Изменения

1) # <tex>\varnothing \in I</tex> #:В пустом множестве нет элементов <tex>\Rightarrow</tex> можем считать, что все элементы различных цветов. 2) # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> #:Если в <tex>B</tex> все элементы разного цвета, то и в <tex>A \subset B</tex> это будет выполняться. 3) # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} \exists x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> #:В каждом из множеств <tex>A</tex> и <tex>B</tex> все элементы разных цветов. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert</tex>, значит в <tex>B</tex> есть хотя бы один элемент <tex>x</tex> такого цвета, которого нет среди элементов множества <tex>A</tex>, таким образом <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>

'''Универсальным матроидом''' (англ. ''uniform matroid'') называют объект <tex>U_{nk} = \langle X, I \rangle </tex>, где <tex>X = \{1, 2, 3, \dots, n\}, I = \mathcal{f} A \subset X \mid \left\vert A \right\vert \leqslant k\}</tex>

1) # <tex>\varnothing \in I</tex> #:<tex> \left\vert \varnothing \right\vert = 0 \leqslant k \Rightarrow \varnothing \in I</tex> 2) # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> #:<tex> \left\vert A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k \Rightarrow \left\vert A \right\vert \leqslant k \Rightarrow A \in I </tex> 3) # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> #:Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert </tex> и числа в каждом множестве различны, найдётся такое число <tex> x \in B </tex>, которое не будет принадлежать меньшему по мощности множеству <tex> A </tex>.#:Рассмотрим <tex> A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g\} </tex>. <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \right\vert = \left\vert A \right\vert + 1 \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>

1) # <tex>\varnothing \in I</tex> #:Пустое множество является ациклическим, а значит входит в <tex>I</tex>. 2) # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> #:Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в <tex>I</tex> вследствие своей ацикличности. 3) # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> #:В графе <tex>G_A = \langle V, A \rangle </tex> как минимум две компоненты связанности, иначе <tex>G_A</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью. #:Допустим в <tex>B</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из <tex>G_A</tex>, значит любая компонента связанности из <tex>G_B</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из <tex>G_A</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности <tex>Q</tex> из <tex>G_A</tex>, у неё <tex>k</tex> вершин и <tex>k - 1</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности <tex>P_i</tex> из <tex>G_B</tex>, вершинно-входящие в <tex>Q</tex>, пусть их <tex>m</tex> штук, тогда суммарное количество рёбер из <tex>P_i</tex> равно <tex>k - m</tex>, что не превосходит <tex>k - 1</tex> (количество рёбер в <tex>Q</tex>). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из <tex>G_A</tex> и получим <tex>\left\vert A \right\vert \geqslant \left\vert B \right\vert</tex>, что противоречит условию. Значит предположение не верно, и в <tex>B</tex> существует искомое ребро <tex>x</tex> из разных компонент связанности <tex>G_B</tex>.

Пусть <tex>V</tex> {{---}} векторное пространство над телом <tex>F</tex>, пусть набор векторов <tex>V_i = \mathcal{f} v_1, \ \dots, \ v_n\mathcal {g}</tex> из пространства <tex>V</tex> является носителем <tex>X</tex>. Элементами независимого множества <tex>I</tex> данного матроида являются множества линейно-независимых векторов из набора <tex>v_ 1, \ \dots, \ v_n</tex>.

1) # <tex>\varnothing \in I</tex> #:Множество в котором нет векторов является линейно-независимым. 2) # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> #:Если из набора линейно-независимых векторов убрать некоторые, то этот набор не станет зависимым. 3) # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> #:Так как <tex>A \in I</tex>, то <tex>\dim \mathcal{L}(A) = \left\vert A \right\vert</tex>. По условию <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in B: x \notin \mathcal{L}(A)</tex>, то есть <tex>x \notin A</tex>. Тогда множество <tex> A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}</tex> линейно-независимо по определению линейной оболочки.

