Префикс-функция

Материал из Викиконспекты
Версия от 08:03, 7 ноября 2019; 31.134.191.148 (обсуждение) (Вернул обратно)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Префикс-функция (англ. prefix-function) от строки — массив длин наибольших бордеров для каждой позиции этой строки

Здесь и далее считаем, что символы в строках нумеруются с [math]0[/math].

Определим префикс-функцию от строки [math]s[/math] в позиции [math]i[/math] следующим образом: [math]\pi(s, i) = \max\limits_{k = 1 \ldots i} \{k : [/math] [math]s[0 \ldots k - 1] = s[i - k + 1 \ldots i] \}[/math]. Если мы не нашли такого [math]k[/math], то [math]\pi(s, i)=0[/math].

Наивный алгоритм[править]

Наивный алгоритм вычисляет префикс-функцию непосредственно по определению, сравнивая префиксы и суффиксы строк. Обозначим длину строки за [math]n[/math]. Будем считать, что префикс-функция хранится в массиве [math] p [/math].

Псевдокод[править]

int[] prefixFunction(string s):
     int[] p = int[s.length]
     fill(p, 0)
     for i = 0 to s.length - 1
         for k = 0 to i - 1
             if s[0..k] == s[i - k..i]
                 p[i] = k
     return p

Пример[править]

Рассмотрим строку [math]abcabcd[/math], для которой значение префикс-функции равно [math][0,0,0,1,2,3,0][/math].

Шаг Строка Значение функции
[math]1[/math] a 0
[math]2[/math] ab 0
[math]3[/math] abc 0
[math]4[/math] abca 1
[math]5[/math] abcab 2
[math]6[/math] abcabc 3
[math]7[/math] abcabcd 0

Время работы[править]

Всего [math]O(n^2)[/math] итераций цикла, на каждой из который происходит сравнение строк за [math]O(n)[/math], что дает в итоге [math]O(n^3)[/math].

Эффективный алгоритм[править]

Вносятся несколько важных замечаний:

  • Заметим, что [math]p[i + 1] \leqslant p[i] + 1[/math]. Чтобы показать это, рассмотрим суффикс,оканчивающийся на позиции [math]i + 1[/math] и имеющий длину [math]p[i + 1][/math], удалив из него последний символ, мы получим суффикс, оканчивающийся на позиции [math]i[/math] и имеющий длину [math]p[i + 1] - 1[/math], следовательно неравенство [math]p[i + 1] \gt p[i] + 1[/math] неверно.
  • Избавимся от явных сравнений строк. Пусть мы вычислили [math]p[i][/math], тогда, если [math]s[i + 1] = s[p[i]][/math], то [math]p[i + 1] = p[i] + 1[/math]. Если окажется, что [math]s[i + 1] \ne s[p[i]][/math], то нужно попытаться попробовать подстроку меньшей длины. Хотелось бы сразу перейти к такому бордеру наибольшей длины, для этого подберем такое [math]k[/math], что [math]k = p[i] - 1[/math]. Делаем это следующим образом. За исходное [math]k[/math] необходимо взять [math]p[i - 1][/math], что следует из первого пункта. В случае, когда символы [math]s[k][/math] и [math]s[i][/math] не совпадают, [math]p[k - 1][/math] — следующее потенциальное наибольшее значение [math]k[/math], что видно из рисунка. Последнее утверждение верно, пока [math]k\gt 0[/math], что позволит всегда найти его следующее значение. Если [math]k=0[/math], то [math]p[i]=1[/math] при [math]s[i] = s[1][/math] , иначе [math]p[i]=0[/math].

