Изменения

==Матричный Разноцветный матроид=={{Определение|id = def1|definition = Пусть <tex>X</tex> {{---}} множество элементов, каждый из которых раскрашен в некоторый цвет. Множество <tex>A \in I</tex>, если все элементы множества <tex>A</tex> разного цвета. Тогда <tex> M = \langle X, I\rangle</tex> называется '''разноцветным матроидом''' (англ. ''multicolored matroid'').}} {{Утверждение|statement = Разноцветный матроид является матроидом.|proof =Докажем аксиомы независимости для <tex> I </tex>. # <tex>\varnothing \in I</tex>#:В пустом множестве нет элементов <tex>\Rightarrow</tex> можем считать, что все элементы различных цветов.# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>#:Если в <tex>B</tex> все элементы разного цвета, то и в <tex>A \subset B</tex> это будет выполняться.# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>#:В каждом из множеств <tex>A</tex> и <tex>B</tex> все элементы разных цветов. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert</tex>, значит в <tex>B</tex> есть хотя бы один элемент <tex>x</tex> такого цвета, которого нет среди элементов множества <tex>A</tex>, таким образом <tex>A \cup \{ x \} \in I</tex>}} ==Универсальный матроид==

Пусть '''Универсальным матроидом''' (англ. ''uniform matroid'') называют объект <tex>V</tex> - векторное пространство над телом <tex>FU_{nk} = \langle X, I \rangle </tex>, пусть набор векторов где <tex>V_i X = \mathcal{f} v_11, 2, 3,...\dots,v_nn\mathcal {g}</tex> из пространства <tex>V</tex> является носителем <tex>X</tex>. Элементами независимого множества <tex>, I</tex> данного матроида являются множества линейно-независимых векторов из набора <tex>v_1,...,v_n</tex>.Тогда <tex>M = \langle V_i, I {A \subset X \mid \left\vert A \right\vert \leqslant k\rangle }</tex>, называется '''матричным матроидом'''}}  {{ЛеммаУтверждение|statement = Матричный Универсальный матроид является матроидом.|proof =

1) # <tex>\varnothing \in I</tex>#:<tex>\left\vert \varnothing \right\vert = 0 \leqslant k \Rightarrow \varnothing \in I</tex># <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>#:<tex> \left\vert A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k \Rightarrow \left\vert A \right\vert \leqslant k \Rightarrow A \in I </tex># <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>#:Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert </tex> и числа в каждом множестве различны, найдётся такое число <tex> x \in B </tex>, которое не будет принадлежать меньшему по мощности множеству <tex> A </tex>.#:Рассмотрим <tex> A \cup \{ x \mathcal \} </tex>. <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \cup \{ x \} \right\vert = \left\vert A \right\vert + 1 \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I</tex>}}

Множество в котором нет векторов является линейно==Графовый матроид=={{Определение|definition=Пусть <tex>G = \langle V, E \rangle</tex> {{-независимым--}} неориентированный граф. Тогда <tex>M = \langle E, I \rangle </tex>, где <tex>I</tex> состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют '''графовым (графическим) матроидом''' (англ. ''graphic matroid'').}}

Если # <tex>\varnothing \in I</tex>#:Пустое множество является ациклическим, а значит входит в <tex>I</tex>.# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>#:Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в <tex>I</tex> вследствие своей ацикличности.# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>#:В графе <tex>G_A = \langle V, A \rangle </tex> как минимум две компоненты связанности, иначе <tex>G_A</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью.#:Допустим в <tex>B</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из <tex>G_A</tex>, значит любая компонента связанности из <tex>G_B</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из <tex>G_A</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности <tex>Q</tex> из <tex>G_A</tex>, у неё <tex>k</tex> вершин и <tex>k - 1</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности <tex>P_i</tex> из <tex>G_B</tex>, вершинно-входящие в <tex>Q</tex>, пусть их <tex>m</tex> штук, тогда суммарное количество рёбер из набора линейно<tex>P_i</tex> равно <tex>k - m</tex>, что не превосходит <tex>k -независимых векторов убрать некоторые1</tex> (количество рёбер в <tex>Q</tex>). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из <tex>G_A</tex> и получим <tex>\left\vert A \right\vert \geqslant \left\vert B \right\vert</tex>, то этот набор что противоречит условию. Значит предположение не станет зависимымверно, и в <tex>B</tex> существует искомое ребро <tex>x</tex> из разных компонент связанности <tex>G_B</tex>.}}

