Просмотр исходного текста страницы Приближение непрерывной функции полиномами на отрезке

{{В разработке}}

== Постановка задачи ==

В курсе математического анализа уже рассмотрено два аппарата приближения функции, причём оба имеют локальный характер. А именно, мы можем приближать функцию с помощью формулы Тейлора или с помощью интерполяционного полинома:
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)</tex>
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} f(x_k)\phi_k(x) </tex><tex dpi = "160">+ \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!}</tex><tex> \cdot \omega_n(x)</tex>

Причём оба способа дают хорошую точность при хороших дифференциальных свойствах функции.

Можно поставить иную задачу, которая является намного более сложной: пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>. Существует ли <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> некоторый полином <tex>P</tex> (неважно, какой степени) такой, что <tex>\forall x \in [a; b]: \  |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>?

Принципиальное отличие этой задачи - требование хорошей точности для всего отрезка при минимальных ограничениях на функцию.

Заметим, что непрерывность функции является необходимым условием. Действительно, пусть <tex>f</tex> такова, что <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> полином найдётся. Покажем, что <tex>f</tex> необходимо непрерывна:
:<tex>\forall \varepsilon > 0</tex> есть полином <tex>P</tex>, "обслуживающий" <tex>\varepsilon</tex> на всём отрезке.
:<tex>|f(x + \Delta x) - f(x)| \le |f(x + \Delta x) - P(x + \Delta x)| + |f(x) - P(x)| + |P(x + \Delta x) - P(x)| \le 2 \varepsilon + |P(x + \Delta x) - P(x)|</tex>.

Но полином непрерывен, а значит, <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: |\Delta x| < \delta \Rightarrow |P(x + \Delta x) - P(x)| < \varepsilon</tex>.

Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: |\Delta x| < \delta \Rightarrow |f(x + \Delta x) - f(x)| < 3 \varepsilon</tex>, то есть, <tex>f</tex> непрерывна в точке <tex>x</tex>.

Положительный ответ на поставленный вопрос впервые был дан Вейерштрассом.

== Теорема о существовании искомого полинома ==

Докажем сначала теорему Бернштейна, рассматривающую только функции, непрерывные на <tex>[0; 1]</tex>. 

{{Теорема
|author=
Бернштейн
|statement=
Пусть функция <tex>f</tex> - непрерывна на <tex>[0; 1]</tex>. Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists P(x)</tex> - полином, такой, что <tex>\forall x \in [0; 1] \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>
|proof=

Рассмотрим функцию <tex>f(x)</tex>, непрерывную на отрезке <tex>[a; b]</tex>. Определим полиномы:
:<tex>B_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}f\left(\frac kn \right)C_n^k x^k (1 - x)^{n - k}</tex>, которые называются полиномами Бернштейна функции <tex>f</tex>.

Заметим, что <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n}  C_n^k x^k (1 - x)^{n - k} = \left[ x + (1 - x) \right  ] ^ n = 1, \qquad \forall x \in \mathbb{R}</tex>.

Далее, для сокращения записи положим <tex>P_{n, k}(x) = C_n^k x^k (1 - x)^{n - k}</tex>.
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} f(x) P_{n, k}(x), \qquad f(x) - B_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}\left(f(x) - f \left( \frac k n \right ) \right ) P_{n, k}(x)</tex>.
:<tex>\forall x', x'' \in [0; 1] \Rightarrow |f(x'')-f(x')| \le \omega(f, |x''-x'|)</tex>, где <tex>\omega(f, x)</tex> - [[модуль непрерывности функции]] <tex>f</tex>.
:<tex>|f(x) - B_n(f, x)| \le \sum\limits_{k = 0}^{n} \left |f(x) - f\left ( \frac k n \right ) \right | P_{n, k}(x) \le \sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega(f, \left|x - \frac kn\right|)</tex>.

