221
правка
Изменения
м
{{Требует доработки
|item1=Необходимо добавить примеры (из тех, что были у нас в качестве задач)
}}
3)#<tex>a^2=b^2</tex>#<tex>a^4=b^4=e</tex>#<tex>|G|=8</tex>
Нет описания правки
== Свободная группа ==
Рассмотрим конечный алфавит <tex> \Sigma = \{ a_1, a_2, \dots a_n \}, \; \Sigma^{-1} = \{ a_1^{-1}, a_2^{-1}, \dots a_n^{-1} \} </tex>. <br>
Рассмотрим множество строк над алфавитом <tex> \Sigma \cup \Sigma^{-1} ; \; S = S_1 S_2 s_1 s_2 \dots S_k s_k , \; символ a s_i \in \Sigma \cup \Sigma^{-1} </tex>. <br>
{{Определение
}}
Таким образом, <tex> \Sigma \cup \Sigma^{-1} </tex> с операцией конкатенации будет [[группа|группой ]] (обратным элементом будет обращение строки с заменой всех символов на «обратные» им).
{{Определение
|about=О редуцированной строке
|statement=
У одной строки существует лишь одна редуцированная строка.
|proof=
Пусть существуют 2 проредуцированные строки <tex>\omega_1</tex> и <tex>\omega_2</tex>, заданные одной строкой. Тогда существуют цепочки вставок и удалений <br>
}}
==пример решения задачиПример==Пример группы Пусть группа <tex>G</tex> задана соотношениями <tex>G=\{a</tex>, <tex>b|aba=b</tex>, <tex>bab=a\}</tex>. докажем Докажем что: 1)<tex>a^2=b^2</tex> 2)<tex>a^4=b^4=e</tex>
'''доказательствоДоказательство:'''
1) <tex>aba=b \Rightarrow a(bab)=bb</tex> подставляем из второго условия группы и получаем: <tex> aa=bb \Rightarrow a^2=b^2</tex>
2) <tex>aba=b \Rightarrow ba=a^{-1}b</tex>, <tex>bab=a \Rightarrow ab=b^{-1}a</tex>, перемножаем, получаем:<tex>abba=e</tex>, но из доказанного ранее <tex>a^2=b^2 \Rightarrow a^4=e</tex> и <tex>b^4=e</tex>
3)Рассмотрим все последовательности из <tex>3</tex> элементов: их <tex>8</tex>. Заметим, что есть последовательности из трех одинаковых элементов: <tex>(ааа</tex>, <tex>bbb)</tex>, из <tex>2</tex> подряд идущих одинаковых и одного отличного<tex>(aab</tex>, <tex>bba</tex>, <tex>baa</tex>, <tex>abb)</tex> и <tex>aba</tex>, <tex>bab</tex>. Но <tex>b^2=a^2</tex>, поэтому <tex>aab=baa=b^3</tex>, <tex>bba=abb=a^3</tex>, а <tex>aba=b</tex>, <tex>bab=a</tex>, поэтому все тройки равны либо третьей либо первой степени <tex>a</tex> или <tex>b</tex>. Из таблицы умножения(приведена далее) видно, что произведения приведенной далее видно, что произведение последовательности длинное три(те <tex>a^3</tex>,<tex>b^3</tex>, <tex>a</tex>, <tex>b</tex>) не выходит за ее пределы. Те последовательность большей длинны по правилам умножения, задания <tex>G</tex> и доказанных равенств будет сокращаться до последовательности длины <tex><=2</tex> или <tex>a^3</tex> или <tex>b^3 \Rightarrow |G|=8</tex>
запишем таблицу умножения для <tex>G</tex>:
{| border="2" cellpadding="8" align="center"
!style="background:#efefef;"| *
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
!style="background:#efefef;"| <big>a</big>
!style="background:#efefef;"| <big>b</big>
!style="background:#efefef;"| <big>ab</big>
!style="background:#efefef;"| <big>ba</big>
!style="background:#efefef;"| <big>aa</big>
!style="background:#efefef;"| <big>aaa</big>
!style="background:#efefef;"| <big>bbb</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>e</big>
| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>ab</big> || <big>ba</big> || <big>aa</big> || <big>aaa</big> || <big>bbb</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>a
| <big>a</big> || <big>aa</big> || <big>ab</big> || <big>bbb</big> || <big>b</big> || <big>aaa</big> || <big>e</big> || <big>ba</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>b
| <big>b</big> || <big>ba</big> || <big>aa</big> || <big>a</big> || <big>ab</big> || <big>bbb</big> || <big>ab</big> || <big>e</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>ab
| <big>ab</big> || <big>b</big> || <big>aaa</big> || <big>aa</big> || <big>e</big> || <big>ba</big> || <big>bbb</big> || <big>a</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>ba</big>
| <big>ba</big> || <big>bbb</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>bb</big> || <big>ab</big> || <big>b</big> || <big>aaa</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>aa</big>
| <big>aa</big> || <big>aaa</big> || <big>bbb</big> || <big>ba</big> || <big>ab</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>b</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>aaa</big>
| <big>aaa</big> || <big>e</big> || <big>ba</big> || <big>b</big> || <big>bbb</big> || <big>a</big> || <big>aa</big> || <big>ab</big>
|-
!style="background:#efefef;"| <big>bbb</big>
| <big>bbb</big> || <big>ab</big> || <big>e</big> || <big>aaa</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>ba</big> || <big>bb</big>
|}
[[Категория:Теория групп]]