3) ==Матричный матроид=={{Определение|definition=Пусть <tex>V</tex> {{---}} векторное пространство над телом <tex>F</tex>, пусть набор векторов <tex>V_i = \mid A \mid < { v_1, \mid B \mid dots, \Rightarrow v_n\mathcal {9} x </tex> из пространства <tex>V</tex> является носителем <tex>X</tex>. Элементами независимого множества <tex>I</tex> данного матроида являются множества линейно независимых векторов из набора <tex>v_ 1, \in B \setminus Adots, A \cup v_n</tex>.Тогда <tex>M = \mathcal{f} x langle V_i, I \mathcal {g} \in Irangle </tex>, называется '''матричным матроидом''' (англ. ''vector matroid'')}} {{Утверждение|statement = Матричный матроид является матроидом.|proof = Проверим выполнение аксиом независимости:

Пусть не так# <tex>\varnothing \in I</tex>#:Множество в котором нет векторов является линейно-независимым. Тогда # <tex>A \forall x subset B, \ B \in B I \setminus Rightarrow A\in I</tex> множество #:Если из набора линейно-независимых векторов убрать некоторые, то этот набор не станет зависимым.# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}\in I</tex> - линейно зависимо. Значит оно образует базис в пространстве векторов #:Так как <tex>UA \in I</tex> "натянутом" на множество векторов , то <tex>\dim \mathcal{L}(A ) = \cup Bleft\vert A \right\vert</tex>. Но тогда По условию <tex>\mid left\vert A \cup right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \mathcal{f} in B: x \notin \mathcal {gL} \mid > \mid B \mid (A)</tex>, так как мощность базиса больше мощности любого линейно-независимого множества, а то есть <tex>Bx \notin A</tex> - линейно-независимо. Противоречие с условием. По условию Тогда множество <tex>\mid A \mid + 1 cup \leq { x \mid B \mid } </tex>линейно-независимо по определению линейной оболочки.}}

}}==Графовый Трансверсальный матроид==

Пусть <tex>G = \langle VX, Y, E \rangle</tex> {{--- неориентированный }} двудольный граф. Тогда <tex>M I = \langle E{ A \subset X \mid \exists </tex> паросочетание <tex> P</tex>, I покрывающее <tex>A \rangle } </tex>, где . Тогда <tex>M = \langle X, I\rangle </tex> состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют '''графовым трансверсальным матроидом''' (графическим) матроидомангл.''transversal matroid'').

 {{ЛеммаУтверждение|statement = Графовый Трансверсальный матроид является матроидом.

1) # <tex>\varnothing \in I</tex>#:Пустое паросочетание удовлетворяет условию.# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>#:Подмножество паросочетания также является паросочетанием. Удалим из исходного паросочетания <tex>P</tex> ребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \setminus A</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим <tex>A</tex>. Значит <tex> A \in I </tex>.# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>#:Раскрасим ребра из паросочетания, соответствующего <tex> B </tex> в синий цвет, а соответствующего <tex> A </tex> {{---}} в красный. Причем ребра, соответствующие двум паросочетаниям, будут окрашены в пурпурный цвет. Таким образом, получится <tex> \left\vert B \setminus A \right\vert </tex> ребер синего цвета, <tex> \left\vert A \setminus B \right\vert </tex> ребер красного цвета, и будет выполняться соотношение <tex> \left\vert B \setminus A \right\vert > \left\vert A \setminus B \right\vert</tex>.#:Рассмотрим подграф <tex> H </tex>, индуцированный красными и синими ребрами из исходного графа. Каждая вершина соответствует либо двум ребрам {{---}} синему и красному, либо одному {{---}} синему или красному. Любая компонента связности представляет собой либо путь, либо цикл, состоящий из чередующихся красных и синих ребер. Так как граф двудольный, любой цикл состоит из четного числа ребер. Так как синих ребер больше, чем красных, то должен существовать путь, начинающийся и оканчивающийся синим ребром. Обозначим этот путь <tex> H' </tex>. Поменяем в <tex> H' </tex> синий и красный цвета. Получаем, что ребра, окрашенные в красный и пурпурный цвета образуют паросочетание в графе. Очевидно, что подмножество соответствующее этому новому паросочетанию имеет вид <tex>A \cup \{ x \} </tex>, где <tex> x \in B \setminus A </tex>. Что значит, что <tex> A \cup \{ x \} \in I</tex>.}}