Mprfx.jpg

Псевдокод[править]

int[] prefixFunction(string s):
  p[0] = 0
  for i = 1 to s.length - 1
      k = p[i - 1]
      while k > 0 and s[i] != s[k]
          k = p[k - 1]
      if s[i] == s[k]
          k++
      p[i] = k
  return p

Время работы[править]

Время работы алгоритма составит [math]O(n)[/math]. Для доказательства этого нужно заметить, что итоговое количество итераций цикла [math]\mathrm{while}[/math] определяет асимптотику алгоритма. Теперь стоит отметить, что [math]k[/math] увеличивается на каждом шаге не более чем на единицу, значит максимально возможное значение [math]k = n - 1[/math]. Поскольку внутри цикла [math]\mathrm{while}[/math] значение [math]k[/math] лишь уменьшается, получается, что [math]k[/math] не может суммарно уменьшиться больше, чем [math]n-1[/math] раз. Значит цикл [math]\mathrm{while}[/math] в итоге выполнится не более [math]n[/math] раз, что дает итоговую оценку времени алгоритма [math]O(n)[/math].

Построение префикс-функции по Z-функции[править]

Постановка задачи[править]

Дан массив с корректной Z-функцией для строки [math]s[/math], получить за [math]O(n)[/math] массив с префикс-функцией для строки [math]s[/math].

Описание алгоритма[править]

Пусть Z-функция хранится в массиве [math]z[0 \ldots n-1][/math]. Префикс-функцию будем записывать в массив [math]p[0 \ldots n-1][/math]. Заметим, что если [math]z[i] \gt 0, [/math] то для всех элементов с индексом [math]i + j[/math], где [math]0 \leqslant j \lt  z[i] [/math], значение [math]p[i + j] [/math] будет не меньше, чем длина подстроки с [math] i [/math] по [math] i + j[/math], что равно [math]j + 1[/math] (как изображено на рисунке).

Также заметим, что если мы уже установили в какую-то позицию значение [math] j [/math] с позиции [math] i [/math], а потом пытаемся установить значение [math] j' [/math] c позиции [math] i' [/math], причём [math] i \lt i' [/math] и [math] i + j = i' + j' [/math], то изменение с позиции [math] i' [/math] только уменьшит значение [math] p[i + j][/math]. Действительно, значение после первого присвоения [math]p[i + j] = j \gt j' = p[i' + j'][/math]. В итоге получаем алгоритм: идем слева направо по массиву [math]z[/math] и, находясь на позиции [math]i[/math], пытаемся записать в [math]p[/math] от позиции [math]i + z[i] - 1 [/math] до [math]i[/math] значение [math] j + 1,[/math] где [math]j[/math] пробегает все значения [math] 0 \dots z[i] - 1[/math], пока не наткнемся на уже инициализированный элемент. Слева от него все значения тоже нет смысла обновлять, поэтому прерываем эту итерацию.

Убедимся, что алгоритм работает за линейное время (см. псевдокод). Каждый элемент устанавливается ровно один раз. Дальше на нем может случиться только [math]\mathrm{break}[/math]. Поэтому в итоге внутренний цикл суммарно отработает за количество установленных значений и количество [math]\mathrm{break}[/math]. Количество установленных значений — [math] n[/math]. А число [math]\mathrm{break}[/math] тоже будет не больше [math]n[/math], так как каждый [math]\mathrm{break}[/math] переводит внешний цикл на следующую итерацию, откуда получаем итоговую асимптотику [math]O(n)[/math].

ZP4.jpg

Псевдокод[править]

int[] buildPrefixFunctionFromZFunction(int[] z):
  int[] p = int[z.length]
  fill(p, 0)
  for i = 1 to z.length - 1
    for j = z[i] - 1 downto 0
      if p[i + j] > 0 
        break
      else
        p[i + j] = j + 1
  return p

Построение строки по префикс-функции[править]

Постановка задачи[править]

Восстановить строку по префикс-функции за [math]O(n)[/math], считая алфавит неограниченным.

Описание алгоритма[править]

Пусть в массиве [math]p[/math] хранятся значения префикс-функции, в [math]s[/math] будет записан ответ. Пойдем по массиву [math]p[/math] слева направо.

Пусть мы хотим узнать значение [math]s[i][/math]. Для этого посмотрим на значение [math]p[i][/math]: если [math]p[i] =0[/math], тогда в [math]s[i][/math] запишем новый символ, иначе [math]s[i] = s[p[i] - 1][/math]. Обратим внимание, что [math]s[p[i] - 1][/math] нам уже известно, так как [math]p[i] - 1 \lt i[/math].

