Изменения

== Особые значение значения чисел с плавающей точкой ==

=== Постановка задачи Определения ===Найти {{Утверждение|statement=Пусть <tex> D </tex> - множество всех чисел с плавающей точкой с операциями <tex> \varepsilon(oplus, \ominus, \otimes. \forall a, b, c) = \varepsilonin D: |</tex>* <tex> a \oplus b = (a + b ) (1 + \delta), |\delta| \leq \varepsilon_m </tex>,* <tex> a \ominus b = (a- b) \otimes (c 1 + \ominus adelta), |\delta| > \varepsilon leq \Rightarrow varepsilon_m </tex>,* <tex> a, \otimes b= ab (1 + \delta), c |\delta| \leq \varepsilon_m </tex> не лежат на одной прямой.}}

{{Утверждение|statement=<tex> \forall a, b, c \in D^2, \tilde{v} = (b_x \ominus a_x) \otimes (c_y \ominus a_y) \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (c_x \ominus a_x) </tex><tex> \exists \tilde{\epsilon} \in D: </tex># <tex> \tilde{v} > \tilde{\epsilon} \Rightarrow (b - a) \times (c - a) > 0 </tex># <tex> \tilde{v} < -\tilde{\epsilon} \Rightarrow (b - a) \times (c - a) < 0 </tex>}} === Решение Расчет <tex> \tilde{\epsilon} </tex> ===Рассмотрим формулу: Обозначим <tex> |v = (b - a) \times (c - a) = (b_x - a_x||) (c_y - a_y| + |) - (b_y - a_y||) (c_x - a_x| )</tex>. <br>Относительная погрешность Теперь распишем это выражение в дабловой арифметике. <tex> \deltatilde{v} = (|b_x - \ominus a_x) \otimes (c_y \ominus a_y) \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (c_x \ominus a_x|) = \delta\ = [ (b_x - a_x) (|c_y - a_y|) = (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) - \\delta - (|b_y - a_y|) = \delta(|c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) ] (1 + \delta_7),</tex> <tex> |\delta_i|) = \leq \varepsilon_m </tex> Заметим, где что <tex> v \approx \varepsilon_m tilde{v} </tex>  Теперь оценим абсолютную погрешность <tex> \epsilon = |v - машинная эпсилон\tilde{v}|. <br/tex>Тогда относительная погрешность <tex> |v - \tilde{v}| = |(b_x - a_x) (c_y - a_y) - (b_y - a_y) (c_x - a_x) - \\delta- (b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7) + \\+ (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7)|= \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7)) - \\- (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7))|\leq \\\leq |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7))|+ \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7))| = \delta\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot |((1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7) - 1)| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot |((1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7) - 1)|= \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot |\delta_1 + \delta_2 + \delta_3 + \delta_7 + \delta_1 \delta_2 \ldots| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot |\delta_4 + \delta_5 + \delta_6 + \delta_7 + \delta_4 \delta_5 \ldots| \leq \\\leq |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot (|\delta_1| + |\delta_2| + |\delta_3| + |\delta_7| + |\delta_1 \delta_2| \ldots) + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot (|\delta_4| + |\delta_5| + |\delta_6| + |\delta_7| + |\delta_4 \delta_5| \ldots) \leq \\\leq |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|\cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) = \\= (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|)(4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m ^4)</tex> Пусть <tex> t = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|). <br/tex>Получаем, чтоТаким образом, абсолютная погрешность предиката: <tex> \epsilon = |v - \tilde{v}| \leq t \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4). <br/tex> <tex> \varepsilon tilde {t} = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3)|+ \\+ |c_y (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6)| ) (1 + \delta_7) \geq \times \delta\geq |(|b_x - a_x||) (c_y - a_y) (1 - \varepsilon_m)^3)|(1 - \varepsilon_m) + \\+ |(b_y - a_y||) (c_x - a_x) (1 - \varepsilon_m)^3)| (1 - \varepsilon_m) = \times \delta= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)|(1 - \varepsilon_m)^4 + |(b_y - a_y||) (c_x - a_x)|(1 - \varepsilon_m) ^4 = 2 \varepsilon_m \= (|(b_x - a_x||) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|) (1 - \varepsilon_m)^4 = t \cdot (1 - \varepsilon_m)^4</tex>  Итого: <tex> t \leq \tilde{t} \frac{1}{(1 - \varepsilon_m)^4} = \tilde{t} (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) </tex> <tex> \epsilon = |c_x v - a_x\tilde{v}|\leq \tilde{\epsilon} \leq \tilde{t} (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) </tex>.

<tex dpi="180"> \varepsilon(atilde{\epsilon} < 8 \varepsilon_m \tilde{t} </tex> Заметим, b, c) = 2 что это довольно грубая оценка. Вполне можно было бы написать <tex> \tilde{\epsilon} < 4.25 \varepsilon_m \tilde{t} </tex>или <tex> \tilde{\epsilon} < 4.5 \varepsilon_m (|b_x - a_x||c_y - a_y| + |b_y - a_y||c_x - a_x|) \tilde{t}.</tex>