Изменения

=={{Определение|definition==Грамматикой в '''нормальной форме Грейбах''' (англ. ''Greibach normal form'') называется [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]], в которой могут содержаться только правила одного из следующих типов::<tex> A \rightarrow a\gamma </tex> :<tex> S \rightarrow \varepsilon </tex>где <tex> a </tex> {{---}} терминал, <tex> A </tex> {{---}} нетерминал (возможно, стартовый), <tex> S </tex> {{---}} стартовый нетерминал (причём он не должен встречаться в правых частях правил), <tex> \varepsilon </tex> {{---}} пустая строка, <tex> \gamma </tex> {{---}} строка из не более, чем двух нетерминалов.}}

|definition=Грамматикой в '''ослабленной нормальной форме Грейбах''' (англ. ''Greibach weaked weak normal form'') называется [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]], в которой могут содержатся содержаться только правила только следующего видаодного из следующих типов::<tex> A \rightarrow a\gamma </tex> :<tex> S \rightarrow \varepsilon </tex>где <tex> a </tex> {{---}} терминал, <tex> A </tex> {{---}} нетерминал (возможно, стартовый), <tex> S </tex> {{---}} стартовый нетерминал (причём он не должен встречаться в правых частях правил), <tex> \varepsilon </tex> {{---}} пустая строка, <tex> \gamma </tex> {{---}} строка из произвольного числа терминалов и нетерминалов. }}  == Приведение грамматики к ослабленной нормальной форме Грейбах =={{Теорема|statement=Любую контекстно-свободную грамматику можно привести к ослабленной нормальной форме Грейбах.|proof=Рассмотрим контекстно-свободную грамматику <tex> \Gamma </tex>. Для приведения её к нормальной ослабленной форме Грейбах нужно выполнить три шага. На каждом шаге мы строим новую грамматику, допускающую тот же язык, что и <tex> \Gamma </tex>. #Избавимся от <tex> \varepsilon </tex>-правил. Для этого воспользуемся [[Удаление_eps-правил_из_грамматики | алгоритмом удаления <tex> \varepsilon </tex>-правил]].#Воспользуемся [[Устранение_левой_рекурсии|алгоритмом устранения левой рекурсии]].Получим грамматику, все правила которой будут иметь следующий вид:#* <tex> A_i \rightarrow a \gamma </tex>, #* <tex> A_i \rightarrow A_j \gamma </tex>, где <tex> A_i </tex>,<tex> A_j </tex> {{---}} нетерминалы, <tex> a </tex> {{---}} терминал, <tex> \gamma </tex> {{---}} произвольная последовательность из терминалов и нетерминалов, <tex> i < j </tex>.#Воспользуемся следующей функцией для придания грамматике нужного вида: '''function''' greibah(правила <tex>A_1 \dots A_n</tex> из контекстно-свободной грамматики <tex> \Gamma </tex>): '''for''' i = n .. 1 '''for''' j = i + 1 .. n Для каждого правила вывода из <tex> A_j </tex> вида <tex> A_j \rightarrow \delta_1 | \ldots | \delta_k </tex> заменить каждое правило <tex> A_i \rightarrow A_j \gamma </tex> на <tex> A_i \rightarrow \delta_1\gamma | \ldots | \delta_k\gamma </tex>.

После каждой итерации главного цикла все правила для <tex> S A_k </tex> (где <tex>k \geqslant i</tex>) будут иметь вид <tex> A_k \rightarrow a \varepsilon gamma </tex>.Значит,после применения процедуры все правила грамматики будут иметь вид <tex> A \rightarrow a \gamma </tex>.

где <tex> a </tex> {{---}} терминалТаким образом, <tex> A </tex> {{---}} нетерминал, <tex> S </tex> {{---}} стартовая вершинамы получили грамматику в ослабленной нормальной форме Грейбах, <tex> \varepsilon </tex> {{---}} пустая строкакоторая допускает тот же язык, <tex> \gamma </tex> {{---}} строка из произвольного количества терминалов что и нетерминалов, стартовая вершина не содержится в правых частях правилисходная.

