Представление функции класса DM с помощью медианы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 6: Строка 6:
  
 
Бинарных функций из класса DM всего две.
 
Бинарных функций из класса DM всего две.
Рассмотрим эти функции ''':'''
+
Рассмотрим эти функции :
 
#<tex> ~f(0,0)< f(1,1)</tex> и <tex> f(0,0) = \lnot f(1,1)</tex>, следовательно, <tex> f(0,0)=0</tex> и <tex> f(1,1)=1 </tex>
 
#<tex> ~f(0,0)< f(1,1)</tex> и <tex> f(0,0) = \lnot f(1,1)</tex>, следовательно, <tex> f(0,0)=0</tex> и <tex> f(1,1)=1 </tex>
 
#<tex> ~f(0,1) = \lnot f(1,0)</tex>
 
#<tex> ~f(0,1) = \lnot f(1,0)</tex>
 
Из первого и второго пункта видно, что  подходят только проекторы {{---}} <tex> P_1,P_2 </tex>
 
Из первого и второго пункта видно, что  подходят только проекторы {{---}} <tex> P_1,P_2 </tex>
  
Теперь покажем, как эти функции можно представить с помощью медианы ''':'''
+
Теперь покажем, как эти функции можно представить с помощью медианы :
  
 
<tex>  P_1 = <x, x, y>, P_2 = <x, y, y></tex>.
 
<tex>  P_1 = <x, x, y>, P_2 = <x, y, y></tex>.
Строка 17: Строка 17:
  
  
Только четыре тернарные  функции принадлежат классу DM. Рассмотрим эти функции ''':'''
+
Только четыре тернарные  функции принадлежат классу DM. Рассмотрим эти функции :
  
 
Заметим, что для всех таких функций
 
Заметим, что для всех таких функций
Строка 36: Строка 36:
 
\end{matrix}\right.\Rightarrow f=p_3 </tex>  
 
\end{matrix}\right.\Rightarrow f=p_3 </tex>  
 
#<tex>f(1,0,0) = f(0,1,0) = f(0,0,1) = 0, </tex> следовательно, <tex> f = <x_1,x_2,x_3> </tex>  
 
#<tex>f(1,0,0) = f(0,1,0) = f(0,0,1) = 0, </tex> следовательно, <tex> f = <x_1,x_2,x_3> </tex>  
Покажем как эти функции представляются с помощью медианы ''':'''
+
Покажем как эти функции представляются с помощью медианы :
 
#<tex> P_1 = <x, x, y></tex>
 
#<tex> P_1 = <x, x, y></tex>
 
#<tex> P_2 = <x, y, y></tex>  
 
#<tex> P_2 = <x, y, y></tex>  
Строка 43: Строка 43:
  
  
Теперь рассмотрим произвольную монотонную самодвойственную функцию <tex> f : \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B} </tex> для <tex> n > 3 </tex>. Обозначим аргументы <tex> x_4, x_5 \dots x_n </tex> за <tex> \bar x </tex>, то есть <tex> f(x_1, x_2, x_3, x_4 \dots x_n) = f(x_1, x_2, x_3, \bar x) </tex>. Тогда введем три функции от <tex>n - 1</tex> аргумента:
+
Теперь рассмотрим произвольную монотонную самодвойственную функцию <tex> f : \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B} </tex> для <tex> n > 3 </tex>. Обозначим аргументы <tex> x_4, x_5 \dots x_n </tex> за <tex> \bar x </tex>, то есть <tex> f(x_1, x_2, x_3, x_4 \dots x_n) = f(x_1, x_2, x_3, \bar x) </tex>. Тогда введем три функции от <tex>n - 1</tex> аргумента :
 
: <tex> f_1(x_1, x_2, \bar x) = f(x_1, x_2, x_2, \bar x) </tex>
 
: <tex> f_1(x_1, x_2, \bar x) = f(x_1, x_2, x_2, \bar x) </tex>
 
: <tex> f_2(x_2, x_3, \bar x) = f(x_3, x_2, x_3, \bar x) </tex>
 
: <tex> f_2(x_2, x_3, \bar x) = f(x_3, x_2, x_3, \bar x) </tex>
 
: <tex> f_3(x_3, x_1, \bar x) = f(x_1, x_1, x_3, \bar x) </tex>
 
: <tex> f_3(x_3, x_1, \bar x) = f(x_1, x_1, x_3, \bar x) </tex>
Очевидно, они также самодвойственны и монотонны из определения <tex>f</tex>, и <tex>f</tex> можно выразить одной из функций <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>, так как два из трех аргументов точно совпадут. Теперь выразим <tex>f</tex> через <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>:
+
Очевидно, они также самодвойственны и монотонны из определения <tex>f</tex>, и <tex>f</tex> можно выразить одной из функций <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>, так как два из трех аргументов точно совпадут. Теперь выразим <tex>f</tex> через <tex> f_1, f_2, f_3 </tex> :
 
