Редактирование: Представление групп

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 +
{{В разработке}}
 +
 
== Свободная группа ==
 
== Свободная группа ==
 
Рассмотрим конечный алфавит <tex> \Sigma = \{ a_1, a_2, \dots a_n \}, \; \Sigma^{-1} = \{ a_1^{-1}, a_2^{-1}, \dots a_n^{-1} \} </tex>. <br>
 
Рассмотрим конечный алфавит <tex> \Sigma = \{ a_1, a_2, \dots a_n \}, \; \Sigma^{-1} = \{ a_1^{-1}, a_2^{-1}, \dots a_n^{-1} \} </tex>. <br>
Рассмотрим множество строк над алфавитом <tex> \Sigma \cup \Sigma^{-1} ; \; S = s_1 s_2 \dots s_k , \; s_i \in \Sigma \cup \Sigma^{-1} </tex>. <br>
+
Рассмотрим множество строк над алфавитом <tex> \Sigma \cup \Sigma^{-1} ; \; S = S_1 S_2 \dots S_k , \; символ a \in \Sigma \cup \Sigma^{-1} </tex>. <br>
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 8: Строка 10:
 
}}
 
}}
  
Таким образом, <tex> \Sigma \cup \Sigma^{-1} </tex> с операцией конкатенации будет [[группа|группой]] (обратным элементом будет обращение строки с заменой всех символов на «обратные» им).
+
Таким образом, <tex> \Sigma \cup \Sigma^{-1} </tex> с операцией конкатенации будет группой (обратным элементом будет обращение строки с заменой всех символов на «обратные» им).
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 19: Строка 21:
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|id=th5
 
|about=О редуцированной строке
 
 
|statement=
 
|statement=
У одной строки существует лишь одна редуцированная строка.
+
У одной строки существует лишь одна редуцированная строка
 
|proof=
 
|proof=
 
Пусть существуют 2 проредуцированные строки <tex>\omega_1</tex> и <tex>\omega_2</tex>, заданные одной строкой. Тогда существуют цепочки вставок и удалений <br>
 
Пусть существуют 2 проредуцированные строки <tex>\omega_1</tex> и <tex>\omega_2</tex>, заданные одной строкой. Тогда существуют цепочки вставок и удалений <br>
Строка 49: Строка 49:
 
}}
 
}}
  
==Пример==
 
Пусть группа <tex>G</tex> задана соотношениями <tex>G=\{a</tex>, <tex>b|aba=b</tex>, <tex>bab=a\}</tex>. Докажем что:
 
 
#<tex>a^2=b^2</tex>
 
#<tex>a^4=b^4=e</tex>
 
#<tex>|G|=8</tex>
 
 
'''Доказательство:'''
 
 
1) <tex>aba=b \Rightarrow a(bab)=bb</tex> подставляем из второго условия группы и получаем: <tex> aa=bb \Rightarrow a^2=b^2</tex>
 
 
2) <tex>aba=b \Rightarrow ba=a^{-1}b</tex>, <tex>bab=a \Rightarrow ab=b^{-1}a</tex>, перемножаем, получаем:<tex>abba=e</tex>, но из доказанного ранее <tex>a^2=b^2 \Rightarrow a^4=e</tex> и <tex>b^4=e</tex>
 
 
3)Рассмотрим все последовательности из <tex>3</tex> элементов: их <tex>8</tex>. Заметим, что есть последовательности из трех одинаковых элементов: <tex>(ааа</tex>, <tex>bbb)</tex>, из <tex>2</tex> подряд идущих одинаковых и одного отличного<tex>(aab</tex>, <tex>bba</tex>, <tex>baa</tex>, <tex>abb)</tex> и <tex>aba</tex>, <tex>bab</tex>. Но <tex>b^2=a^2</tex>, поэтому <tex>aab=baa=b^3</tex>, <tex>bba=abb=a^3</tex>, а <tex>aba=b</tex>, <tex>bab=a</tex>, поэтому все тройки равны либо третьей либо первой степени <tex>a</tex> или <tex>b</tex>. Из таблицы умножения(приведена далее) видно, что произведения приведенной далее видно, что произведение последовательности длинное три(те <tex>a^3</tex>,<tex>b^3</tex>, <tex>a</tex>, <tex>b</tex>) не выходит за ее пределы. Те последовательность большей длинны по правилам умножения, задания <tex>G</tex> и доказанных равенств будет сокращаться до последовательности длины <tex><=2</tex> или <tex>a^3</tex> или <tex>b^3 \Rightarrow |G|=8</tex>
 
 
запишем таблицу умножения для <tex>G</tex>:
 
 
{| border="2" cellpadding="8" align="center"
 
!style="background:#efefef;"| *
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>ab</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>ba</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>aa</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>aaa</big>
 
!style="background:#efefef;"| <big>bbb</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
 
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>ab</big> || <big>ba</big> || <big>aa</big> || <big>aaa</big> || <big>bbb</big>   
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>a
 
| <big>a</big> || <big>aa</big> || <big>ab</big> || <big>bbb</big> || <big>b</big> || <big>aaa</big> || <big>e</big> || <big>ba</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>b
 
| <big>b</big> || <big>ba</big> || <big>aa</big> || <big>a</big> || <big>ab</big> || <big>bbb</big> || <big>ab</big> || <big>e</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>ab
 
| <big>ab</big> || <big>b</big> || <big>aaa</big> || <big>aa</big> || <big>e</big> || <big>ba</big> || <big>bbb</big> || <big>a</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>ba</big>
 
| <big>ba</big> || <big>bbb</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>bb</big> || <big>ab</big> || <big>b</big> || <big>aaa</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>aa</big>
 
| <big>aa</big> || <big>aaa</big> || <big>bbb</big> || <big>ba</big> ||  <big>ab</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>aaa</big>
 
| <big>aaa</big> || <big>e</big> || <big>ba</big> || <big>b</big> || <big>bbb</big> || <big>a</big> || <big>aa</big> || <big>ab</big>
 
|-
 
!style="background:#efefef;"| <big>bbb</big>
 
| <big>bbb</big> || <big>ab</big> || <big>e</big> || <big>aaa</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>ba</big> || <big>bb</big>
 
|}
 
 
[[Категория:Теория групп]]
 
[[Категория:Теория групп]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)