137
правок
Изменения
м
Пусть '''Универсальным матроидом''' (англ. ''uniform matroid'') называют объект <tex>V</tex> U_{{---nk}} векторное пространство над телом <tex>F= \langle X, I \rangle </tex>, пусть набор векторов где <tex>V_i X = \mathcal{f} v_11, 2, 3, \ \dots, n\ v_n}, I = \mathcal {gf}</tex> из пространства <tex>V</tex> является носителем <tex>A \subset X</tex>. Элементами независимого множества <tex>I</tex> данного матроида являются множества линейно-независимых векторов из набора <tex>v_ 1, \ mid \left\vert A \dots, right\ v_n</tex>.Тогда <tex>M = vert \langle V_i, I leqslant k\rangle }</tex>, называется '''матричным матроидом''' (англ. ''vector matroid'')}}
Множество в котором нет векторов является линейно-независимым.<tex> \left\vert \varnothing \right\vert = 0 \leqslant k \Rightarrow \varnothing \in I</tex>
Если из набора линейно-независимых векторов убрать некоторые, то этот набор не станет зависимым.<tex> \left\vert A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k \Rightarrow \left\vert A \right\vert \leqslant k \Rightarrow A \in I </tex>
'''Универсальным матроидом''' (англ. ''uniform matroid'') называют объект Пусть <tex>U_{nk} G = \langle XV, I E \rangle </tex>, где {{---}} неориентированный граф. <tex>X = \{1, 2, 3, \dots, n\}, I = \mathcal{f} A \subset X V \mid \left\vert exists</tex> паросочетание <tex>P</tex>, покрывающее <tex>A \rightmathcal {g}</tex>. Тогда <tex>M = \vert langle V, I \leqslant k\}rangle </tex>называют '''матроидом паросочетаний''' (англ. ''matching matroid'').
<tex> \left\vert \varnothing \right\vert = 0 \leqslant k \Rightarrow \varnothing \in I</tex>Пустое паросочетание удовлетворяет условию.
Так как Пусть паросочетание <tex>P_A</tex> покрывает множество <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert </tex> и числа в каждом множестве различны, найдётся такое число <tex> x \in B P_B</tex>, которое не будет принадлежать меньшему по мощности множеству {{---}} множество <tex> A B</tex>.Рассмотрим Все вершины, принадлежащие <tex> A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} cap B</tex> покроем ребрами из паросочетания <tex>P_B</tex>. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \cup \mathcal{f} exists x \mathcal {g} \right\vert = \left\vert A \right\vert + 1 \leqslant \left\vert in B \right\vert \leqslant k \Rightarrow setminus A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
}}
}}
==Матроид паросочетаний==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>G = \langle V, E \rangle</tex> {{---}} неориентированный граф. <tex>I = \mathcal{f} A \subset V \mid \exists</tex> паросочетание <tex>P</tex>, покрывающее <tex>A \mathcal {g}</tex>. Тогда <tex>M = \langle V, I \rangle </tex> называют '''матроидом паросочетаний''' (англ. ''matching matroid'').
}}
{{Утверждение
|statement = Матроид паросочетаний является матроидом.
|proof =
Проверим выполнение аксиом независимости:
1) <tex>\varnothing \in I</tex>
Пустое паросочетание удовлетворяет условию.
2) <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
Удалим из исходного паросочетания <tex>P</tex> ребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \setminus A</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим <tex>A</tex>. Значит <tex>A \in I</tex>.
3) <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
Пусть паросочетание <tex>P_A</tex> покрывает множество <tex>A</tex>, <tex>P_B</tex> {{---}} множество <tex>B</tex>.
Все вершины, принадлежащие <tex>A \cap B</tex> покроем ребрами из паросочетания <tex>P_B</tex>.
Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in B \setminus A</tex>
Рассмотрим три возможных случая:
* <tex>\exists xy \in P_A, \ y \in A \Rightarrow P_A</tex> покрывает <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
* <tex>\exists xy: y \in B \setminus A \Rightarrow xy \notin P_A</tex>. Мы можем добавить в <tex>A</tex> вершину <tex>x</tex> (или <tex>y</tex>), а в <tex>P_A</tex> ребро <tex>xy</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal{g} \in I</tex>
*Если первые два случая не выполнились, значит <tex>\forall x \in B \setminus A</tex> <tex>\exists y \notin A, \ \notin B: \exists xy \in P_B</tex>. Обозначим множество таких <tex>y</tex> за <tex>C, \ \left\vert C \right\vert = \left\vert B \setminus A \right\vert > \left\vert A \setminus B \right\vert</tex>. Таким образом в <tex>C</tex> найдется хотя бы одна вершина <tex>y</tex>, не покрытая паросочетанием <tex>P_A</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal{g} \in I</tex>
Нет описания правки
==Матричный Разноцветный матроид=={{Определение|definition = Пусть <tex>X</tex> {{---}} множество элементов, каждый из которых раскрашен в некоторый цвет. Множество <tex>A \in I</tex>, если все элементы множества <tex>A</tex> разного цвета. Тогда <tex> M = \langle X, I\rangle</tex> называется '''разноцветным матроидом''' (англ. ''multicolored matroid'').}} {{Утверждение|statement = Разноцветный матроид является матроидом.|proof =Докажем аксиомы независимости для <tex> I </tex>. 1. <tex>\varnothing \in I</tex> В пустом множестве нет элементов <tex>\Rightarrow</tex> можем считать, что все элементы различных цветов. 2. <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> Если в <tex>B</tex> все элементы разного цвета, то и в <tex>A \subset B</tex> это будет выполняться. 3. <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> В каждом из множеств <tex>A</tex> и <tex>B</tex> все элементы разных цветов. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert</tex>, значит в <tex>B</tex> есть хотя бы один элемент <tex>x</tex> такого цвета, которого нет среди элементов множества <tex>A</tex>, таким образом <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>}} ==Универсальный матроид==
{{Определение
|definition=
{{Утверждение
|statement = Матричный Универсальный матроид является матроидом.|proof =
Проверим выполнение аксиом независимости:
1) <tex>\varnothing \in I</tex>
2) <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
3) <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert </tex> и числа в каждом множестве различны, найдётся такое число <tex> x \in IB </tex>, то которое не будет принадлежать меньшему по мощности множеству <tex> A </tex>.Рассмотрим <tex> A \dim cup \mathcal{Lf}(A) = x \left\vert A \right\vertmathcal {g} </tex>. По условию <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x left\in B: x vert A \notin cup \mathcal{Lf}(A)</tex>, то есть <tex>x \notin mathcal {g} \right\vert = \left\vert A</tex>. Тогда множество <tex> \right\vert + 1 \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}\in I</tex> линейно-независимо по определению линейной оболочки.
}}
Пусть <tex>G = \langle V, E \rangle</tex> {{---}} неориентированный граф. Тогда <tex>M = \langle E, I \rangle </tex>, где <tex>I</tex> состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют '''графовым (графическим) матроидом''' (англ. ''graphic matroid'').
}}
{{Утверждение
|statement = Графовый матроид является матроидом.
Допустим в <tex>B</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из <tex>G_A</tex>, значит любая компонента связанности из <tex>G_B</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из <tex>G_A</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности <tex>Q</tex> из <tex>G_A</tex>, у неё <tex>k</tex> вершин и <tex>k - 1</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности <tex>P_i</tex> из <tex>G_B</tex>, вершинно-входящие в <tex>Q</tex>, пусть их <tex>m</tex> штук, тогда суммарное количество рёбер из <tex>P_i</tex> равно <tex>k - m</tex>, что не превосходит <tex>k - 1</tex> (количество рёбер в <tex>Q</tex>). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из <tex>G_A</tex> и получим <tex>\left\vert A \right\vert \geqslant \left\vert B \right\vert</tex>, что противоречит условию. Значит предположение не верно, и в <tex>B</tex> существует искомое ребро <tex>x</tex> из разных компонент связанности <tex>G_B</tex>.
}}
==Матричный матроид==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>V</tex> {{---}} векторное пространство над телом <tex>F</tex>, пусть набор векторов <tex>V_i = \mathcal{f} v_1, \ \dots, \ v_n\mathcal {g}</tex> из пространства <tex>V</tex> является носителем <tex>X</tex>. Элементами независимого множества <tex>I</tex> данного матроида являются множества линейно-независимых векторов из набора <tex>v_ 1, \ \dots, \ v_n</tex>.
