302
правки
Изменения
→Функция Каталана в виде непрерывной дроби
Возведя ее в квадрат и умножив результат на <tex>s</tex>, получим
<tex>sCat^2(s) = c^2_0s + (c_0c_1 + c_1c_0)s^2 + (c_0c_2 + c_1c_1 + c_2c_0)s^2 3 + \cdots == s + 2s^2 + 5s^3 + 14s^4 + \cdots = Cat(s) − 1,</tex>
что дает нам квадратное уравнение на производящую функцию
или
<tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - sCat^{2}(s)}.</tex>
Подставив выражение для <tex>Cat(s)</tex> из левой части равенства в
Изменим несколько треугольник Дика, поставив на стрелках числа. А именно, поставим на каждой стрелке номер того ряда, в котором она находится. Номер на стрелке
мы будем интерпретировать как ее кратность, то есть как число различных стрелок, проходящих в данном направлении. В результате одному пути в треугольнике Дика отвечает несколько «различных» путей в треугольнике с кратностями. Их число равно произведению кратностей всех ребер, входящих в данный путь. То есть значение элемента треугольника соответствующее пути , которому раньше соответствовал путь в точку плоскости <tex>(m;n)</tex>, теперь равно следующему: <tex>c_{m,n} = (n+1)c_{m-1,n+1}+nc_{m-1,n-1}</tex>.
[[Файл:R6.PNG]]
