Изменения

==Матричный Разноцветный матроид==

|id = def1|definition=Пусть <tex>VX</tex> — векторное пространство над телом <tex>F</tex>, пусть набор векторов <tex>V_i = \mathcal{f{---} v_1} множество элементов,\dots,v_n\mathcal {g}</tex> каждый из пространства <tex>V</tex> является носителем <tex>X</tex>которых раскрашен в некоторый цвет. Элементами независимого множества Множество <tex>A \in I</tex> данного матроида являются , если все элементы множества линейно-независимых векторов из набора <tex>v_ 1,\dots,v_nA</tex>разного цвета.Тогда <tex>M = \langle V_iX, I \rangle </tex>, называется '''матричным разноцветным матроидом ''' (vector англ. ''multicolored matroid)''').}} {{Лемма|statement = Матричный матроид является матроидом.|proof = Проверим выполнение аксиом независимости:

1) {{Утверждение|statement = Разноцветный матроид является матроидом.|proof =Докажем аксиомы независимости для <tex>\varnothing \in I</tex>.

Множество # <tex>\varnothing \in I</tex>#:В пустом множестве нет элементов <tex>\Rightarrow</tex> можем считать, что все элементы различных цветов.# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>#:Если в <tex>B</tex> все элементы разного цвета, то и в котором <tex>A \subset B</tex> это будет выполняться.# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>#:В каждом из множеств <tex>A</tex> и <tex>B</tex> все элементы разных цветов. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert</tex>, значит в <tex>B</tex> есть хотя бы один элемент <tex>x</tex> такого цвета, которого нет векторов является линейно-независимым.среди элементов множества <tex>A</tex>, таким образом <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>}}

2==Универсальный матроид=={{Определение|id = def2|definition='''Универсальным матроидом''' (англ. ''uniform matroid'') называют объект <tex>U_{nk} = \langle X, I \rangle </tex>, где <tex>X = \{1, 2, 3, \dots, n\}, I = \{A \subset B, B X \mid \in I left\Rightarrow vert A \in Iright\vert \leqslant k\}</tex>}}

Если из набора линейно-независимых векторов убрать некоторые, то этот набор не станет зависимым. 3) <tex>A \in I, B \in I, \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>Утверждение|statement = Универсальный матроид является матроидом.Так как <tex>A \in I,</tex> то <tex>dim \mathcal{L}(A) |proof = \left\vert A \right\vert</tex>. По условию <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in BПроверим выполнение аксиом независимости: x \notin \mathcal{L}(A)</tex>, то есть <tex>x \notin A</tex>. Тогда <tex> A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}</tex> линейно-независимо по определению линейной оболочки.

Пусть <tex>G = \langle V, E \rangle</tex> — {{---}} неориентированный граф. Тогда <tex>M = \langle E, I \rangle </tex>, где <tex>I</tex> состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют '''графовым (графическим) матроидом ''' (англ. ''graphic matroid)''').

 {{ЛеммаУтверждение

1) # <tex>\varnothing \in I</tex>#:Пустое множество является ациклическим, а значит входит в <tex>I</tex>.# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>#:Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в <tex>I</tex> вследствие своей ацикличности.# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>#:В графе <tex>G_A = \langle V, A \rangle </tex> как минимум две компоненты связанности, иначе <tex>G_A</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью.#:Допустим в <tex>B</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из <tex>G_A</tex>, значит любая компонента связанности из <tex>G_B</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из <tex>G_A</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности <tex>Q</tex> из <tex>G_A</tex>, у неё <tex>k</tex> вершин и <tex>k - 1</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности <tex>P_i</tex> из <tex>G_B</tex>, вершинно-входящие в <tex>Q</tex>, пусть их <tex>m</tex> штук, тогда суммарное количество рёбер из <tex>P_i</tex> равно <tex>k - m</tex>, что не превосходит <tex>k - 1</tex> (количество рёбер в <tex>Q</tex>). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из <tex>G_A</tex> и получим <tex>\left\vert A \right\vert \geqslant \left\vert B \right\vert</tex>, что противоречит условию. Значит предположение не верно, и в <tex>B</tex> существует искомое ребро <tex>x</tex> из разных компонент связанности <tex>G_B</tex>.}}

