Изменения
Исправлена опечатка
Теперь рассмотрим произвольную монотонную самодвойственную функцию <tex> f : \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B} </tex> для <tex> n \rangle > 3 </tex>. Обозначим аргументы <tex> x_4, x_5 \dots x_n </tex> за <tex> \bar x </tex>, то есть <tex> f(x_1, x_2, x_3, x_4 \dots x_n) = f(x_1, x_2, x_3, \bar x) </tex>. Тогда введем три функции от <tex>n - 1</tex> аргумента :
: <tex> f_1(x_1, x_2, \bar x) = f(x_1, x_2, x_2, \bar x) </tex>
: <tex> f_2(x_2, x_3, \bar x) = f(x_3, x_2, x_3, \bar x) </tex>
: <tex> f(x_1 \dots x_n) = \langle f_1(x_1, x_2, \bar x), f_2(x_2, x_3, \bar x), f_3(x_3, x_1, \bar x) \rangle </tex>
#Все три аргумента равны : <tex> x_1 = x_2 = x_3 </tex>, тогда, очевидно, что равенство выполняется.
#Равны два аргумента : <tex> x_1 = x_2 \ne x_3 </tex> (случаи <tex> x_1 = x_3 \ne x_2 </tex> и <tex> x_2 = x_3 \ne x_3 x_1 </tex> доказываются аналогично). Тогда :
::<tex> f = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex> f_1 = f(x_1, x_1, x_1, \bar x)</tex>, <tex>f_2 = f(x_3, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex>f_3 = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>.Рассмотрим два случая :
:::*<tex> x_1 = x_2 = 0, x_3 = 1.</tex> <br> Тогда можно упорядочить <tex> f_1, f_2, f_3 </tex> по возрастанию наборов их переменных (используя свойство их монотонности):<br> <tex> f(0, 0, 0, \bar x) \le f(0, 0, 1, \bar x) \le f(1, 0, 1, \bar x) </tex>. Так как <tex> f(0, 0, 1, \bar x) </tex> зажато между двумя остальными функциями, то она и будет медианой <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>.
}}