Тогда <tex>M = \langle V_i, I \rangle </tex>, называется '''матричным матроидом''' (англ. ''vector matroid'')
}}
{{Утверждение
|statement = Матричный матроид является матроидом.
|proof =
Проверим выполнение аксиом независимости:
1) <tex>\varnothing \in I</tex>
Множество в котором нет векторов является линейно-независимым.
2) <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
Если из набора линейно-независимых векторов убрать некоторые, то этот набор не станет зависимым.
3) <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
Так как <tex>A \in I</tex>, то <tex>\dim \mathcal{L}(A) = \left\vert A \right\vert</tex>. По условию <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in B: x \notin \mathcal{L}(A)</tex>, то есть <tex>x \notin A</tex>. Тогда множество <tex> A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}</tex> линейно-независимо по определению линейной оболочки.
}}
}}
==Универсальный матроидМатроид паросочетаний==
{{Определение
|definition=
}}
{{Утверждение
|statement = Универсальный матроид Матроид паросочетаний является матроидом.
|proof =
Проверим выполнение аксиом независимости:
1) <tex>\varnothing \in I</tex>
2) <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
Удалим из исходного паросочетания <tex> P</tex> ребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \left\vert setminus A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k \Rightarrow \left\vert </tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим <tex>A \right\vert \leqslant k \Rightarrow </tex>. Значит <tex>A \in I </tex>.
3) <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
Рассмотрим три возможных случая:
* <tex>\exists xy \in P_A, \ y \in A \Rightarrow P_A</tex> покрывает <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
* <tex>\exists xy: y \in B \setminus A \Rightarrow xy \notin P_A</tex>. Мы можем добавить в <tex>A</tex> вершину <tex>x</tex> (или <tex>y</tex>), а в <tex>P_A</tex> ребро <tex>xy</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal{g} \in I</tex>
*Если первые два случая не выполнились, значит <tex>\forall x \in B \setminus A</tex> <tex>\exists y \notin A, \ \notin B: \exists xy \in P_B</tex>. Обозначим множество таких <tex>y</tex> за <tex>C, \ \left\vert C \right\vert = \left\vert B \setminus A \right\vert > \left\vert A \setminus B \right\vert</tex>. Таким образом в <tex>C</tex> найдется хотя бы одна вершина <tex>y</tex>, не покрытая паросочетанием <tex>P_A</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal{g} \in I</tex>
}}
|definition=
Пусть <tex>X = \bigcup\limits_{i=_1}^n X_i</tex>, при этом <tex> X_i \cap X_j = 0</tex>, <tex>\forall i \neq j</tex>, и <tex>k_1 \dots k_n</tex> {{---}} положительные целые числа. <tex>I = \mathcal{f} A \subset X \mid \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant k_i, \ \forall i: 1 \leqslant i \leqslant n \mathcal {g}</tex>. Тогда <tex>M = \langle X, I \rangle </tex> называют '''матроидом разбиений''' (англ. ''partition matroid'')
}}
{{Утверждение
|statement = Матроид разбиений является матроидом.
<tex>\left\vert A \cap X_j \right\vert = \left\vert ((A \cap B) \cup (B \setminus A)) \cap X_j \right\vert = k_j</tex>, а <tex>\left\vert B \cap X_j \right\vert = \left\vert B \cap X_j \right\vert = \left\vert ((A \cap B) \cup (A \setminus B)) \cap X_j \right\vert</tex>. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \setminus B \right\vert < \left\vert B \setminus A \right\vert</tex>, тогда <tex>\left\vert B \cap X_j \right\vert > k_j</tex>, но <tex>B \in I</tex>, противоречие.
}}
|definition=
'''Матроид с выкинутым элементом'''. Пусть <tex>M = \langle X, I\rangle</tex> {{---}} матроид. Определим <tex>M\setminus x = \langle X \setminus x, \ \{A | A \in I, \ x \not\in A\}\rangle</tex>. Для любых <tex>M</tex> и <tex>x</tex> получившаяся конструкция <tex>M\setminus x</tex> является матроидом.
}}
