Примеры матроидов: графовый матроид — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>G = (V, E)</tex> - неориентированный граф. Тогда <tex>M = (E, I_G)</tex>, где <tex>I_G</tex> состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют '''матричным матроидом.'''
+
Пусть <tex>G = (V, E)</tex> - неориентированный граф. Тогда <tex>M = (E, I)</tex>, где <tex>I</tex> состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют '''графовым(графическим) матроидом.'''
 
}}
 
}}
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
|statement = Матричный матроид является матроидом.
+
|statement = Графовый матроид является матроидом.
 
|proof =
 
|proof =
 
Проверим выполнение аксиом независимости:
 
Проверим выполнение аксиом независимости:
  
1) <tex>\varnothing \in I_G</tex>
+
1) <tex>\varnothing \in I</tex>
  
Пустое множество является ациклическим, а значит входит в <tex>I_G</tex>.
+
Пустое множество является ациклическим, а значит входит в <tex>I</tex>.
  
2) <tex>A \subset B, B \in I_G \Rightarrow A \in I_G</tex>
+
2) <tex>A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
  
Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в <tex>I_G</tex>.
+
Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в <tex>I</tex>.
  
3) <tex>\mid A \mid < \mid B \mid \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I_G</tex>
+
3) <tex>\mid A \mid < \mid B \mid \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
  
 
В графе <tex>G_A = (V, A)</tex> как минимум две компоненты связанности, иначе <tex>G_A</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью.
 
В графе <tex>G_A = (V, A)</tex> как минимум две компоненты связанности, иначе <tex>G_A</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью.

Версия 02:13, 22 мая 2011

Определение:
Пусть [math]G = (V, E)[/math] - неориентированный граф. Тогда [math]M = (E, I)[/math], где [math]I[/math] состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют графовым(графическим) матроидом.


Лемма:
Графовый матроид является матроидом.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Проверим выполнение аксиом независимости:

1) [math]\varnothing \in I[/math]

Пустое множество является ациклическим, а значит входит в [math]I[/math].

2) [math]A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I[/math]

Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в [math]I[/math].

3) [math]\mid A \mid \lt \mid B \mid \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I[/math]

В графе [math]G_A = (V, A)[/math] как минимум две компоненты связанности, иначе [math]G_A[/math] являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью.

Допустим в [math]B[/math] не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из [math]G_A[/math], значит любая компонента связанности из [math]G_B[/math] целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из [math]G_A[/math]. Рассмотрим любую компоненту связанности Q из [math]G_A[/math], у неё [math]k[/math] вершин и [math]k - 1[/math] рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности [math]P_i[/math] из [math]G_B[/math] вершинно-входящие в [math]Q[/math], пусть их [math]m[/math] штук, тогда суммарное кол-во рёбер из равно [math]k - m[/math] что не превосходит [math]k - 1[/math] (кол-во рёбер в [math]Q[/math]). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из [math]G_A[/math] и получим [math]\mid A \mid \gt \mid B \mid[/math] что протеворечит условию. Значит предположение не верно и в [math]B[/math] существует искомое ребро [math]x[/math] из разных компонент связанности [math]G_B[/math].
[math]\triangleleft[/math]