Изменения

'''Плавающая точка (floating point)''' - метод представления действительных чисел, при котором число хранится в виде мантиссы и показателя степени, а значение числа вычисляется по формуле:<br><tex> x = (-1)^{sign} \times mant \times base^{exp} </tex>, где <tex> x </tex> - число, <tex> sign </tex> - бит, отвечающий за знак числа, <tex> mant </tex> - мантисса, <tex> base </tex> - основание степени, <tex> exp </tex> - показатель степени.

# экспонента (показатель степени) (в виде целого числа в коде со сдвигом)# мантисса(в нормализованной форме)В качестве базы (основания степени) используется число <tex> 2</tex>.Экспонента хранится со сдвигом <tex> -1023 </tex>.

<br><tex> x = (-1)^{sign} \times (1.mant) \times 2^{exp} </tex>}} == Нормальная и нормализованная формы =={{Определение|definition='''Нормальной''' называется форма представления числа, при которой абсолютное значение мантиссы десятичного числа находится на полуинтервале <tex> [0,1) </tex>.}}Недостатком такой записи является тот факт, что числа нельзя записать однозначно: <tex> 0.001 = 0.01 \times 10^0 </tex>.{{Определение|definition='''Нормализованной''' называется форма представления числа, при которой абсолютное значение мантиссы десятичного числа лежит на полуинтервале <tex> [1, 10) </tex>, а двоичного на полуинтервале <tex> [1, 2) </tex>.

# В следствие Вследствие свойства 3, числа с плавающей точкой имеют постоянную относительную погрешность (в отличие от целочисленных, которые имеют постоянную абсолютную погрешность).

# В формате double представимы числа в диапазоне <tex> [12.7 3 \times 10^{-308}, 1.7 \times 10^{308}] </tex>.

== Особые значение значения чисел с плавающей точкой ==

!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|ПорядокЭкспонента

* <tex>\frac{-0}{ \left| x \right| } = -0\,\!</tex> (если <tex>x\ne0</tex>)* <tex>(-0) \cdot (-0) = +0\,\!</tex>* <tex>\left| x \right| \cdot (-0) = -0\,\!</tex>* <tex>x + (\pm 0) = x\,\!</tex>* <tex>(-0) + (-0) = -0\,\!</tex>* <tex>(+0) + (+0) = +0\,\!</tex>* <tex>\frac{-0}{-\infty} = +0\,\!</tex>* <tex>\frac{\left|x\right|}{-0} = -\infty\,\!</tex> (если <tex>x\ne0</tex>) === Бесконечность (со знаком) ===Для приближения ответа к правильному при переполнении, в double можно записать бесконечное значение. Так же, как и в случае с нолем, для этого используются специальные значение мантиссы и экспоненты.{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"|-!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак|-!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Экспонента!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса!style="border: none"| |-style="text-align: right"!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="border: none"|1,!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|0!style="background-color: transparent; border: none"|&nbsp;=&nbsp;<tex>\pm\infty</tex>|}Бесконечное значение можно получить при переполнении или при делении ненулевого числа на ноль. === Неопределенность ===В математике встречается понятие неопределенности. В стандарте double предусмотрено псевдочисло, которое арифметическая операция может вернуть даже в случае ошибки.{|class="wikitable" style="border-collapse: collapse; border: none"|-!colspan=5 style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-bottom: none"|Знак|-!style="background-color: powderblue; border: thin solid black; border-top: none"|!colspan=5 style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|Экспонента!colspan=11 style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|Мантисса!style="border: none"| |-style="text-align: right"!style="background-color: powderblue; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="background-color: lightgreen; border: thin solid black"|1!style="border: none"|1,!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: lightcoral; border: thin solid black"|⁰/₁!style="background-color: transparent; border: none"|&nbsp;=&nbsp;<tex>NaN</tex>|} Неопределенность можно получить в нескольких случаях. Приведем некоторые из них:* <tex> f(NaN) = NaN </tex>, где <tex> f </tex> - любая арифметическая операция* <tex> \infty + (-\infty) = NaN </tex>* <tex> 0 \times \infty = NaN </tex>* <tex> \frac{\pm0}{\pm0} = \frac{\pm \infty}{\pm \infty} = NaN </tex>* <tex> \sqrt{x} = NaN </tex>, где <tex> x < 0 </tex> === Денормализованные числа ===Денормализованные (''denormalized numbers'') - способ увеличить количество представимых числе в окрестности нуля. Каждое такое число по модулю меньше самого маленького нормализованного.<Согласно стандарту числа с плавающей точкой можно представить в следующем виде:* <tex> (-1)^s \times 1.M \times 2^E </tex>, в нормализованном виде если <tex> E_{min} \leq E \leq E_{max} </tex>,* <tex> (-1)^s \times 0.M \times 2^E_{min} </tex>, в денормализованном виде если <tex> E = E_{min} - 1 </tex>,где <tex> E_{min} </tex> - минимальное значение порядка, используемое для записи чисел (единичный сдвиг), <tex> E_{min} - 1 </tex> - минимальное значение порядка, которое он может принимать - все биты нули, нулевой сдвиг. Ввиду сложности, денормализованные числа обычно реализуют на программном уровне, а не на аппаратном. Из-за этого резко возрастает время работы с ними. Это недопустимо в областях, где требуется большая скорость вычислений (например, видеокарты).Так как денормализованные числа представляют числа мало отличные от нуля и мало влияют на результат, зачастую они игнорируются (что резко повышает скорость). При этом используются две концепции:# ''Flush To Zero (FTZ)'' - в качестве результата возвращается нуль, как только становится понятно, что результат будет представляться в денормализованном виде.# ''Denormals Are Zero (DAZ)'' - денормализованные числа, поступающие на вход, рассматриваются как нули. Начиная с версии стандарта IEEE 754 2008 года денормализованные числа называются "субнормальными" (''subnormal numbers''), то есть числа, меньшие "нормальных".