Пустое множество является ациклическим==Матроид паросочетаний=={{Определение|definition=Пусть <tex>G = \langle V, E \rangle</tex> {{---}} неориентированный граф. <tex>I = \{ A \subset V \mid \exists</tex> паросочетание <tex>P</tex>, а значит входит в покрывающее <tex>A \}</tex>. Тогда <tex>M = \langle V, I\rangle </tex>называют '''матроидом паросочетаний''' (англ. ''matching matroid'').}}

Очевидно# <tex>\varnothing \in I</tex>#:Пустое паросочетание удовлетворяет условию.# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>#:Удалим из исходного паросочетания <tex>P</tex> ребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \setminus A</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, что любой подграф лесапокрывающим <tex>A</tex>. Значит <tex>A \in I</tex>.# <tex>A \in I, \ B \in I, так же является лесом\ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>#:Пусть паросочетание <tex>P_A</tex> покрывает множество <tex>A</tex>, <tex>P_B</tex> {{---}} множество <tex>B</tex>.#:Все вершины, принадлежащие <tex>A \cap B</tex> покроем ребрами из паросочетания <tex>P_B</tex>. #:Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in B \setminus A</tex>#:Рассмотрим три возможных случая:## <tex>\exists xy \in P_A, \ y \in A \Rightarrow P_A</tex> покрывает <tex>A \cup \{ x \} \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I</tex>## <tex>\exists xy: y \in B \setminus A \Rightarrow xy \notin P_A</tex>. Мы можем добавить в <tex>A</tex> вершину <tex>x</tex> (или <tex>y</tex>), а в <tex>P_A</tex> ребро <tex>xy</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \{ x \} \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I</tex>## Если первые два случая не выполнились, значит входит <tex>\forall x \in B \setminus A</tex> <tex>\exists y \notin A, \ \notin B: \exists xy \in P_B</tex>. Обозначим множество таких <tex>y</tex> за <tex>C, \ \left\vert C \right\vert = \left\vert B \setminus A \right\vert > \left\vert A \setminus B \right\vert</tex>. Таким образом в <tex>C</tex> найдется хотя бы одна вершина <tex>y</tex>, не покрытая паросочетанием <tex>P_A</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \{ x \} \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I</tex>. }}

3) ==Матроид разбиений=={{Определение|definition=Пусть <tex>X = \mid A bigcup\mid limits_{i=_1}^n X_i</tex>, при этом < tex> X_i \mid B cap X_j = 0</tex>, <tex>\mid forall i \Rightarrow neq j</tex>, и <tex>k_1 \mathcal dots k_n</tex> {9{---} x } положительные целые числа. <tex>I = \{ A \in B subset X \setminus mid \left\vert A\cap X_i \right\vert \leqslant k_i, A \cup \mathcal{f} x forall i: 1 \leqslant i \leqslant n \mathcal {g} </tex>. Тогда <tex>M = \in langle X, I\rangle </tex>называют '''матроидом разбиений''' (англ. ''partition matroid'')}}

В графе <tex>G_A {{Утверждение|statement = \langle V, A \rangle </tex> как минимум две компоненты связанности, иначе <tex>G_A</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностьюМатроид разбиений является матроидом.|proof = Проверим выполнение аксиом независимости:

Допустим в # <tex>B\varnothing \in I</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из #:<tex>G_A\left\vert \varnothing \cap X_i \right\vert = 0 \leqslant k_i \Rightarrow \varnothing \in I</tex>, значит любая компонента связанности из # <tex>G_BA \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из #:<tex>G_AA \subset B, \ \left\vert A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant \left\vert B \cap X_i \right\vert \leqslant k_i \Rightarrow A \in I</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности Q из # <tex>G_AA \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert </tex>\left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, у неё \ A \cup \{ x \} \in I</tex>k#:Пусть </tex> вершин и <tex\forall x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \notin I \Rightarrow \exists X_j, \ k_j: \left\vert A \cup \{ x \} \cap X_j \right\vert >k - 1k_j</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности , но так как <tex>P_iA \in I</tex> из , то есть <tex>G_B\left\vert A \cap X_j \right\vert \leqslant k_j \Rightarrow \left\vert A \cap X_j \right\vert = k_j</tex> вершинно-входящие в и <tex>Qx \in X_j</tex>. Из последнего следует, пусть их что <tex>m\left\vert B \setminus A \right\vert \subset X_j</tex> штук, тогда суммарное кол-во рёбер из равно .#:<tex>k - m\left\vert A \cap X_j \right\vert = \left\vert ((A \cap B) \cup (B \setminus A)) \cap X_j \right\vert = k_j</tex> что не превосходит , а <tex>k - 1</tex> \left\vert B \cap X_j \right\vert = \left\vert B \cap X_j \right\vert = \left\vert ((A \cap B) \cup (кол-во рёбер в <tex>QA \setminus B)) \cap X_j \right\vert</tex>). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из Так как <tex>G_A\left\vert A \right\vert </tex> и получим <tex>\mid left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \mid setminus B \right\ge vert < \mid left\vert B \midsetminus A \right\vert</tex> что протеворечит условию. Значит предположение не верно и в , тогда <tex>\left\vert B</tex\cap X_j \right\vert > существует искомое ребро <tex>xk_j</tex> из разных компонент связанности , но <tex>G_BB \in I</tex>, противоречие.}}