Пустое множество является ациклическим, а значит входит в <tex>I</tex>.==Матричный матроид=={{Определение|definition=2) Пусть <tex>A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in IV</tex> Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в {{---}} векторное пространство над телом <tex>IF</tex> вследствие своей ацикличности. 3) , пусть набор векторов <tex>A \in I, B \in I, \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow V_i = \mathcal {9f} x v_1, \in B \setminus Adots, A \cup \mathcal{f} x v_n\mathcal {g} \in I</tex> В графе из пространства <tex>G_A = \langle V, A \rangle </tex> как минимум две компоненты связанности, иначе является носителем <tex>G_AX</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического . Элементами независимого множества с большей мощностью. Допустим в <tex>BI</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности данного матроида являются множества линейно независимых векторов из набора <tex>G_A</tex>v_ 1, значит любая компонента связанности из <tex>G_B</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из <tex>G_A</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности Q из <tex>G_A</tex>\ \dots, у неё <tex>k</tex> вершин и <tex>k - 1\ v_n</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности Тогда <tex>P_i</tex> из <tex>G_B</tex>M = \langle V_i, вершинно-входящие в <tex>QI \rangle </tex>, пусть их <tex>m</tex> штук, тогда суммарное количество рёбер из <tex>P_i</tex> равно <tex>k - m</tex>, что не превосходит <tex>k - 1</tex> называется '''матричным матроидом''' (количество рёбер в <tex>Q</tex>англ. ''vector matroid''). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из <tex>G_A</tex> и получим }} <tex>\left\vert A \right\vert \geqslant \left\vert B \right\vert</tex>, что противоречит условию. Значит предположение не верно, и в <tex>B</tex> существует искомое ребро <tex>x</tex> из разных компонент связанности <tex>G_B</tex>{{Утверждение|statement = Матричный матроид является матроидом.|proof = Проверим выполнение аксиом независимости:

Пусть <tex>G = \langle X, Y, E \rangle</tex> — {{---}} двудольный граф. <tex>I = \mathcal{f} A \subset X \mid \exists </tex> паросочетание <tex> P</tex>, покрывающее <tex>A \mathcal {g} </tex>. Тогда <tex>M = \langle X, I \rangle </tex> называют '''трансверсальным матроидом ''' (англ. ''transversal matroid'').'''

{{ЛеммаУтверждение

1) # <tex>\varnothing \in I</tex> #:Пустое паросочетание удовлетворяет условию. 2) # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> #:Подмножество паросочетания также является паросочетанием. Удалим из исходного паросочетания <tex>P</tex> ребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \setminus A</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим <tex>A</tex>. Значит <tex> A \in I </tex>. 3) # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> #:Раскрасим ребра из паросочетания, соответствующего <tex> B </tex> в синий цвет, а соответствующего <tex> A </tex> — {{---}} в красный. Причем ребра, соответствующие двум паросочетаниям, будут окрашены в пурпурный цвет. Таким образом, получится <tex> \left\vert B \setminus A \right\vert </tex> ребер синего цвета, <tex> \left\vert A \setminus B \right\vert </tex> ребер красного цвета, и будет выполняться соотношение <tex> \left\vert B \setminus A \right\vert > \left\vert A \setminus B \right\vert</tex>. #:Рассмотрим подграф <tex> H </tex>, индуцированный красными и синими ребрами из исходного графа. Каждая вершина соответствует либо двум ребрам — {{---}} синему и красному, либо одному — {{---}} синему или красному. Любая компонента связности представляет собой либо путь, либо цикл, состоящий из чередующихся красных и синих ребер. Так как граф двудольный, любой цикл состоит из четного числа ребер. Так как синих ребер больше, чем красных, то должен существовать путь, начинающийся и оканчивающийся синим ребром. Обозначим этот путь <tex> H' </tex>. Поменяем в <tex> H' </tex> синий и красный цвета. Получаем, что ребра, окрашенные в красный и пурпурный цвета образуют паросочетание в графе. Очевидно, что подмножество соответствующее этому новому паросочетанию имеет вид <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} </tex>, где <tex> x \in B \setminus A </tex>. Что значит, что <tex> A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>.

==Универсальный матроидМатроид паросочетаний==

'''Универсальным матроидом (uniform matroid)''' называют объект Пусть <tex>U_n,_k G = \langle XV, I E \rangle </tex>, где {{---}} неориентированный граф. <tex>X = \{1, 2, 3, \dots, n\}, I = \mathcal{f} A \subset X V \mid \left\vert exists</tex> паросочетание <tex>P</tex>, покрывающее <tex>A \right}</tex>. Тогда <tex>M = \vert langle V, I \leqslant k\}rangle </tex>называют '''матроидом паросочетаний''' (англ. ''matching matroid'').

{{ЛеммаУтверждение|statement = Универсальный матроид Матроид паросочетаний является матроидом.