Выше мы доказали, что <tex>\sum\limits_{k=0}^n P_{n,k}(x) = 1</tex>, поэтому к последней сумме применима теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности:
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega(f, \left|x - \frac kn\right|) \le \sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega^*(f, \left|x - \frac kn\right|) \le</tex> (по [[Выпуклые функции#Неравенство Йенсена|неравенству Йенсена]]) <tex>\omega^*\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right) \le 2\omega\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right)</tex>

Итак, <tex>|f(x) - B_n(f, x)|     \le       2\omega\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right)</tex>. Оценим сумму в правой части сверху, тогда при замене суммы оценкой правая часть только возрастет(в силу возрастания модуля непрерывности).
По [[Неравенства_Гёльдера,_Минковского#Теорема Минковского|неравенству Коши для сумм]]
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| \sqrt{P_{n, k}(x)}\cdot \sqrt{P_{n, k}(x)}</tex> <tex>\le \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)} \cdot \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)} = \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)}</tex>
Вставим полученное неравенство в оценку: <tex>|f(x) - B_n(f, x)|  \le  2\omega \left( f, \sqrt{\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x)}\,\right)</tex> (все эти преобразования были нужны, потому что суммы с модулем трудно сворачиваются).
Покажем теперь с помощью метода производящих функций, что <tex dpi="125">\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 P_{n, k}(x) = \frac{x(1-x)}n</tex>.

Для этого рассмотрим полином <tex>\varphi(t) = \sum\limits_{k=0}^n a_k t^k</tex>, где <tex>{a_k}</tex> - произвольная конечная числовая последовательность (такой полином называют производящей функцией). Заметим, что
:<tex>\varphi'(t) = \sum\limits_{k=1}^n k a_k t^{k-1}</tex>

:<tex>\varphi''(t) = \sum\limits_{k=2}^n k(k-1) a_k t^{k-2}</tex>
и поэтому
:<tex>\varphi(1) = \sum\limits_{k=0}^n a_k</tex>

:<tex>\varphi'(1) = \sum\limits_{k=0}^n k a_k</tex>

:<tex>\varphi''(1) = \sum\limits_{k=0}^n k(k-1) a_k</tex> (в двух последних суммах слагаемые при <tex>k</tex>, равных <tex>0</tex> или <tex>1</tex>, обращаются в <tex>0</tex>, поэтому суммы определены корректно).

Положим теперь <tex>a_k = P_{n,k}(x)</tex> и рассмотрим производящую функцию
:<tex>\varphi(t) = \sum\limits_{k=0}^n P_{n,k}(x) t^k = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k (xt)^k (1-x)^{n-k} = (xt + 1 - x)^n</tex>

С целью упрощения дальнейших выкладок обозначим <tex>p = x, \, q = 1 - x, \, p + q = 1</tex>.
:<tex>\varphi(t) = (pt + q)^n</tex>
:<tex>\varphi'(t) = np(pt + q)^{n-1}</tex>
:<tex>\varphi''(t) = n(n-1)p^2(pt + q)^{n-2}</tex>
Т. к. <tex>p + q = 1</tex>, то
:<tex>\varphi(1) = 1, \varphi'(1) = np, \, \varphi''(1) = n(n-1)p^2</tex>

Вернемся к свертыванию суммы: 
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 C_n^k x^k (1-x)^{n-k} =</tex>(раскрывая квадрат и подставляя <tex>p</tex> и <tex>q</tex>) <tex>\frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)</tex>
Первые две суммы в скобках можно посчитать по уже известным формулам, полученным из производящей функции, для вычисления третьей заметим, что <tex>k^2 = k(k-1) + k</tex>.
:<tex>\frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)</tex> <tex> = \frac 1{n^2}(n^2 p^2 \cdot 1 - 2np \cdot np + np + n(n-1)p^2) = </tex> <tex dpi = "130">\frac{np - np^2}{n^2} = \frac{pq}n = \frac{x(1-x)}n</tex>, ч. т. д.

{{Лемма
|statement=<tex>|f(x)-B_n(f, x)| \le 2 \omega(f, \frac 1{2 \sqrt n})</tex>
|proof=
Так как <tex>\omega(t)</tex> возрастает и <tex>\sqrt{\frac{x(1 - x)}{n}} \leq \sqrt{\frac1{4n}} = \frac1{2\sqrt{n}}</tex>(из <tex>x(1 - x) \leq \frac14 </tex>), можно в неравенстве <tex>|f(x) - B_n(x)| \leq 2\omega(f, \sqrt{\frac{x(1 -x)}{n}})</tex> заменить <tex>\sqrt{\frac{x(1 - x)}{n}}</tex> на <tex>\frac1{2\sqrt{n}}</tex>, получив требуемое.
}}

