Редактирование: Преобразование Мёбиуса для получения коэффициентов полинома Жегалкина

Пусть задана булева функция <tex>f: B^n \rightarrow B, \;\; B=\{ 0; 1 \}</tex>. Любая булева функция представима в виде полинома Жегалкина, притом единственным образом. Пусть <tex> i = (i _{1}, i _{2}, .. i _{n}), \;\; i _{k} = \{0 ; 1\}</tex>, и введем обозначение <tex> x ^{i _{k}} \sim \left\{\begin{matrix} x, \;\; i _{k}=1
\\ 1, \;\; i _{k}=0
\end{matrix}\right. </tex> &nbsp;&nbsp; Тогда полином Жегалкина можно записать как:
:<math> f(x) = \bigoplus _{i} \alpha _{i} \cdot x_{1}^{i_{1}} \cdot x_{2}^{i_{2}} \cdot ... \cdot x_{n}^{i_{n}}</math>,
:где   <tex>\alpha _{i} \in  \{ 0; 1 \}</tex>

Тогда отображение  <tex>f\rightarrow \alpha _{i} </tex> (то есть такое, которое по заданной функции определяет ее коэффициенты при членах полинома Жегалкина) является:

: <math>\alpha _{i} = \bigoplus _{j\preceq  i} f(j)</math>

Такое отображение также называется '''преобразованием Мёбиуса'''.
----
<br/>
Очевидно, функцию <tex> f </tex> можно записать и следующим образом:

: <math> f(x) = \bigoplus _{i} \alpha _{i} \cdot [x _{1} , \; \text {if} \;\; i _{1}] \cdot [x _{2} , \; \text {if} \;\; i _{2}] \cdot ... \cdot [x _{n} , \; \text {if} \;\; i_{n}]</math>

Запись <tex>[x _{k} , \; \text {if} \; i _{k}]</tex> означает, что элелемент <tex> x_{k} </tex> присутствует в соответствующем члене полинома только если <tex> i_{k} = 1 </tex>. 
Отсюда ясно, что
 
: <math> f(x) = \bigoplus _{i \preceq x} \alpha _{i} </math>.

Таким образом, если применить '''преобразование Мёбиуса''' к функции, а затем вновь применить то же преобразование к получившейся функции, тогда вновь получим исходную функцию <tex>f</tex>. То есть '''преобразование Мёбиуса''' обратно самому себе.