1) # <tex>\varnothing \in I</tex> #:Пустое паросочетание удовлетворяет условию. 2) # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> #:Подмножество паросочетания также является паросочетанием. Удалим из исходного паросочетания <tex>P</tex> ребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \setminus A</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим <tex>A</tex>. Значит <tex> A \in I </tex>. 3) # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> #:Раскрасим ребра из паросочетания, соответствующего <tex> B </tex> в синий цвет, а соответствующего <tex> A </tex> {{---}} в красный. Причем ребра, соответствующие двум паросочетаниям, будут окрашены в пурпурный цвет. Таким образом, получится <tex> \left\vert B \setminus A \right\vert </tex> ребер синего цвета, <tex> \left\vert A \setminus B \right\vert </tex> ребер красного цвета, и будет выполняться соотношение <tex> \left\vert B \setminus A \right\vert > \left\vert A \setminus B \right\vert</tex>. #:Рассмотрим подграф <tex> H </tex>, индуцированный красными и синими ребрами из исходного графа. Каждая вершина соответствует либо двум ребрам {{---}} синему и красному, либо одному {{---}} синему или красному. Любая компонента связности представляет собой либо путь, либо цикл, состоящий из чередующихся красных и синих ребер. Так как граф двудольный, любой цикл состоит из четного числа ребер. Так как синих ребер больше, чем красных, то должен существовать путь, начинающийся и оканчивающийся синим ребром. Обозначим этот путь <tex> H' </tex>. Поменяем в <tex> H' </tex> синий и красный цвета. Получаем, что ребра, окрашенные в красный и пурпурный цвета образуют паросочетание в графе. Очевидно, что подмножество соответствующее этому новому паросочетанию имеет вид <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} </tex>, где <tex> x \in B \setminus A </tex>. Что значит, что <tex> A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>.

Пусть <tex>G = \langle V, E \rangle</tex> {{---}} неориентированный граф. <tex>I = \mathcal{f} A \subset V \mid \exists</tex> паросочетание <tex>P</tex>, покрывающее <tex>A \mathcal {g}</tex>. Тогда <tex>M = \langle V, I \rangle </tex> называют '''матроидом паросочетаний''' (англ. ''matching matroid'').

1) # <tex>\varnothing \in I</tex> #:Пустое паросочетание удовлетворяет условию. 2) # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> #:Удалим из исходного паросочетания <tex>P</tex> ребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \setminus A</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим <tex>A</tex>. Значит <tex>A \in I</tex>. 3) # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> #:Пусть паросочетание <tex>P_A</tex> покрывает множество <tex>A</tex>, <tex>P_B</tex> {{---}} множество <tex>B</tex>.#:Все вершины, принадлежащие <tex>A \cap B</tex> покроем ребрами из паросочетания <tex>P_B</tex>.  #:Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in B \setminus A</tex> #:Рассмотрим три возможных случая:* ## <tex>\exists xy \in P_A, \ y \in A \Rightarrow P_A</tex> покрывает <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>* ## <tex>\exists xy: y \in B \setminus A \Rightarrow xy \notin P_A</tex>. Мы можем добавить в <tex>A</tex> вершину <tex>x</tex> (или <tex>y</tex>), а в <tex>P_A</tex> ребро <tex>xy</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal{g} \in I</tex>*## Если первые два случая не выполнились, значит <tex>\forall x \in B \setminus A</tex> <tex>\exists y \notin A, \ \notin B: \exists xy \in P_B</tex>. Обозначим множество таких <tex>y</tex> за <tex>C, \ \left\vert C \right\vert = \left\vert B \setminus A \right\vert > \left\vert A \setminus B \right\vert</tex>. Таким образом в <tex>C</tex> найдется хотя бы одна вершина <tex>y</tex>, не покрытая паросочетанием <tex>P_A</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal{g} \in I</tex>

Пусть <tex>X = \bigcup\limits_{i=_1}^n X_i</tex>, при этом <tex> X_i \cap X_j = 0</tex>, <tex>\forall i \neq j</tex>, и <tex>k_1 \dots k_n</tex> {{---}} положительные целые числа. <tex>I = \mathcal{f} A \subset X \mid \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant k_i, \ \forall i: 1 \leqslant i \leqslant n \mathcal {g}</tex>. Тогда <tex>M = \langle X, I \rangle </tex> называют '''матроидом разбиений''' (англ. ''partition matroid'')

