1632
правки
Изменения
м
<tex> \tilde{v} = (b_x \ominus a_x) \otimes (c_y \ominus a_y) \ominus (b_y - a_y) \otimes (c_x \ominus a_x) = </tex><tex> = [ (b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) - </tex><tex> - (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) ] (1 + \delta_7), |\delta_i| \leq \varepsilon_m </tex>Теперь распишем это выражение в дабловой арифметике.
Пусть <tex> e = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)\delta_i| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|) \leq \varepsilon_m </tex>.
rollbackEdits.php mass rollback
# В формате double представимы числа в диапазоне <tex> [2.3 \times 10^{-308}, 1.7 \times 10^{308}] </tex>.
== Особые значение значения чисел с плавающей точкой ==
=== Ноль (со знаком) ===
В нормализованной форме невозможно представить ноль. Для его представления в стандарте зарезервированы специальные значения мантиссы и экспоненты.
=== Расчет <tex> \tilde{\epsilon} </tex> ===
Обозначим <tex> v = (b - a) \times (c - a) = (b_x - a_x) (c_y - a_y) - (b_y - a_y) (c_x - a_x) </tex>.
<tex> v \approx \tilde{v} = (b_x \ominus a_x) \otimes (c_y \ominus a_y) \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (c_x \ominus a_x) = \\ = [ (b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) - \\ - (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) ] (1 + \delta_7),</tex>
Заметим, что <tex> v \epsilon = |v - approx \tilde{v}| \leq e \times (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) </tex>
Теперь оценим абсолютную погрешность <tex> e (1 - \varepsilon)^4 \leq epsilon = |(b_x v - a_x) \times (c_y - a_y) - (b_y - a_y) \times (c_x - a_x)tilde{v}| . </tex>
<tex> e \leq |v - \tilde{ev} | = |(b_x - a_x) (c_y - a_y) - (b_y - a_y) (c_x - a_x) - \\- (b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7) + \\+ (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7)| = \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7)) - \\- (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7))| \leq \\\leq |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7))| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \frac{delta_6) (1 + \delta_7))| = \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot |((1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7) - 1)| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot |((1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1}{+ \delta_6) (1 + \delta_7) - 1)| = \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot |\delta_1 + \delta_2 + \delta_3 + \delta_7 + \delta_1 \delta_2 \ldots| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot |\delta_4 + \delta_5 + \delta_6 + \delta_7 + \delta_4 \delta_5 \ldots| \leq \\\leq |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot (|\delta_1| + |\delta_2| + |\delta_3| + |\delta_7| + |\delta_1 \delta_2| \ldots) + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot (|\delta_4| + |\delta_5| + |\delta_6| + |\delta_7| + |\delta_4 \delta_5| \ldots) \leq \\\leq |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot (4 \varepsilon_m+ 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4)+ \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4} \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) = \tilde{e} \= (|(b_x - a_x) (1 c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|)(4 \varepsilon_m + 10 6 \varepsilon_m^2 + 20 4 \varepsilon_m^3 + \cdotsvarepsilon_m^4) </tex>
Пусть <tex> t = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|).</tex> Получаем, что <tex> \epsilon = |v - \tilde{v}| \leq t \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4). </tex> <tex>\tilde{t} = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3)| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6)|) (1 + \delta_7) \geq \\\geq |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - \varepsilon_m)^3)|(1 - \varepsilon_m) + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - \varepsilon_m)^3)|(1 - \varepsilon_m) = \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| (1 - \varepsilon_m)^4 + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| (1 - \varepsilon_m)^4 = \\= (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|) (1 - \varepsilon_m)^4 = t \cdot (1 - \varepsilon_m)^4</tex> Итого: <tex> t \leq \tilde{t} \frac{1}{(1 - \varepsilon_m)^4} = \tilde{t} (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) </tex> <tex> \epsilon= |v - \tilde{v} | \leq \tilde{\epsilon} \leq \tilde{t} (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) </tex>
=== Ответ ===
<tex dpi="180"> \tilde{\epsilon} < 8 \varepsilon_m \tilde{t} </tex> Заметим, что это довольно грубая оценка. Вполне можно было бы написать <tex> \tilde{\epsilon} < 4.25 \varepsilon_m \tilde{t} </tex>или <tex> \tilde{\epsilon} < 4.5 \varepsilon_m \tilde{t}.</tex>
== Ссылки ==
[http://en.wikipedia.org/wiki/Unit_in_the_last_place en.wikipedia.org ''Unit in the last place'']
[http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82_%22%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%82%22 neerc.ifmo.ru/mediawiki ''Предикат "левый поворот"'']
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
