=== Предподсчёт ===
Рассмотрим [[Задача о наибольшей общей подпоследовательности|задачу о наибольшей общей подпоследовательности]] для двух последовательностей одинаковой длины. Тогда таблица динамического программирования имеет размер <tex> (n + 1) \times (n + 1) </tex>. Разобьём её на квадраты размера <tex> k \times k </tex> следующим образом: выделим каждую <tex> (k + 1 ) </tex>-ую строчку, начиная с первой. Аналогично выделяем столбцы.
Требуется, чтобы <tex> k </tex> делило <tex> n </tex>, но это не является ограничением {{---}} можно дописать в конец последовательностей символы, которые не встречались в других местах этих последовательностей (символы для каждой последовательности должны быть разными). Тогда ответ на задачу не изменится, а длину можно «довести» до делителя <tex> k </tex>.
Сделаем предподсчёт действия каждого возможного квадрата. Окончательный результат зависит только от значений в верхнем левом «уголке» над квадратом и подстрок, для которых считается ответ {{---}} остальные значения в квадрате однозначно считаются с их помощью. Окончательным результатом будут значения в нижнем правом «уголке» квадрата.
Может показаться, что таких уголков может быть много. Но, так как соседние числа в матрице отличаются не более, чем на один, то результат зависит только от константы в верхнем левом элементе матрицы, и возрастания чисел в верхнем и левом крае квадрата. Возрастание чисел будем хранить с помощью битовых масок: сначала <tex> k - 1 </tex> бит кодирует возрастание чисел в верхнем крае квадрата (<tex>0 </tex> {{---}} элемент равен предыдущему, <tex>1 </tex> {{---}} больше предыдущего на один), потом <tex> k - 1 </tex> бит кодируют возрастание чисел в квадрате по левому краю аналогичным образом.
Более того, константу в верхнем левом элементе квадрата можно вообще не хранить: её можно прибавить при необходимости к каждому элементу результата.
Посчитаем эти квадраты для строк abbabb <tex>abbaba</tex> и <tex>bababb</tex>. Возьмём <tex> k = 3 </tex>. Тогда предподсчитанные квадраты, которые понадобятся для дальнейшего вычисления НОП, выглядят так:
[[Файл{||{|class="wikitable" style="background-color:4 russians lcs precalc.png]]#FFF; text-align:center; "| colspan="2" rowspan="2" |! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>|-! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>0</tex>|<tex>1</tex>|<tex>1</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>|<tex>1</tex>|<tex>1</tex>|<tex>1</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>1</tex>|<tex>2</tex>|<tex>2</tex>|}| || || || || || || |{|class="wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center; "| colspan="2" rowspan="2" |! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>|-! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>1</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>1</tex>|<tex>1</tex>|<tex>1</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>|<tex>2</tex>|<tex>2</tex>|<tex>2</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>1</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>2</tex>|<tex>3</tex>|<tex>3</tex>|}|} {||{|class="wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center; "| colspan="2" rowspan="2" |! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>1</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>1</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>|-! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>|<tex>1</tex>|<tex>2</tex>|<tex>2</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>1</tex>|<tex>2</tex>|<tex>3</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>1</tex>|<tex>2</tex>|<tex>3</tex>|}| || || || || || || |{|class="wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center; "| colspan="2" rowspan="2" |! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>1</tex>! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>1</tex>|-! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>a</tex>|<tex>1</tex>|<tex>1</tex>|<tex>2</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>1</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>1</tex>|<tex>2</tex>|<tex>2</tex>|-! style="background-color:#E0FFFF; width: 40px; height: 40px;" |<tex>0</tex>! style="background-color:#FFEECC; width: 40px; height: 40px;" |<tex>b</tex>|<tex>1</tex>|<tex>2</tex>|<tex>2</tex>|}|}
=== Вычисление НОП на сжатой матрице ===
Для нашего примера итоговая таблица выглядит так:
[[Файл{| style=" border-collapse:collapse; text-align: center"| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 0 0 1px"|| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 0 0 0"|| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 0 0 0 1px"|| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px;border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>a</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #FFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4</tex>|-| style="background-color: #FFEECC; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px"|<tex>b</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>0</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>1</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>2</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>3</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4</tex>| style="background-color: #E0FFFF; width: 40px; height: 40px; border-color: #aaa; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 1px" |<tex>4 russians lcs table.png]]</tex>|}
== Анализ алгоритма ==
Для каждого предподсчитанного квадрата хранятся подстроки длиной <tex> 2k </tex>, битовые маски длиной <tex> 2k </tex> и результат {{---}} нижний «уголок» длины <tex> 2k - 1 </tex>. Как уже было подсчитано, всего предподсчитывается <tex> |\Sigma| ^{2k} \cdot 2^{2k - 2} </tex> квадратов. Дальнейший алгоритм требует <tex> O \left ( \frac{n^2}{k^2} \right ) </tex>, значит, всего требуется <tex> O \left ( |\Sigma| ^{2k} \cdot 2^{2k - 2} \cdot (2k + 2k + 2k - 1) + \frac{n^2}{k^2} \right ) = O \left ( |\Sigma| ^{2k} \cdot 2^{2k - 2} \cdot k + \frac{n^2}{k^2} \right ) </tex> памяти.
== Источники информации ==
* http://pages.cpsc.ucalgary.ca/~pmohasse/private-lcs.pdf