Реализация[править]

string buildFromPrefix(int[] p):
  s = "" 
  for i = 0 to p.length - 1
      if p[i] == 0     
          s += new character
      else
          s += s[p[i] - 1]
  return s

Доказательство корректности алгоритма[править]

Докажем, что если нам дали корректную префикс-функцию, то наш алгоритм построит строку с такой же префикс-функцией. Также заметим, что строк с такой префикс-функцией может быть много, и алгоритм строит только одну из них.

Пусть [math]p[/math] — данная префикс-функция, строку [math]s[/math] построил наш алгоритм, [math] q [/math] — массив значений префикс-функции для [math]s[/math].

Докажем корректность индукцией по длине массива префикс-функции полученной строки. Для начала заметим, что на предыдущие значения массива [math] q [/math] прибавление нового символа не влияет, так как при подсчёте префикс-функции на [math] i [/math]-ой позиции рассматриваются символы на позициях не больше [math] i [/math]. Поэтому достаточно показать, что очередное значение префикс-функции будет вычислено правильно.

  • База очевидна для строки длины [math]1[/math].
  • Переход: пусть до [math]n[/math]-ой позиции мы построили строку, что [math]p[0 \ldots n - 1] = q[0 \ldots n - 1][/math]. Возможны два случая:
    • [math]p[n] = 0[/math]. Тогда мы добавляем новый символ, поэтому [math]q[n][/math] тоже будет равно [math]0[/math].
    • [math]p[n] \gt 0[/math]. Бордер строки [math] s[0 \ldots n - 1] [/math] имеет длину [math] p[n-1] = q[n-1] [/math]. Поэтому если дописать к строке [math] s [/math] символ [math] s[q[n] - 1] [/math], то бордер нашей новой строки [math] s[0 \ldots n] [/math] станет равен [math] p[n] [/math], как можно увидеть на рисунке.

Критерий корректности значений префикс-функции[править]

Задача:
Дан массив значений префикс-функции некоторой строки [math]s[/math], необходимо проверить, корректен ли он за [math]O(|s|)[/math]. Так же узнать размер минимального алфавита, при котором он корректен.


Решение[править]

Если выполняется неравенство [math]0 \leqslant p[i + 1] \leqslant p[i] + 1[/math], то мы можем построить строку из алгоритма выше, значит префикс-функция корректна.

Найдем минимальный алфавит, при котором префикс-функция корректна. Если значение префикс-функции в текущей ячейке больше нуля, буква известна и алфавит не нуждается в добавлении новой буквы. Иначе, необходимо исключить все ранее известные буквы, возвращаясь и проверяя для меньших префиксов. Если все уже известные буквы использованы, понятно что, необходимо добавить новую букву.

Доказательство корректности[править]

Докажем, что найденнный выше алфавит минимален от противного. Допустим, существует строка, использующая алфавит меньшей мощности. Рассмотрим первое вхождение буквы, которая есть в нашем алфавите, а в их отсутствует. Понятно, что для этого символа префикс-функция равна 0, т.к. мы добавили новую букву. Пройдемся циклом [math]\mathrm{while}[/math] по подпрефиксам. Т.к. в меньшем решении буква не новая, то она увеличит подпрефикс и префикс-функция в новой строке будет отличаться от нуля в этом символе, а должна равняться нулю. Противоречие, следовательно не существует алфаивта меньшей мощности, чем найденный алгоритмом выше.

Псевдокод[править]

bool is_correct(int[] p):
  for i = 0 to p.length - 1
      if i > 0 && p[i] > p[i - 1] + 1 || p[i] < 0
          return false           
  return true
int minimal_alphabet(int[] p):
  c = 1
  s[0] = 0
  for i = 1 to p.length - 1
       if p[i] == 0
          fill(used, false)
          k = p[i - 1]              
          while k > 0
              used[s[k]] = true
              k = p[k - 1]
          s[i] = -1
          for j = 1 to c
              if !used[j]
                  s[i] = j;
                  break
          if s[i] == -1
              s[i] = c++  
       else
          s[i] = s[p[i] - 1]                    
  return c

См. также[править]

Источники информации[править]