Изменения
Исправлена опечатка
{{УтверждениеТеорема
|statement= Любую монотонную самодвойственную [[Определение булевой функции|булеву функцию]] (self-'''D'''ual, '''M'''onotone) можно представить как некоторую [[Суперпозиции|суперпозицию]] функции медианы(majority function, median operator).
|proof=
Единственная унарная функция из класса DM {{---}} проектор. С помощью медианы её можно выразить так:
<tex> P_1(x) = <\langle x, x, x> \rangle </tex>.
Бинарных функций из класса DM всего две.
Рассмотрим эти функции ''':'''#<tex> ~f(0,0)< f(1,1)</tex> и <tex> f(0,0) = \lnot f(1,1)</tex>, следовательно, <tex> f(0,0)=0</tex> и <tex> f(1,1)=1 </tex>
#<tex> ~f(0,1) = \lnot f(1,0)</tex>
Из первого и второго пункта видно, что подходят только проекторы {{---}} <tex> P_1,P_2 </tex>
Теперь покажем, как эти функции можно представить с помощью медианы ''':'''
<tex> P_1 = <\langle x, x, y>\rangle, P_2 = <\langle x, y, y>\rangle</tex>.
Только четыре тернарные функции принадлежат классу DM. Рассмотрим эти функции ''':'''
Заметим, что для всех таких функций
\\ f(0,0,1) = f(0,1,0)= 0
\\ f(1,0,1) = f(1,1,0) = 1
\end{matrix}\right.\Rightarrow f=p_1 P_1 </tex>
#<tex>f(0,1,0)= 1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix} f(1,0,1) = \lnot f(0,1,0) = 0
\\ f(0,0,1) = f(1,0,0)= 0
\\ f(1,1,0) = f(0,1,1)= 1
\end{matrix}\right.\Rightarrow f=p_2 P_2 </tex>
#<tex>f(0,0,1)= 1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix} f(1,1,0) = \lnot f(1,0,0) = 0
\\ f(1,0,0) = f(0,1,0) = 0
\\ f(1,0,1) = f(0,1,1) = 1
\end{matrix}\right.\Rightarrow f=p_3 P_3 </tex> #<tex>f(1,0,0) = f(0,1,0) = f(0,0,1) = 0, </tex> следовательно, <tex> f = <\langle x_1,x_2,x_3> \rangle </tex> Покажем как эти функции представляются с помощью медианы ''':'''#<tex> P_1 = <\langle x, x, y>\rangle </tex>#<tex> P_2 = <\langle x, y, y>\rangle </tex> #<tex> P_3 = <\langle x, z, z> \rangle </tex>.
Теперь рассмотрим произвольную монотонную самодвойственную функцию <tex> f : \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B} </tex> для <tex> n > 3 </tex>. Обозначим аргументы <tex> x_4, x_5 \dots x_n </tex> за <tex> \lnot bar x </tex>, то есть <tex> f(x_1, x_2, x_3, x_4 \dots x_n) = f(x_1, x_2, x_3, \bar x) </tex>. Тогда введем три функции от <tex>n - 1</tex> аргумента:
: <tex> f_1(x_1, x_2, \bar x) = f(x_1, x_2, x_2, \bar x) </tex>
: <tex> f_2(x_2, x_3, \bar x) = f(x_3, x_2, x_3, \bar x) </tex>
: <tex> f_3(x_3, x_1, \bar x) = f(x_1, x_1, x_3, \bar x) </tex>
Очевидно, они также самодвойственны и монотонны из определения <tex>f</tex>, и <tex>f</tex> можно выразить одной из функций <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>, так как два из трех аргументов точно совпадут. Теперь выразим <tex>f</tex> через <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>:: <tex> f(x_1 \dots x_n) = <\langle f_1(x_1, x_2, \bar x), f_2(x_2, x_3, \bar x), f_3(x_3, x_1, \bar x)> \rangle </tex>#Все три аргумента равны {{---}} : <tex> x_1 = x_2 = x_3 </tex>, тогда, очевидно, что равенство выполняется.#Равны два аргумента {{---}} : <tex> x_1 = x_2 \ne x_3 </tex> (случаи <tex> x_1 = x_3 \ne x_2 </tex> и <tex> x_2 = x_3 \ne x_3 x_1 </tex> доказываются аналогично). Тогда''':'''<br> ::<tex> f = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex> f_1 = f(x_1, x_1, x_1, \bar x)</tex>, <tex>f_2 = f(x_3, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex>f_3 = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>.<br>Рассмотрим два случая''':'''<br>:::*<tex> x_1 = x_2 = 0, x_3 = 1.</tex> <br>Тогда можно упорядочить <tex> f_1, f_2, f_3 </tex> по возрастанию наборов их переменных (используя свойство их монотонности)''':'''<br><tex> f(0, 0, 0, \bar x) \le f(0, 0, 1, \bar x) \le f(1, 0, 1, \bar x) </tex>. Так как <tex> f(0, 0, 1, \bar x) </tex> - зажато между двумя остальнымифункциями, то оно она и будет медианой <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>.<br><br>:::*<tex> x_1 = x_2 = 1, x_3 = 0 </tex>. Доказывается аналогично.
}}