: <tex> f(x_1 \dots x_n) = <f_1(x_1, x_2, \bar x), f_2(x_2, x_3, \bar x), f_3(x_3, x_1, \bar x)> </tex>
 
: <tex> f(x_1 \dots x_n) = <f_1(x_1, x_2, \bar x), f_2(x_2, x_3, \bar x), f_3(x_3, x_1, \bar x)> </tex>
#Все три аргумента равны ''':''' <tex> x_1 = x_2 = x_3 </tex>, тогда, очевидно, что равенство выполняется.
+
#Все три аргумента равны : <tex> x_1 = x_2 = x_3 </tex>, тогда, очевидно, что равенство выполняется.
#Равны два аргумента ''':''' <tex> x_1 = x_2 \ne x_3 </tex>  (случаи <tex> x_1 = x_3 \ne x_2 </tex> и <tex> x_2 = x_3 \ne x_3 </tex> доказываются аналогично). Тогда''':'''
+
#Равны два аргумента : <tex> x_1 = x_2 \ne x_3 </tex>  (случаи <tex> x_1 = x_3 \ne x_2 </tex> и <tex> x_2 = x_3 \ne x_3 </tex> доказываются аналогично). Тогда :
::<tex> f = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex> f_1 = f(x_1, x_1, x_1, \bar x)</tex>, <tex>f_2 = f(x_3, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex>f_3 = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>.Рассмотрим два случая''':'''
+
::<tex> f = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex> f_1 = f(x_1, x_1, x_1, \bar x)</tex>, <tex>f_2 = f(x_3, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex>f_3 = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>.Рассмотрим два случая :
:::*<tex> x_1 = x_2 = 0, x_3 = 1.</tex> <br>Тогда можно упорядочить <tex> f_1, f_2, f_3 </tex> по возрастанию наборов их переменных (используя свойство их монотонности)''':'''<br><tex> f(0, 0, 0, \bar x) \le f(0, 0, 1, \bar x) \le f(1, 0, 1, \bar x) </tex>. Так как <tex> f(0, 0, 1, \bar x) </tex> - между остальными, то оно и будет медианой <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>.
+
:::*<tex> x_1 = x_2 = 0, x_3 = 1.</tex> <br>Тогда можно упорядочить <tex> f_1, f_2, f_3 </tex> по возрастанию наборов их переменных (используя свойство их монотонности):<br><tex> f(0, 0, 0, \bar x) \le f(0, 0, 1, \bar x) \le f(1, 0, 1, \bar x) </tex>. Так как <tex> f(0, 0, 1, \bar x) </tex> зажато  между двумя остальными функциями, то она и будет медианой <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>.
 
:::*<tex> x_1 = x_2 = 1, x_3 = 0 </tex>. Доказывается аналогично.
 
:::*<tex> x_1 = x_2 = 1, x_3 = 0 </tex>. Доказывается аналогично.
  
 
}}
 
}}
 
Интересный сайт, где можно посмотреть [http://oeis.org/A001206 количество таких функций при каждом n].
 
Интересный сайт, где можно посмотреть [http://oeis.org/A001206 количество таких функций при каждом n].

Версия 23:27, 16 декабря 2011

Утверждение:
Любую монотонную самодвойственную булеву функцию (self-Dual, Monotone) можно представить как некоторую суперпозицию функции медианы(majority function, median operator).
[math]\triangleright[/math]

Единственная унарная функция из класса DM — проектор. С помощью медианы её можно выразить так: [math] P_1(x) = \lt x, x, x\gt [/math].

Бинарных функций из класса DM всего две. Рассмотрим эти функции :

  1. [math] ~f(0,0)\lt f(1,1)[/math] и [math] f(0,0) = \lnot f(1,1)[/math], следовательно, [math] f(0,0)=0[/math] и [math] f(1,1)=1 [/math]
  2. [math] ~f(0,1) = \lnot f(1,0)[/math]

Из первого и второго пункта видно, что подходят только проекторы — [math] P_1,P_2 [/math]

Теперь покажем, как эти функции можно представить с помощью медианы :

[math] P_1 = \lt x, x, y\gt , P_2 = \lt x, y, y\gt [/math].