1) # <tex>\varnothing \in I</tex>#:Пустое паросочетание удовлетворяет условию.# <tex> A \leftsubset B, \vert B \varnothing \right\vert = 0 \leqslant k in I \Rightarrow \varnothing A \in I</tex> 2) #:Удалим из исходного паросочетания <tex>P</tex>A \subset Bребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \in I \Rightarrow setminus A</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим <tex>A</tex>. Значит <tex>A \in I</tex>. # <tex> A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert \leqslant < \left\vert B \right\vert \leqslant k Rightarrow \Rightarrow exists ~ x \leftin B \vert setminus A , \rightA \vert cup \leqslant k { x \Rightarrow A } \in I </tex>#:Пусть паросочетание <tex>P_A</tex> покрывает множество <tex>A</tex>, <tex>P_B</tex> {{---}} множество <tex>B</tex>.3) #:Все вершины, принадлежащие <tex>A \in I, cap B \in I, </tex> покроем ребрами из паросочетания <tex>P_B</tex>. #:Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} exists x \in B \setminus A</tex>#:Рассмотрим три возможных случая:## <tex>\exists xy \in P_A, \ y \in A \Rightarrow P_A</tex> покрывает <tex>A \cup \mathcal{fx \} \Rightarrow A \cup \{ x \mathcal {g} \in I</tex> Так как ## <tex>\leftexists xy: y \in B \vert setminus A \rightRightarrow xy \vert notin P_A</tex>. Мы можем добавить в < \left\vert B \right\vert tex>A</tex> и числа в каждом множестве различны, найдётся такое число вершину <tex> x \in B </tex>(или <tex>y</tex>), которое не будет принадлежать меньшему по мощности множеству а в <tex>P_A</tex> ребро <tex> A xy</tex>.Рассмотрим Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex> A \cup \mathcal{fx \} \Rightarrow A \cup \{ x \mathcal {g} \in I</tex>. ## Если первые два случая не выполнились, значит <tex>\leftforall x \in B \vert setminus A </tex> <tex>\rightexists y \vert < notin A, \left\vert notin B : \rightexists xy \vert in P_B</tex>. Обозначим множество таких <tex>y</tex> за <tex>C, \Rightarrow \left\vert A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} C \right\vert = \left\vert B \setminus A \right\vert + 1 \leqslant > \left\vert A \setminus B \right\vert </tex>. Таким образом в <tex>C</tex> найдется хотя бы одна вершина <tex>y</tex>, не покрытая паросочетанием <tex>P_A</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \{ x \leqslant k } \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>

==Матроид с выкинутым элементомразбиений==

Пусть <tex>M X = \langle X, Ibigcup\ranglelimits_{i=_1}^n X_i</tex> — матроид. Определим , при этом <tex>MX_i \setminus x cap X_j = \langle X \setminus x0</tex>, <tex>\{A | A \in I, x \not\in A\}forall i \rangleneq j</tex>. Для любых , и <tex>Mk_1 \dots k_n</tex> и {{---}} положительные целые числа. <tex>xI = \{ A \subset X \mid \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant k_i, \ \forall i: 1 \leqslant i \leqslant n \} </tex> получившаяся конструкция . Тогда <tex>M= \setminus xlangle X, I \rangle </tex> является называют '''матроидомразбиений''' (англ.''partition matroid'')}}

==Матроид, стянутый по элементуБинарный матроид==

Пусть Матроид <tex>M = \langle X, I\rangle</tex> — матроид. Определим <tex>M/x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \in A\}\rangle</tex>. Для любых '''представим над полем <tex>M</tex> и <tex>xF</tex>''', таких что <tex>\{x\}\in I,</tex> получившаяся конструкция <tex>M/x</tex> является матроидомесли он [[Определение матроида#def5| изоморфен]] некоторому векторному матроиду над этим полем.

Пусть <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> - '''Бинарный матроид''' (англ. Обозначим как <tex>M|_k</tex> следующую констркуцию: <tex>M|_k = \langle X, \''binary matroid'') {{A | A \in I, |A| \le k \---}}\rangle</tex>матроид, тогда представимый над полем целых чисел по модулю <tex>M|_k2</tex> является матроидом.

==Бинарный матроид== ==Разделенный матроид=={{Определение|definition=Пусть <tex>X = \bigcup\limits_{i=_1}^n X_i</tex>, при этом <tex> X_i \cap X_j = 0</tex> <tex>\forall i \neq j,</tex> и <tex>k_1 \dots k_n</tex> — положительные целые числа. <tex>I = \mathcal{f} A \subset X \mid \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant k_i, \forall i: 1 \leqslant i \leqslant n \mathcal {g}</tex>. Тогда <tex>M = \langle X, I \rangle </tex> называют '''разделенным матроидом (partition matroid)''' }} {{ЛеммаУтверждение|statement = Разделенный Графовый матроид является матроидомбинарным.

