1632
правки
Изменения
м
Мы получили оценку на вещественную погрешность <tex> \epsilon </tex>. Теперь, чтобы получить оценку на дабловую погрешность <tex> \tilde{\epsilon} </tex>нам нужно провести аналогичные действия с <tex> t = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|).</tex> После чего мы получимИтого: <tex> t (1 - \varepsilon)^4 \leq |(b_x - a_x) \times (c_y - a_y) - (b_y - a_y) \times (c_x - a_x)| </tex>
rollbackEdits.php mass rollback
Теперь распишем это выражение в дабловой арифметике.
<tex>\tilde{v} = (b_x \ominus a_x) \otimes (c_y \ominus a_y) \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (c_x \ominus a_x) = \\
= [ (b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) - \\
- (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) ] (1 + \delta_7),</tex>
Заметим, что <tex> v \approx \tilde{v} </tex>
Теперь оценим абсолютную погрешность <tex> \epsilon = |v - \tilde{v}|. </tex>
<tex> |v - \tilde{v}| = |(b_x - a_x) (c_y - a_y) - (b_y - a_y) (c_x - a_x) - \\
+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) = \\
= (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|)(4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4)</tex>
Пусть <tex> t = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|).</tex> Получаем, что
<tex> \epsilon = |v - \tilde{v}| \leq t \times cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) . </tex>
<tex>\tilde {t} = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3)| + \\
+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6)|) (1 + \delta_7) \geq \\
\geq |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - \varepsilon_m)^3)|(1 - \varepsilon_m) + \\
+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - \varepsilon_m)^3)|(1 - \varepsilon_m) = \\
= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| (1 - \varepsilon_m)^4 + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| (1 - \varepsilon_m)^4 = \\
= (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|) (1 - \varepsilon_m)^4 = t \cdot (1 - \varepsilon_m)^4</tex>
<tex> t \leq \tilde{t} \frac{1}{(1 - \varepsilon_m)^4} = \tilde{t} (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) </tex>
<tex> \epsilon = |v - \tilde{v}| \leq \tilde{\epsilon} \leq \tilde{\epsilont} (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) </tex>
=== Ответ ===
<tex dpi="180"> \tilde{\epsilon} < 8 \varepsilon_m \tilde{t} </tex> Заметим, что это довольно грубая оценка. Вполне можно было бы написать <tex> \tilde{\epsilon} < 4.25 \varepsilon_m \tilde{t} </tex>или <tex> \tilde{\epsilon} < 4.5 \varepsilon_m \tilde{t}.</tex>
== Ссылки ==
