>100111000{,}0101</tex> <tex>=</tex>  <tex>1{,}001110000101</tex><tex>\times</tex><tex>2</tex>^<tex>8</tex>.</LI> <LI>Получаем смещенный порядок <tex>8</tex> <tex>+</tex> <tex>1023</tex> <tex>=Cсылки </tex> <tex>1031</tex>. Далее имеем  <tex>1031</tex>_{(<tex>10</tex>)} <tex>=</tex> <tex>10000000111</tex>_{(<tex>2</tex>)}.</LI> <LI>Окончательно {|class="wikitable" | 1 || 10000000111 || 0011100001010000000000000000000000000000000000000000 |- | 63 || 62..52 || 51..0 |}  </LI> </OL> <P>Очевидно, что более компактно полученный код стоит записать следующим  образом: C073850000000000₍₁₆₎.</P> <P>Другой пример иллюстрирует обратный переход от кода действительного  числа к самому числу.</P> <P><B>Пример.</B> Пусть дан код 3FEC600000000000₍₁₆₎ или <OL> {|class="wikitable" | 0 || 01111111110 || 1100011000000000000000000000000000000000000000000000 |- | 63 || 62..52 || 51..0 |}   <LI>Прежде всего замечаем, что это код положительного числа, поскольку в  разряде с номером <tex>63</tex> записан нуль. Получим порядок этого числа:  <tex>01111111110</tex>_{(<tex>2</tex>)} <tex>=</tex> <tex>1022</tex>_{(<tex>10</tex>)}; <tex>1022</tex> <tex>-</tex> <tex>1023</tex> <tex>=</tex> <tex>-1</tex>.</LI> <LI>Число имеет вид <tex>1</tex>,<tex>1100011</tex><tex> \times </tex><tex>2</tex>^{<tex>-1</tex>} или  <tex>0</tex>,<tex>11100011</tex>.</LI> <LI>Переводом в десятичную систему счисления получаем <tex>0</tex>,<tex>88671875</tex>.</LI>  </OL> == См. также ==* [[Представление символов, таблицы кодировок]]* [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код]] == Примечания ==<references/> == Ссылки ===== Использованные материалы ==='''На русском'''* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C Википедия {{---}} Экспоненциальная запись]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D1%81_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%BE%D0%B9 http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_с_плавающей_запятойВикипедия {{---}} Число с плавающей запятой]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A79E%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8186%D0%BBB0%D1%82%D0%BE#.B5%D0.9F.%BB%D1.80.%8C%D0.B5.D0.B4.%BD%D1.81.D1.82.%8B%D0.B0.%B9_%D0.B2.%B8_%D0.BB.%BF%D0.B5.%BE%D0.BD.%BB%D0.B8.%BE%D0.B5_.D1.87.%B6%D0.%B8.%D1.81.%82%D0.%B5.%D0.BB_.%BB%D1%8C%D0.B2_.D0.BF.D0.B0.D0.BC.%BD%D1.8F.D1.82.%8B%D0.B8_.%B9_%D0.BA.%BD%D0.%BE.%D0.BC.D0.BF.%BB%D1.%8CВикипедия {{---}} Отрицательный и положительный ноль]*[http://habrahabr.D1ru/blogs/cpp/112953/ Хабрахабр {{---}} статья пользователя Yruslan "Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой"]*[http://www.8Esgu.D1ru/prcnit/teach/3.82php Статья Лапшевой Е.D0Е.B5"Машинная арифметика с вещественными числами"] <span style="color: red">Статья удалена</span> '''На английском'''*[http://en.D1wikipedia.80org/wiki/NaN Wikipedia {{---}} NaN]*[http://en.D0wikipedia.B0 org/wiki/Floating_point Wikipedia {{---}} Floating point]*[http://ruen.wikipedia.org/wiki/ЧислоIEEE_754-2008 Wikipedia {{---}} IEEE 754-2008] === Что стоит прочесть ===* [http://grouper.ieee.org/groups/754 Материалы по стандарту IEEE 754 ''(англ.)'']* [http://softelectro.ru/ieee754.html Русский перевод стандарта IEEE 754]    [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Представление информации]]