Изменения

== Описание алгоритма == === Предподсчёт ===Рассмотрим [[Задача о наибольшей общей подпоследовательности|задачу о наибольшей общей подпоследовательности]] для двух последовательностей одинаковой длины. Тогда таблица динамического программирования имеет размер <tex> (n + 1) \times (n + 1) </tex>. Разобьём её на квадраты размера <tex> k \times k </tex> следующим образом: выделим каждую <tex> (k + 1) </tex>-ую строчку, начиная с первой. Аналогично выделяем столбцы. Требуется, чтобы <tex> k </tex> делило <tex> n </tex>, но это не является ограничением {{В разработке---}} можно дописать в конец последовательностей символы, которые не встречались в других местах этих последовательностей (символы для каждой последовательности должны быть разными). Тогда ответ на задачу не изменится, а длину можно «довести» до делителя <tex> k </tex>. Сделаем предподсчёт действия каждого возможного квадрата. Окончательный результат зависит только от значений в верхнем левом «уголке» над квадратом и подстрок, для которых считается ответ {{---}} остальные значения в квадрате однозначно считаются с их помощью. Окончательным результатом будут значения в нижнем правом «уголке» квадрата. Может показаться, что таких уголков может быть много. Но, так как соседние числа в матрице отличаются не более, чем на один, то результат зависит только от константы в верхнем левом элементе матрицы, и возрастания чисел в верхнем и левом крае квадрата. Возрастание чисел будем хранить с помощью битовых масок: сначала <tex> k - 1 </tex> бит кодирует возрастание чисел в верхнем крае квадрата (<tex>0</tex> {{---}} элемент равен предыдущему, <tex>1</tex> {{---}} больше предыдущего на один), потом <tex> k - 1 </tex> бит кодируют возрастание чисел в квадрате по левому краю аналогичным образом. Более того, константу в верхнем левом элементе квадрата можно вообще не хранить: её можно прибавить при необходимости к каждому элементу результата. Посчитаем эти квадраты для строк <tex>abbaba</tex> и <tex>bababb</tex>. Возьмём <tex> k = 3 </tex>. Тогда предподсчитанные квадраты, которые понадобятся для дальнейшего вычисления НОП, выглядят так: {||{|class="wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center; "| colspan="2" rowspan="2" |! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>|-! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>0</tex>|<tex>1</tex>|<tex>1</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>|<tex>1</tex>|<tex>1</tex>|<tex>1</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>1</tex>|<tex>2</tex>|<tex>2</tex>|}|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|{|class="wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center; "| colspan="2" rowspan="2" |! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>|-! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>1</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>1</tex>|<tex>1</tex>|<tex>1</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>|<tex>2</tex>|<tex>2</tex>|<tex>2</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>1</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>2</tex>|<tex>3</tex>|<tex>3</tex>|}|}  {||{|class="wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center; "| colspan="2" rowspan="2" |! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>1</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>1</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>|-! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>|<tex>1</tex>|<tex>2</tex>|<tex>2</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>1</tex>|<tex>2</tex>|<tex>3</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>1</tex>|<tex>2</tex>|<tex>3</tex>|}|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|{|class="wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center; "| colspan="2" rowspan="2" |! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>1</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>1</tex>|-! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>|<tex>1</tex>|<tex>1</tex>|<tex>2</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>1</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>1</tex>|<tex>2</tex>|<tex>2</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>1</tex>|<tex>2</tex>|<tex>2</tex>|}|}

== Описание = Вычисление НОП на сжатой матрице ===Ответ для самой задачи НОП считается аналогично обычному алгоритму, только рассматривая не каждую ячейку таблицы, а квадраты <tex> k \times k </tex>. В очередной квадрат (пусть его левый верхний угол находится в ячейке с координатами <tex> i, j </tex>) вставляем значения предподсчитанного квадрата, соответствующего данным подстрокам и битовым маскам, и прибавляем ко всем элементам в квадрате число, стоящее в уголке над квадратом, т.е. в ячейке с координатами <tex> i - 1, j - 1 </tex>. Для нашего примера итоговая таблица выглядит так: {| style=" border-collapse:collapse; text-align: center"| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 0 0 1px"|| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 0 0 0"|| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 0 0 0 1px"|| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px;border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4</tex>|} == Анализ алгоритма ==