Пусть <tex>G = \langle X, Y, E \rangle</tex> - двудольный граф'''Бинарный матроид''' (англ. Тогда <tex>M = \langle X, I = \mathcal''binary matroid'') {{f---} A \subset X \mid \exists } матроид, представимый над полем целых чисел по модулю </tex> паросочетание <tex> M: X \cap ends(M) = A \mathcal {g} \rangle 2</tex> называют '''трансверсальным матроидом.'''

{{ЛеммаУтверждение|statement = Трансверсальный Графовый матроид является матроидомбинарным.|proof =Проверим выполнение аксиом независимости:

1Составим матрицу инцидентности <tex>A = (a_{ij}) </tex> для графа <tex>G = \varnothing langle V, E \rangle</tex>. Строки этой матрицы соответствуют вершинам графа, а столбцы {{---}} ребрам. * Если <tex>j</tex>-ое ребро есть петля, инцидентная <tex>i</tex>-ой вершине, то <tex>a_{ij} = 0</tex>.* Если <tex>i</tex>-ая вершина инцидентна <tex>j</tex>-ому ребру, то <tex>a_{ij} = 1</tex> * Иначе <tex>a_{ij} = 0</tex>Необходимо доказать, что если мы возьмем множество ребер <tex>A \in I</tex>, то множество столбцов матрицы инцидентности, соответствующее выбранным ребрам, линейно-независимо, и наоборот, если мы возьмем линейно-независимое множество столбцов, то соответствующее ему множество ребер, не будет образовывать цикла. Докажем эквивалентное утверждение: столбцы линейно-зависимы тогда и только тогда, когда соответствующие им ребра графа <tex>G</tex> содержат цикл.

Пустое паросочетание удовлетворяет условию<tex>\Rightarrow</tex> Пусть столбцы линейно-зависимы, докажем, что соответствующие ребра графа содержат цикл.

2) Если некоторые столбцы матрицы <tex>A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I</tex>линейно-зависимы, то среди них можно выделить столбцы с нулевой суммой. Есть два варианта:

Подмножество паросочетания также # Cреди выбранных столбцов есть нулевой, тогда в соответствующем множестве ребер есть петля, то есть цикл.# У нас есть столбец <tex>S</tex>, который является паросочетаниемсуммой остальных столбцов. Удалим из исходного паросочетания Этому столбцу соответствует ребро <tex>Muv</tex> ребра, концами которых являются . Начнем с вершины <tex>u</tex> переходить по другим ребрам из множества <tex>B R \setminus Auv</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием(по каждому ребру проходим только один раз), которое обозначим за в итоге мы придем в вершину <tex>M'v</tex>. И , так для остальных вершин у нас обязательно будет выполняться условие четное число выходящих из них ребер, потому что иначе на позиции этой вершины в столбце <tex>S</tex> X \cap endsбыла бы единица (M') = A а единицы у нас только на позициях <tex>u</tex> и <tex>v</tex> ). Таким образом мы показали, что значит, существует два пути между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> (тот который мы построили и путь по ребру <tex> A \in I uv</tex>), значит в выбранном множестве ребер есть цикл.

3) <tex>\mid A \mid < \mid B \mid \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in ILeftarrow</tex>Пусть на множестве ребер есть цикл, докажем линейную-зависимость соответствующих столбцов.