'''Машинная эпсилон''' - наименьшее наибольшее положительное число <tex> \varepsilon_m </tex>, такое что, <tex> 1 \oplus \varepsilon_m = 1 </tex>, где <tex> \oplus </tex> - машинное сложение.

=== Определения ==={{Утверждение|statement=Пусть <tex> D </tex> - множество всех чисел с плавающей точкой с операциями <tex> \oplus, \ominus, \otimes. \forall a, b \in D: </tex>* <tex> a \oplus b = (a + b) (1 + \delta), |\delta| \leq \varepsilon_m </tex>,* <tex> a \ominus b = (a - b) (1 + \delta), |\delta| \leq \varepsilon_m </tex>,* <tex> a \otimes b = ab (1 + \delta), |\delta| \leq \varepsilon_m </tex>.}} {{Утверждение|statement=<tex> \forall a, b, c \in D^2, \tilde{v} = (b_x \ominus a_x) \otimes (c_y \ominus a_y) \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (c_x \ominus a_x) </tex><tex> \exists \tilde{\epsilon} \in D: </tex># <tex> \tilde{v} > \tilde{\epsilon} \Rightarrow (b - a) \times (c - a) > 0 </tex># <tex> \tilde{v} < -\tilde{\epsilon} \Rightarrow (b - a) \times (c - a) < 0 </tex>}} === Расчет <tex> \tilde{\epsilon} </tex> ===Обозначим <tex> v = (b - a) \times (c - a) = (b_x - a_x) (c_y - a_y) - (b_y - a_y) (c_x - a_x)</tex>.  Теперь распишем это выражение в дабловой арифметике. <tex>\tilde{v} = (b_x \ominus a_x) \otimes (c_y \ominus a_y) \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (c_x \ominus a_x) = \\ = [ (b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) - \\ - (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) ] (1 + \delta_7),</tex> <tex> |\delta_i| \leq \varepsilon_m </tex> Заметим, что <tex> v \approx \tilde{v} </tex> Теперь оценим абсолютную погрешность <tex> \epsilon = |v - \tilde{v}|. </tex>  <tex> |v - \tilde{v}| = |(b_x - a_x) (c_y - a_y) - (b_y - a_y) (c_x - a_x) - \\- (b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7) + \\+ (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7)| = \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7)) - \\- (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7))| \leq \\\leq |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7))| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7))| = \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot |((1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7) - 1)| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot |((1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7) - 1)| = \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot |\delta_1 + \delta_2 + \delta_3 + \delta_7 + \delta_1 \delta_2 \ldots| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot |\delta_4 + \delta_5 + \delta_6 + \delta_7 + \delta_4 \delta_5 \ldots| \leq \\\leq |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot (|\delta_1| + |\delta_2| + |\delta_3| + |\delta_7| + |\delta_1 \delta_2| \ldots) + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot (|\delta_4| + |\delta_5| + |\delta_6| + |\delta_7| + |\delta_4 \delta_5| \ldots) \leq \\\leq |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) = \\= (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|)(4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4)</tex> Пусть <tex> t = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|).</tex> Получаем, что <tex> \epsilon = |v - \tilde{v}| \leq t \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4). </tex> <tex>\tilde {t} = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3)| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6)|) (1 + \delta_7) \geq \\\geq |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - \varepsilon_m)^3)|(1 - \varepsilon_m) + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - \varepsilon_m)^3)|(1 - \varepsilon_m) = \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| (1 - \varepsilon_m)^4 + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| (1 - \varepsilon_m)^4 = \\= (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|) (1 - \varepsilon_m)^4 = t \cdot (1 - \varepsilon_m)^4</tex>  Итого: <tex> t \leq \tilde{t} \frac{1}{(1 - \varepsilon_m)^4} = \tilde{t} (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) </tex> <tex> \epsilon = |v - \tilde{TODOv}| \leq \tilde{\epsilon} \leq \tilde{t} (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) </tex> === Ответ ===<tex dpi=Вывести"180"> \tilde{\epsilon} < 8 \varepsilon_m \tilde{t}</tex> Заметим, что это довольно грубая оценка. Вполне можно было бы написать <tex> \tilde{\epsilon} < 4.25 \varepsilon_m \tilde{t} </tex>или <tex> \tilde{\epsilon} < 4.5 \varepsilon_m \tilde{t}.</tex>