Только четыре тернарные функции принадлежат классу DM. Рассмотрим эти функции :

Заметим, что для всех таких функций

[math] f(0,0,0) \lt f(1,1,1)[/math] и [math] f(0,0,0) = \lnot f(1,1,1), [/math] следовательно [math], f(0,0,0) = 0 [/math] и [math] f(1,1,1) = 1 [/math]

  1. [math]f(1,0,0)= 1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix} f(0,1,1) = \lnot f(1,0,0) = 0 \\ f(0,0,1) = f(0,1,0)= 0 \\ f(1,0,1) = f(1,1,0) = 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow f=p_1 [/math]  
  2. [math]f(0,1,0)= 1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix} f(1,0,1) = \lnot f(0,1,0) = 0 \\ f(0,0,1) = f(1,0,0)= 0 \\ f(1,1,0) = f(0,1,1)= 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow f=p_2 [/math]  
  3. [math]f(0,0,1)= 1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix} f(1,1,0) = \lnot f(1,0,0) = 0 \\ f(1,0,0) = f(0,1,0) = 0 \\ f(1,0,1) = f(0,1,1) = 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow f=p_3 [/math]
  4. [math]f(1,0,0) = f(0,1,0) = f(0,0,1) = 0, [/math] следовательно, [math] f = \lt x_1,x_2,x_3\gt [/math]

Покажем как эти функции представляются с помощью медианы :

  1. [math] P_1 = \lt x, x, y\gt [/math]
  2. [math] P_2 = \lt x, y, y\gt [/math]
  3. [math] P_3 = \lt x, z, z\gt [/math].


Теперь рассмотрим произвольную монотонную самодвойственную функцию [math] f : \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B} [/math] для [math] n \gt 3 [/math]. Обозначим аргументы [math] x_4, x_5 \dots x_n [/math] за [math] \bar x [/math], то есть [math] f(x_1, x_2, x_3, x_4 \dots x_n) = f(x_1, x_2, x_3, \bar x) [/math]. Тогда введем три функции от [math]n - 1[/math] аргумента :

[math] f_1(x_1, x_2, \bar x) = f(x_1, x_2, x_2, \bar x) [/math]
[math] f_2(x_2, x_3, \bar x) = f(x_3, x_2, x_3, \bar x) [/math]
[math] f_3(x_3, x_1, \bar x) = f(x_1, x_1, x_3, \bar x) [/math]

Очевидно, они также самодвойственны и монотонны из определения [math]f[/math], и [math]f[/math] можно выразить одной из функций [math] f_1, f_2, f_3 [/math], так как два из трех аргументов точно совпадут. Теперь выразим [math]f[/math] через [math] f_1, f_2, f_3 [/math] :

[math] f(x_1 \dots x_n) = \lt f_1(x_1, x_2, \bar x), f_2(x_2, x_3, \bar x), f_3(x_3, x_1, \bar x)\gt [/math]
  1. Все три аргумента равны : [math] x_1 = x_2 = x_3 [/math], тогда, очевидно, что равенство выполняется.
  2. Равны два аргумента : [math] x_1 = x_2 \ne x_3 [/math] (случаи [math] x_1 = x_3 \ne x_2 [/math] и [math] x_2 = x_3 \ne x_3 [/math] доказываются аналогично). Тогда :
[math] f = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)[/math], [math] f_1 = f(x_1, x_1, x_1, \bar x)[/math], [math]f_2 = f(x_3, x_1, x_3, \bar x)[/math], [math]f_3 = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)[/math].Рассмотрим два случая :
  • [math] x_1 = x_2 = 0, x_3 = 1.[/math]
    Тогда можно упорядочить [math] f_1, f_2, f_3 [/math] по возрастанию наборов их переменных (используя свойство их монотонности):
    [math] f(0, 0, 0, \bar x) \le f(0, 0, 1, \bar x) \le f(1, 0, 1, \bar x) [/math]. Так как [math] f(0, 0, 1, \bar x) [/math] зажато между двумя остальными функциями, то она и будет медианой [math] f_1, f_2, f_3 [/math].
  • [math] x_1 = x_2 = 1, x_3 = 0 [/math]. Доказывается аналогично.
[math]\triangleleft[/math]

Интересный сайт, где можно посмотреть количество таких функций при каждом n.