1632
правки
Изменения
м
=== Решение ===Итого:Рассмотрим формулу: <tex> |b_x - a_x||c_y - a_y| + |b_y - a_y||c_x - a_x| </tex>. <br>Относительная погрешность <tex> t \leq \delta(|b_x - a_x|) = tilde{t} \deltafrac{1}{(|c_y 1 - a_y|) = \delta(|b_y - a_y|varepsilon_m) ^4} = \deltatilde{t} (|c_x - a_x|) = 1 + 4 \varepsilon_m </tex>, где <tex> + 10 \varepsilon_m </tex> - машинная эпсилон. <br>Тогда относительная погрешность <tex> ^2 + 20 \delta(|b_x - a_x||c_y - a_y|) = varepsilon_m^3 + \delta(|b_y - a_y||c_x - a_x|cdots) = 2 \varepsilon_m </tex>. <br>Таким образом, абсолютная погрешность предиката: <br><tex> \varepsilon epsilon = |b_x v - a_x||c_y - a_y\tilde{v}| \times leq \tilde{\epsilon} \leq \deltatilde{t} (|b_x - a_x||c_y - a_y|) 1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + |b_y - a_y||c_x - a_x| 20 \times varepsilon_m^3 + \deltacdots) (|b_y - a_y||c_x - a_x|) = 4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m (|b_x - a_x||c_y - a_y| ^3 + |b_y - a_y||c_x - a_x|\varepsilon_m^4) </tex>.
rollbackEdits.php mass rollback
|definition=
'''Плавающая точка (floating point)''' - метод представления действительных чисел, при котором число хранится в виде мантиссы и показателя степени, а значение числа вычисляется по формуле:
<br><tex> x = (-1)^{sign} \times mant \times base^{exp} </tex>, где <tex> x </tex> - искомое число, <tex> sign </tex> - бит, отвечающий за знак числа, <tex> mant </tex> - мантисса, <tex> base </tex> - основание степени, <tex> exp </tex> - показатель степени.
}}
Такой метод является компромиссом между точностью и диапазоном представляемых значений.
Представление чисел с плавающей точкой рассмотрим на примере чисел ''двойной точности'' (''double precision'').
Такие числа занимают в памяти два машинных слова (8 байт на 32-битных системах). Наиболее распространенное представление описано в стандарте IEEE 754.
Кроме чисел двойной точности также используются следующие форматы чисел:
* ''половинной точности (half precision)'' (16 бит),
* ''одинарной точности (single precision)'' (32 бита),
* ''четверной точности (quadruple precision)'' (128 бит),
* ''расширенной точности (extended precision)'' (80 бит).
При выборе формата программисты идут на разумный компромисс между точностью вычислений и размером числа.
== Нормальная и нормализованная формы ==
# Так как старший бит двоичного числа, записанного в нормализованной форме, всегда равен 1, его можно опустить. Это используется в стандарте IEEE 754.
# В отличие от целочисленных стандартов (например, integer), имеющих равномерное распределение на всем множестве значений, числа с плавающей точкой (double, например) имеют квазиравномерное распределение.
# В следствие Вследствие свойства 3, числа с плавающей точкой имеют постоянную относительную погрешность (в отличие от целочисленных, которые имеют постоянную абсолютную погрешность).
# Очевидно, не все действительные числа возможно представить в виде числа с плавающей точкой.
# Точно в таком формате представимы только числа, являющиеся суммой некоторых обратных степеней двойки (не ниже -53). Остальные числа попадают в некоторый диапазон и округляются до ближайшей его границы. Таким образом, абсолютная погрешность составляет половину величины младшего бита.
# В формате double представимы числа в диапазоне <tex> [2.3 \times 10^{-308}, 1.7 \times 10^{308}] </tex>.
== Особые значение значения чисел с плавающей точкой ==
=== Ноль (со знаком) ===
В нормализованной форме невозможно представить ноль. Для его представления в стандарте зарезервированы специальные значения мантиссы и экспоненты.
Из свойств чисел двойной точности следует, что для них <tex> \varepsilon_m = 2^{-54}</tex>.
}}
== Unit in the last place (Unit of least precision)==
Мера единичной точности используется для оценки точности вычислений.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> a </tex> - число с плавающей точкой, мантисса которого имеет длину <tex> m </tex> бит, а экспонента - <tex> e </tex> бит. Тогда <tex> ulp(a) = 2^{e - m} </tex>.
}}
Приведем пример кода на Python, который показывает, при каком значении числа <tex> x </tex> компьютер не различает числа <tex> x </tex> и <tex> x + 1 </tex>.
>>> from math import *
>>> x = 1.0
>>> while (x != x + 1):
... x *= 2
...
>>> x
9007199254740992.0
>>> log(x) / log(2)
53.0
То есть <tex> x = 2^{53} </tex>, так как мантисса числа двойной точности содержит 53 бита (в памяти хранятся 52).
В C++ для расчета расстояния между двумя числами двойной точности можно воспользоваться функцией <tex> \mathrm{boost::math::float\_distance(a, b)} </tex>.