По свойству модуля непрерывности
:<tex>\lim\limits_{n \to +0} \omega(f, h) = 0</tex>, т. е. <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta : 0 < h \le \delta \Rightarrow \omega(f, h) \le \varepsilon</tex>.
Т. к. <tex>\lim\limits_{n \to + \infty}\frac 1{2 \sqrt n} = 0</tex>, то <tex>\exists N \in \mathbb N: \frac 1{2 \sqrt N} \le \delta</tex>. Отсюда по лемме <tex>|f(x) - B_N(f, x)| \le 2 \omega(f, \frac 1{2 \sqrt N}) \le 2 \varepsilon</tex> (по выбору <tex>N</tex> и <tex>\varepsilon</tex>) и теорема Бернштейна доказана.

}}

Теперь докажем для произвольного отрезка <tex>[a; b]</tex>.

{{Теорема
|id=
weirstrasscont
|author=
Вейерштрасс
|statement=
Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>.
Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists P \forall x \in [0; 1]: |f(x) - P(f, x)|  \le \varepsilon</tex>
|proof=
Теорема Вейерштрасса напрямую следует из теоремы Бернштейна. Отрезок <tex>[0; 1]</tex> можно перевести в отрезок <tex>[a; b]</tex>
линейным преобразованием вида <tex>y = (b - a)x + a</tex>. Также существует обратное преобразование <tex dpi=130>x = \frac{y - a}{b - a}</tex>. Оба этих преобразования линейны.

Рассмотрим вспомогательную функцию <tex>g(t) = f((b - a)t + a),\ t \in [0; 1]</tex>.

По только что доказанной теореме Бернштейна, <tex>|g(t) - B_n(t)| \leq \varepsilon </tex>.

Так как <tex dpi=130>t = \frac{x - a}{b - a}</tex>, то, подставляя это, получаем <tex dpi=130>|f(x) - B_n(g, \frac{x - a}{a - b})| \leq \varepsilon</tex>. Значит, можно взять <tex dpi=130>P(x) =  B_n(g, \frac{x - a}{b - a})</tex>.
}}

== Равномерная сходимость == 

Всё это переводится на язык равномерной сходимости или так называемой Чебышёвской метрики.

{{Определение
|definition=
<tex>\mathcal{C}[a, b]</tex> {{---}} класс функций, непрерывных на <tex>[a; b]</tex>.
}}

По арифметике непрерывности получаем, что <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex> {{---}} линейное множество: если <tex>f, g \in \mathcal{C}[a, b]</tex>, то тогда <tex>\forall \alpha, \beta\quad \alpha f(x) + \beta g(x) \in \mathcal{C}[a, b]</tex>.

{{Определение
|definition=
Чебышёвская(равномерная) норма функции <tex>\| f \| = \max\limits_{[a; b]} |f(x)|</tex>
}}

Эта величина удовлетворяет трем законам:
* <tex>\| f \| \ge 0</tex> и <tex>\| f \| = 0 \iff f = 0</tex>
* <tex>\| \alpha f \| = |\alpha| \| f \|</tex>
* <tex>\| f + g \| \le \| f \| + \| g \|</tex>

{{Определение
|definition=
<tex>f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n</tex> в <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex>, если <tex>\lim\limits_{n \to \infty}\| f_n - f \| = 0</tex>.
Или, по определению предела, 
<tex>\lim\limits_{n \to \infty}\| f_n - f \| = 0 \iff \forall \varepsilon \ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in [a; b]:\quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>.
Если правую часть воспринимать независимо от нормы, то говорят, что <tex>f_n \stackrel{[a; b]}{\rightrightarrows} f</tex> (<tex>f_n</tex> ''равномерно сходится'' к <tex>f</tex>).
}}

С этой точки зрения, теорема Вейерштрасса означает следующее. Обозначим за <tex>\mathcal{P}</tex> множество всех полиномов.
Тогда <tex>\mathcal{P}</tex> {{---}} линейное множество в <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex>.
По теореме Вейерштрасса получаем <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall f \in \mathcal{C}[a; b]\ \exists T \in \mathcal{P}: \ \| f - T \| < \varepsilon</tex>. Поэтому, по аналогии с рациональными числами, говорят, что <tex>\mathcal{P}</tex> ''всюду плотно'' расположено в <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex>
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]