Раскрасим ребра из паросочетания, соответствующего <tex> B </tex> в синий цвет, а соответствующего <tex> A </tex> — в красный. Причем ребра, соответствующие двум паросочетаниям, будут окрашены в пурпурный цвет. Таким образом, получится <tex> |B \setminus A| </tex> Если среди данного множества ребер синего цветаесть петля, <tex> |A \setminus B| </tex> ребер красного цвета, и то соответствующий ей столбец будет выполняться соотношение <tex> |B \setminus A| > |A \setminus B|</tex>. Рассмотрим подграф <tex> H </tex>нулевым (по построению матрицы инцидентности), индуцированный красными и синими ребрами из исходного графа. Каждая вершина соответствует либо двум ребрам — синему он и красному, либо одному — синему или красному. Любая компонента связности представляет собой либо путь, либо цикл, состоящий из чередующихся красных и синих ребер. Так как граф двудольный, любой цикл состоит из четного числа реберобеспечивает линейную-зависимость всего набора векторов. Так как синих ребер больше, чем красныхЕсли петли нет, то должен существовать путьрассмотрим столбцы, начинающийся и оканчивающийся синим ребромотвечающие ребрам простого цикла. Обозначим этот путь Любая строка матрицы <tex> H' </tex>. Поменяем в <tex> H' A</tex> синий и красный цвета. Получаем, что ребра, окрашенные в красный и пурпурный цвета образуют паросочетание содержит в графеэтих столбцах ровно 2 единицы. Очевидно, что подмножество соответствующее этому новому паросочетанию имеет вид <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} </tex>, где Поэтому сумма по модулю <tex> x \in B \setminus A 2</tex>. Что значитуказанных столбцов равна нулевому столбцу, что <tex> A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>означает линейную зависимость исходного множества столбцов.

==Универсальный матроидДругие матроиды==Несложно доказать, что следующие конструкции тоже являются матроидами.

'''Универсальным матроидомМатроид с выкинутым элементом''' называют объект . Пусть <tex>U_n,_k M = \langle X = , I\rangle</tex> {{1, 2, 3, ..---}} матроид.Определим <tex>M\setminus x = \langle X \setminus x, n\}, I = \mathcal{f} A \subset X | \mid A \mid in I, \ x \not\leq kin A\} \rangle </tex>. Для любых <tex>M</tex> и <tex>x</tex> получившаяся конструкция <tex>M\setminus x</tex> является матроидом.

{{ЛеммаОпределение|statement definition= Универсальный '''Матроид, стянутый по элементу'''. Пусть <tex>M = \langle X, I\rangle</tex> {{---}} матроид . Определим <tex>M/x = \langle X \setminus x, \ \{A \setminus x \mid A \in I, \ x \in A\}\rangle</tex>. Для любых <tex>M</tex> и <tex>x</tex>, таких что <tex>\{x\}\in I,</tex> получившаяся конструкция <tex>M/x</tex> является матроидом.|proof =Проверим выполнение аксиом независимости:}}

1) {{Определение|definition=Пусть <tex>M = \varnothing langle X, I \rangle</tex> {{---}} матроид. Обозначим как <tex>M|_k</tex> следующую констркуцию: <tex>M|_k = \langle X, \ \{A \mid A \in I, |A| \leqslant k \}\rangle</tex>, тогда <tex>M|_k</tex>называют '''урезанным матроидом'''.}}

{{Определение|definition='''Полный матроид''' {{---}} матроид <tex> \mid \varnothing \mid M = 0 \leq k langle X, \Rightarrow mathcal{I} \varnothing rangle</tex> такой, что <tex>\in mathcal{I} = 2^X</tex>.}}

2) {{Определение|definition= '''Тривиальный матроид''' {{---}} матроид <tex>A M = \subset Blangle X, B \in mathcal{I } \Rightarrow A \in Irangle</tex> такой, что <tex> \mid A mathcal{I} = \mid \leq \mid B \mid \leq k \Rightarrow \mid A \mid \leq k \Rightarrow A \in I varnothing </tex>.}}

Так как <tex>\mid A \mid < \mid B \mid </tex> и числа в каждом множестве различны==Источники==* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. {{---}} Дискретная математика: Графы, найдётся такое число <tex> x \in B </tex>матроиды, которое не будет принадлежать меньшему по мощности множеству <tex> A </tex>алгоритмы (глава 4.Матроиды)Рассмотрим <tex> A \cup \mathcal* Уилсон Р. {f{---} x \mathcal {g} <Введение в теорию графов (глава 9. Теория матроидов) * [http:/tex>/courses. <tex>\mid A \mid < \mid B \mid \Rightarrow \mid A \cup \mathcalengr.illinois.edu/cs598csc/sp2010/Lectures/Lecture14.pdf Примеры матроидов]*[[wikipedia:Matroid | Wikipedia {f{---}} x \mathcal Matroid]]*[[wikipedia:ru:Матроид | Википедия {g} \mid = \mid A \mid + 1 \leq \mid B \mid \leq k \Rightarrow A \cup \mathcal{f---} x \mathcal {g} \in I</tex>Матроид]]