Рассмотрим задачу о наибольшей общей подпоследовательности для двух последовательностей одинаковой длины=== Время работы ===При предподсчёте перебирается <tex> | \Sigma | ^k </tex> (где <tex> | \Sigma | </tex> {{---}} мощность алфавита) возможных подстрок первой строки и столько же {{---}} второй строки. Для каждой возможной подстроки обеих строк перебирается по <tex> 2^{k - 1} </tex> битовых масок. Тогда таблица динамического программирования имеет размер Для самого предподсчёта требуется время <tex>O(n + 1k^2) </tex>. Дальнейший алгоритм поиска НОП требует <tex> O \times left (\frac{n + 1^2}{k^2} \right )</tex>. Разобьём её на квадраты размера Тогда суммарное время работы алгоритма составляет <tex>O \left ( |\Sigma| ^{2k} \cdot 2^{2k - 2} \cdot k ^2 + \times frac{n^2}{k^2} \right ) </tex> следующим образом: выделим каждую .Понятно, что для получения выигрыша в производительности по сравнению с обычным алгоритмом необходимо, чтобы первое слагаемое не превышало второе. Найдём <tex>k</tex>-ую строчку, начиная с первой. Аналогично выделяем столбцы.решив неравенство:

Требуется, чтобы <tex>|\Sigma| ^{2k} \cdot 2^{2k - 2} \cdot k</tex> делило <tex>^2 \leqslant \frac{n</tex>, но это не является ограничением - можно дописать в конец последовательностей символы, которые не встречались в других местах этих последовательностей (символы для каждой последовательности должны быть разными). Тогда ответ на задачу не изменится, а длину можно "довести" до делителя <tex>^2}{k^2} </tex>.

Может показаться, что таких уголков может быть много. Но, так как соседние числа в матрице отличаются не более, чем на один, то результат зависит только от константы в верхнем левом элементе матрицы, и возрастания чисел в верхнем и левом крае квадрата. Возрастание чисел будем хранить с помощью битовых масок: сначала <tex>k - 1</tex> бит кодирует возрастание чисел в верхнем крае квадрата \left (0 - элемент равен предыдущему, 1 - больше предыдущего на один2 | \Sigma | \right ), потом <tex>^k \cdot k - 1^2 \leqslant 2n </tex> бит кодируют возрастание чисел в квадрате по левому краю аналогичным образом.

Более того, константу в верхнем левом элементе квадрата можно вообще не хранить - её можно прибавить при надобности к каждому элементу результата<tex> k \log {2 | \Sigma |} + 2 \log k \leqslant \log 2 + \log n </tex>.

Итого, получается Пренебрегая <tex> \log k </tex> и <tex>{\left log 2 </tex> как <tex> o(2|\Sigma| \right k)}^{2k}</tex> предпосчитанных квадратов, подсчёт каждого происходит за время, пропорциональное получаем <tex>k^2\leqslant \frac{\log n}{1 + \log | \Sigma |}</tex>.

После этого ответ для самой задачи НОП считается аналогично обычному алгоритму=== Используемая память ===Для каждого предподсчитанного квадрата хранятся подстроки длиной <tex> 2k </tex>, только на этот раз пересчитывается не каждый элемент матрицыбитовые маски длиной <tex> 2k </tex> и результат {{---}} нижний «уголок» длины <tex> 2k - 1 </tex>. Как уже было подсчитано, а только уголкивсего предподсчитывается <tex> |\Sigma| ^{2k} \cdot 2^{2k - 2} </tex> квадратов. Дальнейший алгоритм требует <tex> O \left ( \frac{n^2}{k^2} \right ) </tex>, значит, всего требуется <tex> O \left ( |\Sigma| ^{2k} \cdot 2^{2k - 2} \cdot (2k + 2k + 2k - 1) + \frac{n^2}{k^2} \right ) = O \left ( |\Sigma| ^{2k} \cdot 2^{2k - 2} \cdot k + \frac{n^2}{k^2} \right ) </tex> памяти.

== Время работы Источники информации ==* http://pages.cpsc.ucalgary.ca/~pmohasse/private-lcs.pdf