Изменения

|definition='''K-подходящей дробью''' (англ. ''finite continued k-suitable fraction'') непрерывной дроби <tex> \biggl[ a_0;\cfrac{b_k}{a_k} \biggr]^{n}_{1} </tex> называют обыкновенную дробь <tex>\cfrac{P_k}{Q_k} \equiv \biggl[ a_0;\cfrac{b_1}{a_1},\cdots,\cfrac{b_k}{a_k} \biggr] (k = 1,2\cdots)</tex>, где <tex>k \leqslant n</tex>, а <tex>P_i, Q_i</tex> - многочлены <tex>i</tex>-ой степени}}

|proof = Еслиу нас есть дробно-рациональная производящая функция

<tex>\; f(x) = \cfrac{c_{101,0}+c_{111,1}x+c_{121,2}x^2+\cdots}{c_{000,0}+c_{010,1}x+c_{020,2}x^2+\cdots},</tex>

то в общем случае, проведя преобразования, будем иметь:

<tex>\; f(x) = \cfrac{1}{\cfrac{c_{000,0}}{c_{101,0}}+\cfrac{c_{000,0}+c_{010,1}x+c_{020,2}x^2+\cdots}{c_{101,0}+c_{111,1}x+c_{121,2}x^2+\cdots}-\cfrac{c_{000,0}}{c_{101,0}}} = \cfrac{c_{101,0}}{c_{000,0}+xf_1(x)},</tex>

<tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{202,0}+c_{212,1}x+c_{222,2}x^2+\cdots}{c_{101,0}+c_{111,1}x+c_{121,2}x^2+\cdots}</tex>

<tex>\; c_{2k2,k} = c_{101,0} \cdot c_{0,\: k+1} - c_{000,0} \cdot c_{1,\: k+1} \; (k=0,1, \cdots).</tex>

<tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{202,0}}{c_{101,0}+xf_2(x)},</tex>

<tex>\; f_1(x) = \cfrac{c_{303,0}+c_{313,1}x+c_{323,2}x^2+\cdots}{c_{202,0}+c_{212,1}x+c_{222,2}x^2+\cdots}</tex>

<tex>\; c_{3k3,k} = c_{202,0} \cdot c_{1,\: k+1} - c_{101,0} \cdot c_{2,\: k+1} \; (k=0,1, \cdots)</tex>

<tex>\; f(x) = \cfrac{c_{101,0}}{c_{000,0}+\cfrac{c_{202,0}x}{c_{101,0}+\cfrac{c_{303,0}}{c_{202,0}+\ldots}}} = \biggl[ 0;\cfrac{c_{101,0}}{c_{000,0}},\cfrac{c_{202,0}x}{c_{101,0}},\cfrac{c_{303,0}x}{c_{202,0}}, \cdots , \cfrac{c_{n0n,0}x}{c_{n-1, \: 0}} \biggr], </tex>

Рассмотрим [[Производящая_функция| Производящая функцияпроизводящую функцию]] для [[Числа_Каталана| чисел Каталана]] удовлетворяет квадратному уравнению

<tex>Cat(s) = c_0 + c_1s + c_2s^2 + \cdots = 1 + s+ 2s^{2}+ 5s^3 + \cdots</tex> Возведя ее в квадрат и умножив результат на <tex>s</tex>, получим <tex>sCat^2(s) = c^2_0s + (c_0c_1 + c_1c_0)s^2 + (c_0c_2 + c_1c_1 + c_2c_0)s^3 + \cdots = s + 2s^2 + 5s^3 + 14s^4 + \cdots = Cat(s) − 1,</tex> что дает нам квадратное уравнение на производящую функцию <tex>sCat^{2}(s) − Cat(s) + 1 = 0.</tex>

<tex>Cat(s) - s^{2}CatsCat^{2}(s)= 1,</tex>

<tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - s^{2}Cat^{2}sCat(s)}.</tex>

<tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - s^{2}CatsCat(s)}}.</tex>

<tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cdots}}}.</tex>

Полученное разложение нужно понимать следующим образом. Если мы оборвем непрерывную дробь на <tex>n</tex>-м шаге (оставив вместо нее конечную непрерывную дробь, которая представляет собой рациональную функцию), то коэффициенты разложения полученной функции по степеням <tex>s</tex> будут совпадать с коэффициентами разложения функции <tex>Cat(s)</tex> вплоть до члена <tex>s^{2nn}</tex>.Заметим, что из-за наличия множителя <tex>s^2</tex> в числителе очередной дроби, присоединяемой на <tex>(n + 1)</tex>-м шаге, увеличение числа членов в непрерывной дроби не приводит к изменению первых <tex>n</tex> коэффициентов в ее разложении. Например,

<tex>\cfrac{1}{1 - s^{2}} = \boldsymbol{1 + s^2} + s^4 2 + s^6 3 + s^8 4 + \cdots,</tex>

<tex>\cfrac{1}{1 - \cfrac{s^2}{1 - s^2}} = \boldsymbol{1 + s^2 + 2s^42} + 4s^6 3 + 8s^8 4 + \cdots,</tex>

<tex>\cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - s^2}}} = \boldsymbol{1 + s^2 + 2s^4 2 + 5s^63} + 13s^8 4 + \cdots</tex>

мы будем интерпретировать как ее кратность, то есть как число различных стрелок, проходящих в данном направлении. В результате одному пути в треугольнике Дика отвечает несколько «различных» путей в треугольнике с кратностями. Их число равно произведению кратностей всех ребер, входящих в данный путь. То есть значение элемента треугольника, которому раньше соответствовал путь в точку плоскости <tex>(m;n)</tex>, теперь равно следующему: <tex>c_{m,n} = (n+1)c_{m-1,n+1}+nc_{m-1,n-1}</tex>.