1) # <tex>\varnothing \in I</tex> #:<tex>\left\vert \varnothing \cap X_i \right\vert = 0 \leqslant k_i \Rightarrow \varnothing \in I</tex> 2) # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> #:<tex>A \subset B, \ \left\vert A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant \left\vert B \cap X_i \right\vert \leqslant k_i \Rightarrow A \in I</tex> 3) # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> #:Пусть <tex>\forall x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \notin I \Rightarrow \exists X_j, \ k_j: \left\vert A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \cap X_j \right\vert > k_j</tex>, но так как <tex>A \in I</tex>, то есть <tex> \left\vert A \cap X_j \right\vert \leqslant k_j \Rightarrow \left\vert A \cap X_j \right\vert = k_j</tex> и <tex>x \in X_j</tex>. Из последнего следует, что <tex>\left\vert B \setminus A \right\vert \subset X_j</tex>. #:<tex>\left\vert A \cap X_j \right\vert = \left\vert ((A \cap B) \cup (B \setminus A)) \cap X_j \right\vert = k_j</tex>, а <tex>\left\vert B \cap X_j \right\vert = \left\vert B \cap X_j \right\vert = \left\vert ((A \cap B) \cup (A \setminus B)) \cap X_j \right\vert</tex>. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \setminus B \right\vert < \left\vert B \setminus A \right\vert</tex>, тогда <tex>\left\vert B \cap X_j \right\vert > k_j</tex>, но <tex>B \in I</tex>, противоречие.

1) # Cреди выбранных столбцов есть нулевой, тогда в соответствующем множестве ребер есть петля, то есть цикл. 2) # У нас есть столбец <tex>S</tex>, который является суммой остальных столбцов. Этому столбцу соответствует ребро <tex>uv</tex>. Начнем с вершины <tex>u</tex> переходить по другим ребрам из <tex>R \setminus uv</tex> (по каждому ребру проходим только один раз), в итоге мы придем в вершину <tex>v</tex>, так для остальных вершин у нас обязательно будет четное число выходящих из них ребер, потому что иначе на позиции этой вершины в столбце <tex>S</tex> была бы единица (а единицы у нас только на позициях <tex>u</tex> и <tex>v</tex>). Таким образом мы показали, что существует два пути между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> (тот который мы построили и путь по ребру <tex>uv</tex>), значит в выбранном множестве ребер есть цикл.

'''Матроид с выкинутым элементом'''. Пусть <tex>M = \langle X, I\rangle</tex> {{---}} матроид. Определим <tex>M\setminus x = \langle X \setminus x, \ \{A | \mid A \in I, \ x \not\in A\}\rangle</tex>. Для любых <tex>M</tex> и <tex>x</tex> получившаяся конструкция <tex>M\setminus x</tex> является матроидом.

'''Матроид, стянутый по элементу'''. Пусть <tex>M = \langle X, I\rangle</tex> {{---}} матроид. Определим <tex>M/x = \langle X \setminus x, \ \{A \setminus x | \mid A \in I, \ x \in A\}\rangle</tex>. Для любых <tex>M</tex> и <tex>x</tex>, таких что <tex>\{x\}\in I,</tex> получившаяся конструкция <tex>M/x</tex> является матроидом.

Пусть <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> {{---}} матроид. Обозначим как <tex>M|_k</tex> следующую констркуцию: <tex>M|_k = \langle X, \ \{A | \mid A \in I, \ |A| \leqslant k \}\rangle</tex>, тогда <tex>M|_k</tex> называют '''урезанным матроидом'''.}} {{Определение|definition='''Полный матроид''' {{---}} матроид <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> такой, что <tex>\mathcal{I} = 2^X</tex>.}} {{Определение|definition= '''Тривиальный матроид''' {{---}} матроид <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> такой, что <tex>\mathcal{I} = \varnothing </tex>.

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]][[Категория:Матроиды]][[Категория: Основные факты теории матроидов]]