1Составим матрицу инцидентности <tex>A = (a_{ij}) </tex> для графа <tex>G = \varnothing langle V, E \rangle</tex>. Строки этой матрицы соответствуют вершинам графа, а столбцы {{---}} ребрам. * Если <tex>j</tex>-ое ребро есть петля, инцидентная <tex>i</tex>-ой вершине, то <tex>a_{ij} = 0</tex>.* Если <tex>i</tex>-ая вершина инцидентна <tex>j</tex>-ому ребру, то <tex>a_{ij} = 1</tex> * Иначе <tex>a_{ij} = 0</tex>Необходимо доказать, что если мы возьмем множество ребер <tex>A \in I</tex>, то множество столбцов матрицы инцидентности, соответствующее выбранным ребрам, линейно-независимо, и наоборот, если мы возьмем линейно-независимое множество столбцов, то соответствующее ему множество ребер, не будет образовывать цикла. Докажем эквивалентное утверждение: столбцы линейно-зависимы тогда и только тогда, когда соответствующие им ребра графа <tex>G</tex> содержат цикл.

<tex>\left\vert \varnothing \cap X_i \right\vert = 0 \leqslant k_i \Rightarrow \varnothing \in I</tex>Пусть столбцы линейно-зависимы, докажем, что соответствующие ребра графа содержат цикл.

2) Если некоторые столбцы матрицы <tex>A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I</tex>линейно-зависимы, то среди них можно выделить столбцы с нулевой суммой. Есть два варианта:

# Cреди выбранных столбцов есть нулевой, тогда в соответствующем множестве ребер есть петля, то есть цикл.# У нас есть столбец <tex>S</tex>A \subset B, который является суммой остальных столбцов. Этому столбцу соответствует ребро <tex>uv</tex>. Начнем с вершины <tex>u</tex> переходить по другим ребрам из <tex>R \left\vert A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant \left\vert B \cap X_i \right\vert \leqslant k_i \Rightarrow A \in Isetminus uv</tex> 3(по каждому ребру проходим только один раз) , в итоге мы придем в вершину <tex>A \in Iv</tex>, B \in Iтак для остальных вершин у нас обязательно будет четное число выходящих из них ребер, \left\vert A \right\vert потому что иначе на позиции этой вершины в столбце <tex>S</tex> была бы единица (а единицы у нас только на позициях <tex>u</tex> и <tex>v< \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A/tex>). Таким образом мы показали, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in Iчто существует два пути между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> (тот который мы построили и путь по ребру <tex>uv</tex>), значит в выбранном множестве ребер есть цикл.

Предположим, что <tex>\forall x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \notin I \Rightarrow \exists X_j, k_j: \left\vert A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \cap X_j \right\vert > k_j</tex>, но так как <tex>A \in ILeftarrow</tex>Пусть на множестве ребер есть цикл, то есть <tex> \left\vert A \cap X_j \right\vert \leqslant k_j \Rightarrow x \in X_j</tex> ..докажем линейную-зависимость соответствующих столбцов.

{{Определение|definition='''Матроид, стянутый по элементу'''. Пусть <tex>M =Laminar Matroid=\langle X, I\rangle</tex> {{---}} матроид. Определим <tex>M/x =\langle X \setminus x, \ \{A \setminus x \mid A \in I, \ x \in A\}\rangle</tex>. Для любых <tex>M</tex> и <tex>x</tex>, таких что <tex>\{x\}\in I,</tex> получившаяся конструкция <tex>M/x</tex> является матроидом.}}

Пусть <tex>G M = \langle VX, E I \rangle</tex> — неориентированный граф{{---}} матроид. Обозначим как <tex>M|_k</tex> следующую констркуцию: <tex>I M|_k = \mathcallangle X, \ \{f} A \subset V \mid A \exists</tex> паросочетание <tex>P</tex>in I, покрывающее <tex>|A | \leqslant k \mathcal {g}\rangle</tex>. Тогда , тогда <tex>M = \langle V, I \rangle |_k</tex> называют '''(matching matroid)урезанным матроидом'''.

* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. {{- --}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы (глава 4. Матроиды)* Уилсон Р. {{---}} Введение в теорию графов (глава 9. Теория матроидов)

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]][[Категория:Матроиды]][[Категория: Основные факты теории матроидов]]