== Погрешность предиката "левый поворот" ==
=== Постановка задачи Определения ===Найти {{Утверждение|statement=Пусть <tex> D </tex> - множество всех чисел с плавающей точкой с операциями <tex> \oplus, \ominus, \otimes. \forall a, b \in D: </tex>* <tex> a \varepsilonoplus b = (a + b) (1 + \delta), |\delta| \leq \varepsilon_m </tex>,* <tex> a \ominus b = (a - b) (1 + \delta), |\delta| \leq \varepsilon_m </tex>,* <tex> a \otimes b = ab (1 + \delta), |\delta| \leq \varepsilon_m </tex>.}} {{Утверждение|statement=<tex> \forall a, b, c\in D^2, \tilde{v} = (b_x \ominus a_x) = \varepsilonotimes (c_y \ominus a_y) \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (c_x \ominus a_x) </tex><tex> \exists \tilde{\epsilon} \in D: |</tex># <tex> \tilde{v} > \tilde{\epsilon} \Rightarrow (b - a) \times (c - a)| > 0 </tex># <tex> \tilde{v} < -\tilde{\varepsilon epsilon} \Rightarrow (b - a) \times (c - a) < 0 </tex>}} === Расчет <tex> \tilde{\epsilon} </tex> ===Обозначим <tex> v = (b - a) \times (c - a) = (b_x - a_x) (c_y - a_y) - (b_y - a_y) (c_x - a_x)</tex>. Теперь распишем это выражение в дабловой арифметике. <tex>\tilde{v} = (b_x \ominus a_x) \otimes (c_y \ominus a_y) \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (c_x \ominus a_x) = \\ = [ (b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) - \\ - (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) ] (1 + \delta_7), b</tex> <tex> |\delta_i| \leq \varepsilon_m </tex> Заметим, c что <tex> v \approx \tilde{v} </tex> Теперь оценим абсолютную погрешность <tex> \epsilon = |v - \tilde{v}|. </tex> <tex> |v - \tilde{v}| = |(b_x - a_x) (c_y - a_y) - (b_y - a_y) (c_x - a_x) - \\- (b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7) + \\+ (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7)| = \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7)) - \\- (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7))| \leq \\\leq |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7))| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7))| = \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot |((1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7) - 1)| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot |((1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7) - 1)| = \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot |\delta_1 + \delta_2 + \delta_3 + \delta_7 + \delta_1 \delta_2 \ldots| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot |\delta_4 + \delta_5 + \delta_6 + \delta_7 + \delta_4 \delta_5 \ldots| \leq \\\leq |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot (|\delta_1| + |\delta_2| + |\delta_3| + |\delta_7| + |\delta_1 \delta_2| \ldots) + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot (|\delta_4| + |\delta_5| + |\delta_6| + |\delta_7| + |\delta_4 \delta_5| \ldots) \leq \\\leq |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) = \\= (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|)(4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4)</tex> Пусть <tex> t = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|).</tex> не лежат на одной прямойПолучаем, что <tex> \epsilon = |v - \tilde{v}| \leq t \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4).</tex> <tex>\tilde {t} = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3)| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6)|) (1 + \delta_7) \geq \\\geq |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - \varepsilon_m)^3)|(1 - \varepsilon_m) + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - \varepsilon_m)^3)|(1 - \varepsilon_m) = \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| (1 - \varepsilon_m)^4 + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| (1 - \varepsilon_m)^4 = \\= (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|) (1 - \varepsilon_m)^4 = t \cdot (1 - \varepsilon_m)^4</tex>
=== Ответ ===
<tex dpi="180"> \varepsilon(atilde{\epsilon} < 8 \varepsilon_m \tilde{t} </tex> Заметим, b, c) = 2 что это довольно грубая оценка. Вполне можно было бы написать <tex> \tilde{\epsilon} < 4.25 \varepsilon_m \tilde{t} </tex>или <tex> \tilde{\epsilon} < 4.5 \varepsilon_m (|b_x - a_x||c_y - a_y| + |b_y - a_y||c_x - a_x|) \tilde{t}.</tex>
== Ссылки ==
[http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point en.wikipedia.org ''Floating point'']<br>
[http://en.wikipedia.org/wiki/Half-precision_floating-point_format en.wikipedia.org ''Half-precision floating point format'']<br>
[http://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format en.wikipedia.org ''Single precision floating point format'']<br>
[http://en.wikipedia.org/wiki/Double_precision_floating-point_format en.wikipedia.org ''Double precision floating point format'']<br>
[http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_precision en.wikipedia.org ''Extended precision floating point format'']<br>
[http://en.wikipedia.org/wiki/Quadruple_precision en.wikipedia.org ''Quadruple precision floating point format'']<br>
[http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.102.244&rep=rep1&type=pdf Goldberg, D. 1991 ''What every computer scientist should know about floating-point arithmetic'']<br>
[http://grouper.ieee.org/groups/754 ieee.org ''IEEE 754'']<br>
[http://en.wikipedia.org/wiki/Unit_in_the_last_place en.wikipedia.org ''Unit in the last place'']
[http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82_%22%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%82%22 neerc.ifmo.ru/mediawiki ''Предикат "левый поворот"'']
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