==Алгоритм приведения грамматики к ослабленной нормальной форме ГрейбахПример =={| border="1" class="wikitable" style="width: 500px; height: 500px; float: left;"!style="background:#41aef0"|Текущий шаг!style="background:#41aef0"|Грамматика после применения правила|-Приведем алгоритм, позволяющий для к|''0.с. грамматики Исходная грамматика''|<tex>S\rightarrow XA|BB</tex> <br> <tex>B\rightarrow b|SB</tex> <br> <tex>X\rightarrow b</tex><br> <tex>A\rightarrow a</tex>|-|''без &epsilon;1. Удаление <tex>\varepsilon</tex>-правил''|<tex>S\rightarrow XA|BB</tex> <br> <tex>B\rightarrow b|SB</tex> <br> <tex>X\rightarrow b</tex><br> <tex>A\rightarrow a</tex>|-|''2. Удаление стартового нетерминала из правых частей правил|<tex>S\rightarrow XA|BB</tex> <br> <tex>B\rightarrow bAB|BBB|b</tex> <br> <tex>X\rightarrow b</tex><br> <tex>A\rightarrow a</tex>|-|'' построить эквивалентную ей к3.сУдаление левой рекурсии|<tex>S\rightarrow XA|BB</tex> <br> <tex>B\rightarrow bAB|b|bABZ|bZ</tex> <br> <tex>Z\rightarrow BB|BBZ</tex> <br> <tex>X\rightarrow b</tex> <br> <tex>A\rightarrow a</tex>|-|''4. грамматику (без &epsilon;Выполняем функцию '''greibah''' для правила <tex>S\rightarrow XA|BB</tex>|<tex>S\rightarrow bA|bABB|bB|bABZB|bZB</tex> <br> <tex>B\rightarrow bAB|b|bABZ|bZ</tex> <br> <tex>Z\rightarrow BB|BBZ</tex> <br> <tex>X\rightarrow b</tex> <br> <tex>A\rightarrow a</tex>|-правил), содержащую только |''5. Выполняем функцию '''greibah''' для правила вида <tex>Z\rightarrow BB|BBZ</tex>|<tex>S\rightarrow bA|bABB|bB|bABZB|bZB</tex> <br> <tex>B\rightarrow bAB|b|bABZ|bZ</tex> <br> <tex>Z\rightarrow bABB|bB|bABZB|bZB|bABBZ|bBZ|bABZBZ|bZBZ</tex> <br> <tex>X\rightarrow b</tex> <br> <tex>A \rightarrow a </tex>|}<div style="clear:both;"></div>  === Асимптотика === Алгоритм состоит из трех шагов, сложность первого и последнего шага равны <tex>O(\left| \Gamma \right|)</tex> и <tex>O(\left| \Gamma \right| ^ 2)</tex> соответственно. Таким обзом, сложность алгоритма является <tex>O(\left| \Gamma \right| ^ 2) + O\left(n\sum\limits_{i=1}^n a_j\right)</tex>, где второй член {{---}} сложность алгоритма удаления левой рекурсии. == Применение =='''Простота доказательств''' Использование нормальных форм существенно упрощает доказательство теорем. Например, использование нормальной формы Грейбах позволяет доказать, что для каждого контекстно-свободного языка (не содержащего <tex>\varepsilon</tex>) существует автомат с магазинной памятью без переходов по <tex>\alphavarepsilon</tex>.<ref>[http://www.cis.upenn.edu/~jean/old511/html/cis51108sl4b.pdf Jean Gallier {{---}} Discrete Mathematics]</ref> '''Разбор грамматики''' Нормальная форма Холмского позволяет производить разбор грамматики. Например, с помощью [[Алгоритм Кока-Янгера-Касами разбора грамматики в НФХ|алгоритма Кока-Янгера-Касами]]. В свою очередь, нормальная форма Грейбах позволяет использовать метод рекурсивного спуска, сложность которого является линейной, несмотря на возвраты. == См. также ==* [[Контекстно-свободные_грамматики,_вывод,_лево-_и_правосторонний_вывод,_дерево_разбора|Контекстно-свободные грамматики]]* [[Нормальная_форма_Куроды | Нормальная форма Куроды]]* [[Нормальная_форма_Хомского | Нормальная форма Хомского]]

===Алгоритм для грамматики без ε-правил===Первым делом, используем [[Устранение_левой_рекурсии|алгоритм устранения левой рекурсии]]. После этого все правила грамматики будут иметь вид*<tex>A_i \rightarrow a \alpha </tex>, где <tex>\alpha</tex> - терминал*<tex>A_i \rightarrow A_j \alpha </tex>, где <tex>i < j<references /tex>

Затем проведем процедуру, похожую на используемую при устранении левой рекурсии:: for i = n downto 1 {=Источники информации==* [[wikipedia:en:for j = n downto i + 1 Greibach normal form | Wikipedia {{---}} Greibach normal form]]* [http:::* рассмотреть все правила вывода из <tex>A_j</tex>:::<tex>A_j \rightarrow \delta_1 | \ldots | \delta_k</tex>:::* заменить каждое правило <tex>A_i \rightarrow A_j \gamma<www.iitg.ernet.in/tex> на:::<tex>A_i \rightarrow \delta_1\gamma | \ldots | \delta_k\gamma<gkd/tex>::}:}Легко видеть, что после итерации главного цикла для значения <tex>i<ma513/tex> все правила для <tex>A_k, \, k \ge i<oct/tex> будут иметь вид <tex>A_k \rightarrow a \alpha<oct18/tex>note.pdf MA513: Formal Languages and Automata Theory]

Следовательно, после применения процедуры все правила [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Контекстно-свободные грамматики будут иметь вид <tex>A \rightarrow a \alpha</tex>.]][[Категория: Нормальные формы КС-грамматик]]